青岛版初中数学知识点总结PPT幻灯片课件.ppt

考点一实数的有关概念1 数轴规定了 的直线 叫做数轴 和数轴上的点是一一对应的 2 相反数 1 实数a的相反数为 2 a与b互为相反数 3 相反数的几何意义 在数轴上 表示相反数的两个点位于原点的两侧 且到原点的距离 这两个点关于 对称 3 倒数 原点 正方向 单位长度 实数 a a b 0 相等 原点 1 1 实数a的倒数是 其中a 0 2 a和b互为倒数 4 绝对值在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值 即一个正数的绝对值是它 0的绝对值是 负数的绝对值是它的 ab 1 原点 本身 相反数 0 2 温馨提示 1 绝对值是a a 0 的数有两个 它们互为相反数 即为 a 2 绝对值相等的两个数相等或互为相反数 即 若 a b 则a b或a b 0 3 任意实数的绝对值都是非负数 即 a 0 4 去掉绝对值符号进行化简运算时 关键是判断绝对值符号里面的代数式的正负 3 考点二实数的分类1 按定义分类 4 2 按正负分类 5 考点三平方根 算术平方根 立方根温馨提示 在应用x2 a时 一定不要忘记a 0这一条件 注意算术平方根与平方根的区别与联系 如1的平方根是 1 而1的算术平方根是1 平方根 正的平方根 互为相反数 6 考点四科学记数法 近似数与有效数字把一个数N表示成a 10n 1 a 10 n是整数 的形式叫科学记数法 当 N 1时 n等于原数N的整数位数减1 当 N 1且N 0时 n是一个负整数 它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数 含整数位上的零 2 近似数与有效数字一个近似数 四舍五入到哪一位 就说这个近似数精确到哪一位 这时从左边第个非零数字起 到末位数字为止 所有的数字都叫做这个近似数的有效数字 一 7 考点一实数的运算在实数范围内运算顺序是 先算 再算 最后算 有括号的先算括号内的 同一级运算 从左到右依次进行计算 考点二零指数 负整数指数幂考点三实数大小比较1 在数轴上表示两个数的点 右边的点表示的数总比左边的点表示的数 两个负数比较 绝对值大的反而 2 设a b是任意两个数 若a b 0 则a b 若a b 0 则a b 若a b 0 则a b 乘方 或开方 乘除 加减 1 大 小 8 温馨提示1 注意零指数 负整数指数幂的意义 遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算 2 三个重要的非负数a a 0 a a2 9 考点一整式的有关概念1 单项式和多项式统称整式 单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子 而多项式是指几个单项式的 2 单项式中的数字因数叫做单项式的 单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 3 多项式中 每一个单项式叫做多项式的项 其中不含字母的项叫做常数项 多项式中次数的次数就是这个多项式的次数 和 系数 指数和 最高项 10 考点二整式的运算1 整式的加减 1 同类项与合并同类项所含的 相同 并且 也分别相同的单项式叫做同类项 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项 合并的法则是系数相加 所得的结果作为合并后的系数 字母和字母的 不变 2 去括号与添括号 括号前是 号 去掉括号和它前面的 号 括号里的各项都不改变符号 括号前是 号 去掉括号和它前面的 号 括号里的各项 字母 相同字母的指数 指数 都改变符号 11 括号前是 号 括到括号里的各项都不改变符号 括号前是 号 括到括号里的各项都改变符号 3 整式加减的实质是合并同类项 温馨提示 在进行整式加减运算时 如果遇到括号 应根据去括号法则 先去括号 再合并同类项 当括号前是负号 去括号时 括号内每一项 2 幂的运算同底数幂相乘 底数不变 指数相加 即am an m n都是整数 幂的乘方 底数不变 指数相乘 即 am n m n都是整数 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所有的幂相乘 am n amn 都要变号 12 即 ab n anbn n为整数 同底数幂相除 底数不变 指数相减 即am an a 0 m n都为整数 3 整式的乘法单项式与单项式相乘 把系数 同底数幂分别相乘 作为积的因式 只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式相乘 就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 即m a b c 多项式与多项式相乘 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 即 m n a b ma mb na nb am n ma mb mc 13 4 整式的除法单项式除以单项式 把 分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 把这个多项式的每一项除以这个单项式 然后把所得的商相加 5 乘法公式 1 平方差公式两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差 即 a b a b 2 完全平方公式 系数 同底数幂 a2 b2 14 两数和 或差 的平方 等于它们的平方和加上 或减去 它们的积的2倍 即 a b 2 考点三因式分解1 因式分解的定义及与整式乘法的关系 1 这种运算就是因式分解 2 因式分解与整式乘法是互逆运算 2 因式分解的常用方法 1 提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式 那么这个相同的因式 就叫做公因式 a 2ab b2 把一个多项式化为几个整式的积的形式 15 提公因式法用公式可表示为ma mb mc 其分解步骤为 确定多项式的公因式 