线性代数题目及答案.doc

第一章 n阶行列式（一）填空1设n阶行列式D = ，则D的值为 2设行列式D = = a ，则行列式D1 = = 3设行列式D = ，则D的第3列元素的代数余子式之和为 4设f（x）= ，则f（x）的展开式中 的系数为 ，的系数为 ，常数项为 5方程 = 0 的根x = 6当 l 满足条件 时线性方程组 只有零解（二）选择1设4阶行列式D = ，则D的值为 （A） ； （B） ；（C） ； （D） 2设D为n阶行列式，Aij 为D的元素aij 的代数余子式，则 （A） = 0 （j = 1 ，2 ， ，n）；（B） = D （j = 1 ，2 ， ，n）；（C） = D ；（D） = 0 （i = 1 ，2 ， ，n）3设行列式D = = a ，则行列式D1 = = （A） a ； （B） a ； （C） ； （D） 4设f（x）= ，则方程f（x）= 0的根的个数为 （A） 1 ； （B） 2 ； （C） 3 ； （D） 4 5方程 = 0 的根为 （A） ； （B） 0 ，；（C） ，0 ； （D） 0 ，6设D为n阶行列式，下列命题中错误的是 （A） 若D中至少有 n 1个元素为0 ，则D = 0 ；（B） 若D中每列元素之和均为0 ，则D = 0 ；（C） 若D中位于某k行及某l列的交点处的元素都为0 ，且k l n ，则D = 0 ；（D） 若D的主对角线和次对角线上的元素都为0 ，则D = 0 第一章 行列式（一）填空1 答案 提示 将D化为上三角行列式即得2 答案 24a 提示 利用行列式性质3 、5变化行列式D1 即得3 答案 0 提示 = 4 答案 6 、14 、9 提示 、的系数由4个主对角元的乘积 确定，常数项为f（0）5 答案 x = 2 、1 、4 提示 将方程左边的行列式化为上三角行列式后展开即得6答案 l 1且 l 3 提示 齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式等于0 （二）选择1答案 （D）提示 利用行列式的Laplace展开定理即得2答案 （B）提示 由定理1.2即得3答案 （D）提示 利用行列式性质2变化行列式D1 即得4答案 （B）提示 先利用行列式性质5将方程f（x）= 0左端的行列式化简，再利用行列式定义判断多项式f（x）的次数5答案 （D）提示 将方程左边的行列式化为上三角即得6 答案 （D）提示 命题（D）是错误的反例：= 1 第二章 矩阵（一）填空1设矩阵A = ，矩阵X满足 = ，则X = 2设A 、B均为n阶矩阵，为B的伴随矩阵，若 = 2 ，= 3 ，则 = 3设3阶方阵A 、B满足 = E ，其中E为3阶单位阵，若A = ，则 = 4设矩阵A满足 = 0 ，其中E为单位阵，则 = 5设A为n阶矩阵，为A的伴随矩阵，若 = 5 ，则 = 6设A = ，其中ai 0 ，bi 0 （i = 1 ，2 ， ，n），则矩阵A的秩R（A）= 7设A = ，E为4阶单位矩阵，B = ，则 = （二）选择1设A 、B 、C均为n阶矩阵，且满足A B = B C = C A = E ，则 = （A） O ； （B） E ； （C） 2 E ； （D） 3 E 2设A为n阶非奇异矩阵（n 2），是矩阵A的伴随矩阵，则 = （A） ； （B） ；（C） ； （D） 3设n阶矩阵A与B等价，则必有 （A） = a （a 0）时，= a ；（B） = a （a 0）时，= a ；（C） 当 0 时，= 0 ；（D） 当 = 0 时，= 0 4设A 、B 、C均为n阶矩阵，且满足A B C = E ，则下式中必成立的是 （A） A C B = E ； （B） C B A = E ；（C） B A C = E ； （D） B C A = E 5设A 、B 、C均为n阶矩阵，若A B = B A ，A C = C A ，则必有A B C = （A） A C B ； （B） C B A ；（C） B C A ； （D） C A B 6设n阶矩阵A可逆，则 亦可逆，且其逆阵为 （A） ； （B） ；（C） ； （D） 7设A 、B均为n阶矩阵，、分别为A 、B对应的伴随矩阵，分块矩阵C = ，则C的伴随矩阵 = （A） ； （B） ；（C） ； （D） 8设A = ，B = ，P1 = ，P2 = ，则必有 （A） A P1 P2 = B ； （B） A P2 P1 = B ；（C） P1 P2 A = B ； （D） P2 P1 A = B 9设A 、B 、均为n阶可逆矩阵，则 = （A） ； （B） ；（C） ； （D） 第二章 矩阵（一）填空1答案 提示 由矩阵方程 = 可解得X = 2答案 提示 利用逆阵的行列式、伴随矩阵的行列式与矩阵的行列式的关系3答案 提示 由 = E 可得 = E 4答案 提示 由 = 0 可得 = E 5答案 提示 = 6答案 1 提示 A的诸行均成比例7答案 提示 由B = 可得 = ，从而 = （二）选择1答案 （D）提示 = = = E 2答案 （C）提示 当A非奇异时，有 = 3答案 （D）提示 据矩阵等价（即相抵）定义及行列式性质即得4答案 （D）提示 由A B C = E知A与B C互逆5答案 （C）提示 A B C = B A C = B C A 6答案 （B）提示 当A非奇异时，有 = 7设A 、B均为n阶矩阵，、分别为A 、B对应的伴随矩阵，分块矩阵C = ，则C的伴随矩阵 = （A） ； （B） ；（C） ； （D） 答案 （D）提示 利用公式 = 8设A = ，B = ，P1 = ，P2 = ，则必有 （A） A P1 P2 = B ； （B） A P2 P1 = B ；（C） P1 P2 A = B ； （D） P2 