公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积 将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式 2 运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解 这种方法叫做公式法 即a2 b2 a2 2ab b2 温馨提示 在运用公式法分解因式时 公式中的字母 可以是一个数 也可以是一个单项式 还可以是一个多项式 m a b c a b a b a b 2 16 3 因式分解的一般步骤 1 一提 如果多项式的各项有公因式 那么先提公因式 2 二用 如果各项没有公因式 那么可以尝试运用公式法来分解 3 三查 分解因式 必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 17 考点一分式形如 A B是整式 且B中含有字母 B 的式子叫做分式 1 分式有无意义 B 0时 分式无意义 B 0时 分式有意义 2 分式值为0 A 0且B 0时 分式的值为0 考点二分式的基本性质分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个 的整式 分式的值不变 0 不等于零 18 2 通分的关键是确定n个分式的 确定最简公分母的一般步骤是 当分母是多项式时 先 再取系数的最小公倍数 所有不同字母 因式 的 的积为最简公分母 3 约分的关键是确定分式的分子与分母中的 确定最大公因式的一般步骤是 当分子 分母是多项式时 先 取系数的 相同字母 因式 的 的积为最大公因式 温馨提示 1 若原分式的分子 或分母 是多项式 运用分式基本性质时 要先把分式的分子 或分母 用括号括上 再乘以 或除以 整式 2 应用分式基本性质时 要深刻理解 都 与 同 这两个字的含义 避免犯只乘分子或分母一项的错误 最简公分母 最高次幂 最大公因式 最低次幂 因式分解 最大公因式 因式分解 19 考点三分式的运算 20 4 分式的混合运算在分式的混合运算中 应先算乘方 再算乘除 进行约分化简后 最后进行加减运算 遇到有括号的 先算括号里面的 运算结果必须是 分式或整式 考点四分式求值分式的求值方法很多 主要有三种 1 先化简 后求值 2 由值的形式直接转化成所求的代数式的值 3 式中字母表示的数未明确告知 而是隐含在方程等题设条件中 解这类题 一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值 另一方面把所求代数式化简 只有双管齐下 才能获得简易的解法 最简 21 考点一二次根式考点二最简二次根式最简二次根式必须同时满足条件 1 被开方数的因数是 因式是整式 2 被开方数中不含能开的尽方的因数或因式 0 正整数 22 考点三同类二次根式几个二次根式化成 后 如果 相同 这几个二次根式就叫做同类二次根式 温馨提示 判断几个二次根式是否是同类二次根式 必须先化成最简二次根式后再判断 否则很容易出错 考点四二次根式的性质 最简二次根式 被开方数 非负 a 23 考点五二次根式的运算1 二次根式的加减法先将各根式化为 然后合并同类二次根式 0 最简二次根式 最简二次根式 0 24 考点一等式及方程的有关概念1 等式及其性质用等号 来表示相等关系的式子 叫做等式 等式的性质 等式两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得结果仍是等式 等式两边都乘以 或除以 同一个数 除数不能为0 所得结果仍是等式 温馨提示 在等式两边都除以同一个代数式时 一定要保证这个代数式的值 不为零 25 2 方程的有关概念 1 含有未知数的 叫做方程 2 使方程左 右两边的 相等的未知数的值 叫做方程的解 只含有一个未知数的方程的解 也叫做根 3 求方程解的过程 叫做解方程 4 方程的两边都是关于未知数的 这样的方程叫做整式方程 等式 值 整式 26 考点二一元一次方程1 一元一次方程在整式方程中 只含有一个未知数 并且未知数的次数是1 系数不等于0的方程 叫做一元一次方程 一元一次方程的标准形式是 2 解一元一次方程的一般步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 4 合并同类项 5 系数化为1 考点三二元一次方程组及解法1 二元一次方程组 1 二元一次方程的一般形式 ax by c 0 a 0 b 0 ax b 0 a 0 27 2 几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起 叫做二元一次方程组 2 解二元一次方程组的基本思路 消元 3 二元一次方程组的解法 1 代入消元法 2 加减消元法 3 图象法 解方程组其实就是把方程组转化为方程 解二元一次方程组就是通过消元 把它转化为一元一次方程求解 温馨提示 解方程组其实就是把方程组转化为方程 解二元一次方程组就是通过消元 把它转化为一元一次方程求解 28 考点四列方程 组 解应用题1 列方程 组 解应用题的一般步骤 1 把握题意 搞清楚条件是什么 求什么 2 设未知数 3 找出能够包含未知数的等量关系 一般情况下设几个未知数 就找几个等量关系 29 4 列出方程 组 5 求出方程 组 的解 注意排除增根 6 检验 看是否符合题意 7 写出答案 包括单位名称 2 列方程 组 解应用题的关键是 确定等量关系 30 考点一一元二次方程的定义在整式方程中 只含有 个未知数 并且含未知数项的最高次数是 这样的整式方程叫一元二次方程 一元二次方程的标准形式是 考点二一元二次方程的常用解法 一 2 ax2 bx c 0 a 0 31 32 33 34 考点一分式方程及解法1 分式方程分母里含有 的方程 叫做分式方程 2 解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程 即分式方程 整式方程 1 去分母 转化为整式方程 2 解整式方程 得根 3 验根 4 增根在方程变形时 使原分式方程的分母为零的根 称为原方程的增根 解分式方程时 有可能产生增根 因此解分式方程要验根 其方法是代入最简公分母中 使最简公分母为0的是增根 否则不是 未知数 35 考点二与增根有关的问题1 分式方程的增根必须同时满足两个条件 1 2 2 增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值 解答思路为 1 将原方程化为整式方程 2 确定增根 3 将增根代入变形后的整式方程 求出参数的值 是由分式方程化成的整式方程的根 使最简公分母为零 36 考点三列分式方程解应用题1 列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样 不同之处是列出的方程是分式方程 求出分式方程解后 一定要记住对所列方程和实际问题验根 不要缺少了这一步 2 应用问题中常用的数量关系及题型 1 数字问题 包括日历中的数字规律 设个位数字为c 十位数字为b 百位数字为a 则这个三位数是 日历中前后两日差 上下两日差 100a 10b c 1 7 37 2 体积变化问题 3 打折销售问题 利润 成本 利润率 100 4 行程问题 路程 若用v表示轮船的速度 用v顺 v逆 v水分别表示轮船顺水 逆水和水流的速度 在下列式子中填空 v顺 v v逆 v v v水 售价 速度 时间 v水 v水 38 在轮船航行问题中 知v顺 v逆 v v水中的任何两个量 总能求出其他的量 5 教育储蓄问题 利息 本息和 本金 1 利率 期数 利息税 贷款利息 贷款数额 利率 期数 本金 利率 期数 本金 利息 利息 利息税率 39 考点一不等式的基本概念1 不等式用 连接起来的式子 叫做不等式 2 不等式的解使不等式成立的 值 叫做不等式的解 3 不等式的解集一个含有未知数的不等式的 叫做不等式的解集 4 一元一次不等式只含有 个未知数 并且未知数的次数是 且系数不等于 的不等式 叫一元一次不等式 其一般形式为 或 5 解不等式求不等式的过程或证明不等式的过程 叫做解不等式 不等号 未知数的 解的全体 ax b 0 ax b 0 a 0 解集 无解 一 0 一 40 考点二不等式的基本性质温馨提示 一定要注意应用不等式的基本性质3时 要改变不等号的方向 整式 不变 正数 负数 改变 数 不变 41 考点三一元一次不等式的解法解一元一次不等式的基本步骤 去分母 去 合并 系数化为1 温馨提示 用数轴表示不等式的解集时 注意实心点和空心圆圈的意义 考点四一元一次不等式的应用列不等式解应用题的一般步骤 1 审题 2 设未知数 3 确定包含未知数的不等量关系 4 列出不等式 5 求出不等式的解集 6 检验不等式的解是否符合题意 7 写出答案 括号 移项 同类项 42 考点一一元一次不等式组的有关概念1 定义类似于方程组 把几个含有相同未知数的 合起来 就组成了一个一元一次不等式组 2 解集几个不等式的解集的 叫做由它们所组成的不等式组的解集 考点二一元一次不等式组的解法1 解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的 再求出它们的 一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来 由图形得出公共部分 就得到不等式组的 一元一次不等式 公共部分 公共部分 解集 解集 43 2 两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集情况见下表 其中a b x a x b a x b 无解 44 温馨提示当不等式组中含有 或 时 不等式组的解法和解集取法不变 只是表示在数轴上需要注意区分实心点和空心圆圈的使用 考点三一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解 非负整数解 负整数解等 不等式组的特殊解 包含在它的解集中 因此 解决此类问题的关键是先求出不等式组的解集 然后求其特殊解 45 考点四一元一次不等式组的应用利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似 不同的是后者寻求的是等量关系 列出的是等式 前者寻求的是不等量关系 列出的是不等式 解不等式组所得的结果通常为解集 根据题意需从解集中找出符合条件的答案 在列不等式时 不超过 不多于 等用 连接 至少 不少于 等用 连接 46 考点一平面内点的坐标1 有序数对 1 平面内的点可以用一对来表示 例如点A在平面内可表示为A a b 其中a表示点A的横坐标 b表示点A的纵坐标 2 平面内的点和有序实数对是的关系 即平面内的任何一个点可以用一对来表示 反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点 3 有序实数对表示这一对实数是有的 即 1 2 和 2 1 表示两个的点 有序实数 一一对应 有序实数 不同 顺序 47 2 平面内点的坐标规律 1 各象限内点的坐标的特征点P x y 在第一象限 x 0 y 0 点P x y 在第二象限 x 0 y 0 点P x y 在第三象限 x 0 y 0 点P x y 在第四象限 x 0 y 0 2 坐标轴上的点的坐标的特征点P x y 在x轴上 y 0 x为任意实数 点P x y 在y轴上 x 0 y为任意实数 点P x y 在坐标原点 x 0 y 0 48 考点二特殊点的坐标特征1 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 1 平行于x轴 或垂直于y轴 的直线上点的相同 横坐标为不相等的实数 2 平行于y轴 或垂直于x轴 的直线上点的相同 纵坐标为不相等的实数 2 各象限角平分线上的点的坐标特征 1 第一 三象限角平分线上的点 横 纵坐标 2 第二 四象限角平分线上的点 横 纵坐标 纵坐标 横坐标 相等 互为相反数 49 3 对称点的坐标特征点P x y 关于x轴的对称点P1的坐标为 x y 关于y轴的对称点P2的坐标为 x y 关于原点的对称点P3的坐标为 x y 以上特征可归纳为 1 关于x轴对称的两点 横坐标相同 纵坐标 2 关于y轴对称的两点 横坐标 纵坐标相同 3 关于原点对称的两点 横 纵坐标均 互为相反数 互为相反数 