P1 A = B 答案 （C）提示 利用初等矩阵定义及定理2.8 9设A 、B 、均为n阶可逆矩阵，则 = （A） ； （B） ；（C） ； （D） 答案 （C）提示 = = = = E 第三章 线性方程组（一）填空1设向量组线性无关，则a 、b 、c必满足关系式 2已知、是四元非齐次线性方程组A X = b的3个解向量，且R（A）= 3 ，则线性方程组 A X = b 的通解X = 3设 、 、 、 、都是四维列向量，且4阶行列式 = a ，= b则4阶行列式 = 4设B为3阶非零矩阵，且B的每个列向量都是方程组 的解，则k = ，= 5设方程组 ，则k = 时，该方程组无解6当k = 时，向量 可由向量组 ，线性表示且表示方法不唯一7设A = ，B为3阶非零矩阵，且A B = O ，则t = （二）选择1设有任意两个n维向量组 和，若存在两组不全为零的数和k1 ，k2 ， ，km ，使得 = 0则 （A） 和都线性相关（B） 和都线性无关（C） 线性无关（D） 线性相关2设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （A） （B） （C） （D） 3设向量 b 可由向量组 线性表示，但不能由向量组（I）线性表示，记向量组（II）, b ，则 （A） 不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示（B） 不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示（C） 可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示（D） 可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示4若向量组 a , b , g 线性无关，a , b , d 线性相关，则 （A） a 必可由 b , g , d 线性表示 （B） b 必不可由 a , g , d 线性表示（C） d 必可由 a , b , g 线性表示 （D） d 必不可由 a , b , g 线性表示5设非齐次线性方程组A X = b中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A的秩为r ，则 （A） r = m时，方程组A X = b有解（B） r = n时，方程组A X = b有唯一解（C） m = n时，方程组A X = b有唯一解（D） r n时，方程组A X = b有无穷多解6将齐次线性方程组 的系数矩阵记为A ，若存在3阶矩阵B O使得A B = O ，则 （A） l = 2且 = 0 （B） l = 2且 0（C） l = 1且 = 0 （D） l = 1且 07设A是n阶矩阵，a 是n维列向量，若R = R（A） ，则线性方程组 （A） A X = a 必有无穷多解（B） A X = a 必有唯一解（C） = 0仅有零解（D） = 0必有非零解第三章 线性方程组(一)1. 因为向量组线性无关，所以，当且仅当时才有 ：即齐次方程组 仅有零解，故，即 2因为为四元非齐次方程组的解，所以，；有即，向量为四元齐次方程组的解；而，所以向量为四元齐次方程组的基础解系，故原方程的通解为： 3四阶行列式 由题意方程组有非零解，所以行列式 即k=-2，并得到方程组的系数矩阵的秩为2；B的三个列向量都是方程组的解，所以B的秩小于3，故5，当时，6本题等价于k为何值时，方程组有无穷多解。即，可以解得只有当时。7设，由AB=O有，即齐次方程组有非零解，所以解得t=。(二) 选择1 由整理有：由已知条件知线性相关，故选（D） 2对任意的一组数当 又向量组线性无关齐次方程组 仅有零解，即故选（C）同样的方法可以验证向量组（A），（B），（D）线性相关。 3如果能由向量组（）线性表示，由可由向量组线性表示得到可由向量组（）线性表示，这与题设矛盾，故不能由向量组（）线性表示；如果不能由向量组（）线性表示，由有得到能由向量组（）线性表示，这与题设矛盾，故能由向量组（）线性表示。综上所述，选（B） 4因为向量组线性无关，所以向量组线性无关（整体无关部分无关）；又向量组线性相关，所以可由向量组线性表示，即可由向量组线性表示。故选（C） 5因为，当时，一定有：故选（A） 6由AB=O 有B的三个列向量都是齐次方程的解向量；又由有齐次方程存在非零解得到，；而，有故选（C） 7由可以得到方程组有解，但不能得到一定有唯一解或一定有无穷多解，所以不能选（A），（B）。故选（D）第四章 线性空间（一）填空1当k 时，向量组 是的一组基2中的向量 在基 下的座标为 3向量 a = ，b = 之间的夹角 q = 4设 a = ，b = ，且A = ，则 = 5与向量 正交的单位向量为 6设A 、B均为n阶正交阵，且 = （行列式），则 = （二）选择1设向量空间V ，则V是 维空间（A） n （B） n 1 （C） 2 （D） 12设向量空间V ，则V是 维空间（A） n （B） n 1 （C） 2 （D） 13已知三维向量组线性无关，则下列向量组 不构成的一组基（A） （B） （C） （D） 4设n元齐次方程组A X = q ，R（A）= r ，其解空间的维数为s ，则 （A） s = r （B） s = n r （C） s r （D） s n5设A为n阶实对称阵，P为n阶正交阵，则矩阵 为 （A） 实对称阵 （B） 正交阵（C） 非奇异阵 （D） 奇异阵第四章 线性空间1 . 向量组是的一组基，即满足，解出.2向量在基下的坐标即非齐次线性方程组的唯一解3由夹角公式直接计算。4，5因为A，B都是正交阵，所以， 且，由