互为相反数 50 考点三确定物体位置的方位1 平面内点的位置用来确定 2 方法 1 平面直角坐标法 2 方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置 方向角是表示方向的角 距离是物体与观测点的距离 用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时 要注意中心点的位置 中心点变化了 则方向角与距离也随之变化 一对有序实数 51 考点四函数及其图象1 函数的概念 1 在一个变化过程中 我们称数值 的量为变量 有些数值是的 称它们为常量 2 一般地 在一个变化过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值 y都有的值与其对应 那么就说 x是 y是x的函数 3 用来表示函数关系的数学式子 叫做函数解析式或函数关系式 发生变化 始终不变 唯一确定 自变量 52 2 函数的表示法及自变量的取值范围 1 函数有三种表示方法 这三种方法有时可以互相转化 2 当函数解析式表示实际问题或几何问题时 其自变量的取值范围必须符合意义或意义 3 函数的图象对于一个函数 把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的与在平面内描出相应的点 组成这些点的图形叫这个函数的图象 1 画函数图象 一般按下列步骤进行 列表 描点 连线 2 图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解 反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上 解析法 列表法 图象法 实际 几何 纵坐标 横坐标 53 温馨提示 画图象时要注意自变量的取值范围 当图象有端点时 要注意端点是否有等号 有等号时画实心点 无等号时画空心圆圈 54 考点五自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时 首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义 1 自变量以整式形式出现 它的取值范围是全体实数 2 自变量以分式形式出现 它的取值范围是使分母不为零的实数 3 当自变量以偶次方根形式出现 它的取值范围是使被开方数为非负数 以奇次方根出现时 它的取值范围为全体实数 4 当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中 它的取值范围是使 5 在一个函数关系式中 同时有几种代数式 函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分 底数不为零的数 55 考点一一次函数的定义一般地 如果y kx b k b是常数 k 0 那么y叫做x的一次函数 特别地 当b 时 一次函数y kx b就成为y kx k是常数 k 0 这时 y叫做x的 1 由定义知 y是x的一次函数 它的解析式是 其中k b是常数 且k 0 2 一次函数解析式y kx b k 0 的结构特征 1 k0 2 x的次数是1 3 常数项b可为任意实数 3 正比例函数解析式y kx k 0 的结构特征 1 k0 2 x的次数是 3 没有常数项或者说常数项为 0 正比例函数 y kx b 0 1 56 温馨提示 正比例函数是一次函数 但一次函数y kx b k 0 不一定是正比例函数 只有当b 0时 它才是正比例函数 57 考点二一次函数的图象温馨提示 58 3 一次函数y kx b k 0 的图象与k b符号的关系 1 k 0 b 0 图象经过第一 二 三象限 2 k 0 b 0 图象经过第一 三 四象限 3 k 0 b 0 图象经过第一 二 四象限 4 k 0 b 0 图象经过第二 三 四象限 59 考点三一次函数图象的性质一次函数y kx b 当k 0时 y随x的增大而 图象一定经过第象限 当k 0时 y随x的而减小 图象一定经过第 象限 考点四一次函数的应用用一次函数解决实际问题的一般步骤为 设定实际问题中的变量 建立一次函数关系式 确定自变量的取值范围 利用函数性质解决问题 答 增大 一 三 增大 二 四 60 温馨提示 1 题目中的条件在列等式 不等式时不能重复使用 要仔细寻找题目中的隐含条件 2 正确理解题目中的关键词语 盈 亏 涨 跌 收益 利润 赚 赔 打折 不大于 不小于等 3 设未知数相关量要有依据 而代数式为多项式时要加括号 带上单位 列方程时相关量的单位要保持一致 61 考点一反比例函数的定义 kx 1 62 考点二反比例函数的图象和性质 双曲线 相交 减小 63 2 k 0 图象 双曲线 的两个分支分别在第象限 如图 所示 图象自左向右是上升的 当x 0或x 0时 y随x的增大而增大 或y随x的减小而减小 二 四 64 考点三反比例函数解析式的确定由于反比例函数的关系式中只有一个未知数 因此只需已知一组对应值就可以 待定系数法求解析式的步骤 1 设出含有待定系数的函数解析式 2 把已知条件代入解析式 得到关于待定系数的方程 3 解方程求出待定系数 65 考点四反比例函数图象中比例系数k的几何意义 k 66 温馨提示 根据图象说出性质 根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点 要逐步理解和掌握 考点五反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时 先确定函数解析式 再利用图象找出解决问题的方案 特别注意自变量的 取值范围 67 考点一二次函数的定义一般地 如果y ax2 bx c a b c是常数 a 0 那么y叫做x的二次函数 1 结构特征 等号左边是函数 右边是关于自变量x的 次式 x的最高次数是2 二次项系数a 0 2 二次函数的三种基本形式 1 一般形式 2 顶点式 它直接显示二次函数的顶点坐标是 3 交点式 其中x1 x2是图象与x轴交点的 二 y ax2 bx c a b c是常数 且a 0 y a x h 2 k a 0 h k y a x x1 x x2 a 0 横坐标 68 考点二二次函数的图象和性质 69 70 考点三二次函数y ax2 bx c的图象特征与a b c及b2 4ac的符号之间的关系 71 注意 当x 1时 y a b c 当x 1时 y a b c 若a b c 0 即x 1时 y 0 若a b c 0 即x 1时 y 0 72 考点四二次函数图象的平移任意抛物线y a x h 2 k可以由抛物线y ax2经过平移得到 具体平移方法如下 温馨提示 二次函数图象间的平移 可看作是顶点间的平移 因此只要掌握了顶点是如何平移的 就掌握了二次函数图象间的平移 73 考点五二次函数解析式的求法1 一般式 y ax2 bx c a 0 若已知条件是图象上三个点的坐标 则设一般式y ax2 bx c a 0 将已知条件代入 求出a b c的值 2 交点式 y a x x1 x x2 a 0 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标 则设交点式 y a x x1 x x2 a 0 将第三点的坐标或其他已知条件代入 求出待定系数a 最后将解析式化为一般式 3 顶点式 y a x h 2 k a 0 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值 则设顶点式 y a x h 2 k a 0 将已知条件代入 求出待定系数化为一般式 74 考点六二次函数的应用二次函数的应用包括两个方面 1 用二次函数表示实际问题变量之间关系 2 用二次函数解决最大化问题 即最值问题 用二次函数的性质求解 同时注意自变量的取值范围 75 考点一函数的综合应用1 直接利用一次函数图象解决求一次方程 一次不等式的解 比较大小等问题 2 直接利用二次函数图象 反比例函数图象解决求二次方程 分式方程 分式不等式的解 比较大小等问题 3 利用数形结合的思路 借助函数的图象和性质 形象直观地解决有关不等式最大 小 值 方程的解以及图形的位置关系等问题 4 利用转化的思想 通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题 76 5 通过几何图形和几何知识建立函数模型 提供设计方案或讨论方案的可行性 6 建立函数模型后 往往涉及方程 不等式 相似等知识 最后必须检验与实际情况是否相符合 7 综合运用函数知识 把生活 生产 科技等方面的问题通过建立函数模型求解 涉及最值问题时 要想到运用二次函数 77 考点一线段 射线 直线1 线段的性质 1 所有连接两点的线中 最短 即过两点有且只有一条直线 2 线段垂直平分线上的点到这条线段的的距离相等 2 射线 线段又可看作是直线的一部分 即整体与部分的关系 将线段无限延长一方得到射线 两方无限延长可得到直线 3 直线 射线 线段的区别与联系 线段 两个端点 78 79 考点二角1 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 如果一个角的两边成一条直线 那么这个角叫做平角 平角的一半叫直角 大于直角小于平角的角叫做钝角 大于0 小于直角的角叫做锐角 2 1周角 度 1平角 度 1直角 度 1 分 1分 秒 3 余角 补角及其性质互为补角 如果两个角的和是一个 那么这两个角叫做互为补角 互为余角 如果两个角的和是一个 那么这两个角叫做互为余角 性质 同角 或 的余角相等 同角 或等角 的补角相等 平角 直角 等角 360 180 90 60 60 80 温馨提示 互为补角 互为余角是相对两个角而言 它们都是由数量关系来定义 与位置无关 81 考点三相交线1 对顶角及其性质对顶角 两条直线相交所得到的四个角中 没有公共边的两个角叫做对顶角 性质 对顶角 2 垂线及其性质垂线 两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角 则这两条直线互相垂直 其中一条直线叫另一条直线的 性质 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 简说成 垂线段最短 相等 垂线 82 考点四平行线1 平行线的定义在同一平面内 的两条直线 叫平行线 2 平行公理经过已知直线外一点 有且只有条直线与已知直线平行 3 平行线的性质 1 如果两条直线平行 那么相等 2 如果两条直线平行 那么相等 3 如果两条直线平行 那么互补 不相交 一 同位角 内错角 同旁内角 83 4 平行线的判定 1 定义 在同一平面内的两条直线 叫平行线 2 相等 两直线平行 3 相等 两直线平行 4 同旁内角 两直线平行 温馨提示 除上述平行线识别方法外 还有 在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行 及 平行于同一直线的两条直线平行 的识别方法 不相交 同位角 内错角 互补 84 考点一三角形的概念与分类1 由三条线段所围成的平面图形 叫做三角形 2 三角形按边可分为 三角形和三角形 按角可分为三角形 三角形和三角形 首尾顺次相接 不等边 等腰 锐角 钝角 直角 85 考点二三角形的性质1 三角形的内角和是 三角形的外角等于与它的两个内角的和 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角 2 三角形的两边之和第三边 两边之差第三边 3 三角形中的重要线段 1 角平分线 三角形的三条角平分线交于一点 这点叫做三角形的内心 它到三角形各边的距离相等 2 中线 三角形的三条中线交于一点 这点叫做三角形的重心 3 高 三角形的三条高交于一点 这点叫做三角形的垂心 180 不相邻 大于 小于 86 4 三边垂直平分线 三角形的三边垂直平分线交于一点 这点叫做三角形的外心 外心到三角形三个顶点距离相等 5 中位线 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 温馨提示 三角形的边 角之间的关系是三角形中重要的性质 在比较角的大小 线段的长短及求角或线段中经常用到 学习时应结合图形 做到熟练 准确地应用 三角形的角平分线 高 中线均为线段 87 考点三全等三角形的概念与性质1 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2 全等三角形的性质 1 全等三角形的 分别相等 2 全等三角形的对应线段 角平分线 中线 高 相等 周长相等 面积相等 对应边 对应角 88 考点四全等三角形的判定1 一般三角形全等的判定 1 如果两个三角形的三条边分别 那么这两个三角形全等 简记为SSS 2 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为SAS 3 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为ASA 4 如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为AAS 对应相等 89 2 直角三角形全等的判定 1 两直角边对应相等的两个直角三角形全等 2 一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等 3 如果两个直角三角形的斜边及一条分别对应相等 那么这两个直角三角形全等 简记为HL 3 证明三角形全等的思路 直角边 90 91 考点一等腰三角形1 概念及分类有的三角形叫等腰三角形 有的三角形叫做等边三角形 也叫正三角形 等腰三角形分为的等腰三角形和 的等腰三角形 2 等腰三角形的性质 1 等腰三角形两腰相等 等腰三角形的两个底角 2 等腰三角形的顶角角平分线 底边上的中线和高互相 简称 三线合一 三边相等 腰和底不相等 腰和底相等 相等 重合 两边相等 92 3 等腰 非等边 三角形是轴对称图形 它有一条对称轴 4 等腰三角形边长须满足两腰之和大于底 等腰三角形的底角满足0 90 顶角满足0 180 3 等腰三角形的判定 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形 2 有相等的三角形是等腰三角形 温馨提示 应用性质 三线合一 时 一定要注意是顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 利用它可以证明线段相等 角相等及直线垂直 两角 93 考点二等边三角形的性质与判定1 性质 1 等边三角形的内角都相等 且等于60 2 等边三角形是轴对称图形 等边三角形每条边上的中线 高和所对角的平分线都 三线合一 它们所在的直线都是等边三角形的对称轴 2 判定 三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 温馨提示 1 顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形 2 等边三角形外心 内心 重心 垂心四心合一 94 考点三线段的中垂线1 概念 垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 也叫中垂线 2 性质 线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等 3 判定 到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上 线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合 95 考点四直角三角形的性质 判定1 性质 1 直角三角形的两个锐角 2 勾股定理 a2 b2 c2 在Rt ABC中 C 90 3 在直角三角形中 如果有一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的 4 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角为 5 直角三角形上的中线等于斜边的一半 互余 一半 30 斜边 96 2 判定 1 有一个角是的三角形是直角三角形 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 3 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形为三角形 4 在一个三角形中 如果有两个角互余 那么这个三角形是三角形 直角 直角 直角 97 温馨提示 1 勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法 2 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 3 若a b c为一直角三角形的三边长 则以ma mb mc m 0 为三边的三角形也是直角三角形 98 考点一几何作图1 尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺2 基本作图 1 作一条线段等于已知线段 以及线段的和 差 2 作一个角等于已知角 以及角的和 差 3 作角的平分线 4 作线段的垂直平分线 3 利用基本作图作三角形 1 已知三边作三角形 2 已知两边及其夹角作三角形 99 3 已知两角及其夹边作三角形 4 已知底边及底边上的高作等腰三角形 5 已知一直角边和斜边作直角三角形 4 与圆有关的尺规作图 1 过不在同一直线上的三点作圆 即三角形的外接圆 2 作三角形的内切圆 5 有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型6 作图题的一般步骤 1 已知 2 求作 3 分析 4 作法 5 证明 6 讨论 其中步骤 5 6 常不作要求 步骤 3 一般不要求 但作图中一定要保留作图痕迹 100 考点二定义 命题 定理 公理有关概念 1 定义是能明确指出概念含义或特征的句子 它必须严密 2 命题 判断一件事情的语句 命题由题设和两部分组成 命题的真假 正确的命题称为 的命题称为假命题 互逆命题 在两个命题中 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论 而第一个命题的结论是第二个命题的题设 那么这两个命题称为互逆命题 每一个命题都有逆命题 真命题 错误 结论 101 3 定理 经过证明的真命题叫做定理 因为定理的逆命题不一定都是真命题 所以不是所有的定理都有逆定理 4 公理 有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的 并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据 这样的真命题叫公理 温馨提示 对命题的正确性理解一定要准确 判定命题不成立时 有时可以举反例说明道理 命题有正 误 错误的命题也是命题 102 考点三证明1 证明 根据题设 定义 公理及定理 经过逻辑推理来判断一个命题是否正确 这一推理过程称为证明 2 证明的一般步骤 审题 找出命题的和 由题意画出图形 具有一般性 用数学语言写出 分析证明的思路 写出 每一步应有根据 要推理严密 证明过程 题设 结论 已知 求证 103 考点一多边形 不相邻 n 2 180 360 104 温馨提示 1 多边形包括三角形 四边形 五边形 等边三角形是边数最少的正多边形 2 多边形中最多有3个内角是锐角 如锐角三角形 也可以没有锐角 如矩形 3 解决n边形的有关问题时 往往连接其对角线转化成三角形的相关知识 研究n边形的外角问题时 也往往转化为n边形的内角问题 105 考点二平面图形的密铺1 密铺的定义用形状 大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接 彼此之间不留空隙 不重叠地铺成一片 这就是平面图形的密铺 又称作平面图形的镶嵌 2 平面图形的密铺 1 一个多边形密铺的图形有 和 2 两个多边形密铺的图形有 和 3 三个多边形密铺的图形一般有 三角形 四边形 正六边形 正三角形和正方形 正三角形和正六边形 正方形和正八边形 正三角形和正十二边形 正三角形 正方形和正六边形 正方形 正六边形和正十二边形 正三角形 正方形和正十二边形 106 温馨提示 能密铺的图形在一个拼接点处的特点 几个图形的内角拼接在一起时 其和等于360 并使相等的边互相重合 107 考点三平行四边形的定义 性质与判定1 定义 两组对边的四边形是平行四边形 2 性质 1 平行四边形的对边 2 平行四边形的对角 邻角 3 平行四边形的对角线 4 平行四边形是对称图形 3 判定 1 两组对边分别的四边形是平行四边形 2 两组对边分别的四边形是平行四边形 3 一组对边的四边形是平行四边形 4 两组对角分别的四边形是平行四边形 5 对角线的四边形是平行四边形 分别平行 平行且相等 相等 互补 互相平分 中心 平行 相等 平行且相等 相等 互相平分 108 考点一矩形的定义 性质和判定1 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 性质 1 矩形的四个角都是直角 2 矩形的对角线 3 矩形既是轴对称图形 又是中心对称图形 它有两条对称轴 它的对称中心是对角线的交点 3 判定 1 有的平行四边形是矩形 2 有三个角是直角的四边形是矩形 3 对角线相等的是矩形 互相平分且相等 一个角是直角 平行四边形 109 考点二菱形的定义 性质和判定1 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 性质 1 菱形的四条边 对角线互相 并且每条对角线平分一组对角 2 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 3 判定 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 四条边都相等的四边形是菱形 3 对角线的平行四边形是菱形 4 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 都相等 垂直平分 互相垂直 110 考点三正方形的定义 性质和判定1 定义 有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形 2 性质 1 正方形四个角都是 四条边都 2 正方形两条对角线 并且互相 每条对角线平分一组对角 3 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 3 判定 1 有一个角是直角的菱形是正方形 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形的判定可借助平行四边形 矩形 菱形来判定 直角 相等 相等 垂直平分 111 考点四平行四边形 矩形 菱形 正方形的关系温馨提示 1 矩形 菱形和正方形具有平行四边形的所有性质 2 平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多 要想做到准确而不混淆就要从 边 角 对角线 对称性 这四个方面来研究它们的性质和判定 多用数形结合法 掌握它们的区别及联系 把握它们的特征是关键 112 考点一梯形的定义 分类及面积1 定义 一组对边平行 而另一组对边的四边形叫做梯形 其中 平行的两边叫做底 两底间的距离叫做梯形的 不平行 高 113 考点二等腰梯形的性质与判定1 性质 1 等腰梯形的两腰相等 两底 2 等腰梯形在同一底边上的两个角 3 等腰梯形的对角线 4 等腰梯形是轴对称图形 2 判定 1 定义法 2 同一底边上的两个角的梯形是等腰梯形 3 对角线相等的梯形是等腰梯形 平行 相等 相等 相等 114 考点三梯形的中位线1 定义 连接梯形的线段叫做梯形中位线 2 判定 1 经过梯形一腰中点与的直线必平分另一腰 2 定义法 3 性质 梯形的中位线两底 并且等于的一半 两腰中点 底平行 平行于 两底和 115 考点四解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法 116 考点一成比例线段与比例的定义及性质 ad bc 117 118 温馨提示 1 求两条线段的比时 对两条线段要采用同一长度单位 如果单位不同 那么必须先化成同一单位 然后再比 且两条线段的比是一个实数 没有单位 119 考点二相似多边形的判断及性质1 多边形相似的判断 各角对应相等 各边对应成比例 2 相似多边形的性质 1 对应角 对应边 2 周长之比等于 面积之比等于 相等 成比例 相似比 相似比的平方 120 考点三位似图形及性质1 定义 如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在的直线都经过同一点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 因此 位似图形一定是相似图形 但相似图形不一定是位似图形 2 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 121 122 考点一相似三角形的定义定义 如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似考点二相似三角形的性质1 相似三角形的对应角 对应边 2 相似三角形的对应高的比 对应角平分线的比 对应中线的比都等于 3 相似三角形的周长之比等于 面积之比等于 相等 成比例 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相似比 123 考点三相似三角形的判定1 两边对应 且夹角的两个三角形相似 2 两角对应相等的两个三角形相似 3 三边对应的两个三角形相似 温馨提示 直角三角形相似的条件 1 两直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 有一个锐角对应相等的两直角三角形相似 3 有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 成比例 相等 成比例 124 考点一锐角三角函数定义若在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 则sinA cosA tanA 温馨提示 1 锐角三角函数是在直角三角形中定义的 2 sinA cosA tanA表示的是一个整体 是指两条线段的比 没有单位 3 锐角三角函数的大小仅与角的大小有关 与该角所处的直角三角形的大小无关 125 4 当A为锐角时 0 sinA 1 0 cosA 1 tanA 0 考点二特殊角的三角函数值 126 127 考点三用计算器求一个锐角的三角函数值或由三角函数值求锐角 128 考点四解直角三角形1 解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素 求出所有未知元素的过程 叫做解直角三角形 直角三角形中 除直角外 一共有5个元素即3条边和2个锐角 2 直角三角形的边角关系在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 1 三边之间的关系 2 两个锐角之间的关系 a2 b2 c2 A B 90 129 130 考点一解直角三角形的应用中的相关概念1 仰角 俯角 如图 在测量时 视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 3 方向角 指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角 叫做方向角 如图 表示北偏东60 方向的一个角 水平距离l 131 注意 东北方向指北偏东方向 东南方向指南偏东45 方向 西北方向指北偏西45 方向 西南方向指南偏西45 方向 我们一般画图的方位为上北下南 左西右东 4 方位角 从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角 45 132 考点二直角三角形的边角关系的应用日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题 因此 直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用 在应用时要注意以下几个环节 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 133 考点一图形的轴对称1 轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相 那么这个图形叫做轴对称图形 2 轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折过去 如果它能够和另一个图形重合 那么这两个图形关于直线对称 两个图形关于直线对称也称轴对称 这条直线叫做对称轴 重合 134 3 轴对称变换的基本性质 1 对应点所连的线段被对称轴 2 对应线段 对应角 4 轴对称和轴对称图形的区别轴对称涉及两个图形 是两个图形的位置关系 轴对称图形是对一个图形本身而言的 5 镜面对称原理 1 镜中的像与原来的物体 2 镜子中的像改变了原来物体的左右位置 即像与物体左右位置互换 垂直平分 相等 相等 轴对称 135 考点二中心对称图形和中心对称1 在平面内 一个图形绕某个点旋转180 能与原来的图形重合 这个图形叫做中心对称图形 这个点叫做它的对称中心 旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点 2 在平面内 一个图形绕某一定点旋转180 它能够与另一个图形重合 就说这两个图形关于这个点成中心对称 这个点叫做对称中心 旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点 3 中心对称与中心对称图形的区别与联系区别 1 中心对称是指两个图形的位置关系 而中心对称图形是指具有某种性质的一类图形 2 成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上 而中心对称图形的对称点在同一个图形上 136 联系 若把中心对称图形的两部分看成两个图形 则它们成中心对称 若把成中心对称的两个图形看成一个整体 则成为中心对称图形 137 考点一平移的定义 条件1 定