2018-2019学年上海市格致中学高二下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市格致中学高二下学期期中数学试题一、单选题1给出下列命题（1）若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面；（2）若三条直线两两平行，那么这三条直线共面；（3）若直线与直线异面，直线与直线异面，那么直线与直线异面；（4）若直线与直线垂直，直线与直线垂直，那么直线与直线平行；其中正确的命题个数有（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】A【解析】根据空间直线与平面平行垂直的性质与判定逐个分析即可.【详解】(1)如正四面体的任意一定点经过的三条棱均相交,但这三条直线异面.故(1)错误.(2)如直三棱柱的三条高均互相平行,但这三条直线异面.故(2)错误.(3)当与相交且,时可满足直线与直线异面,直线与直线异面,但直线与直线共面.故(3)错误.(4)同(3)可知(4)错误.故选：A【点睛】本题主要考查了线面平行垂直的判定,需举出反例证明结论不正确,属于基础题.2在复数范围内，有下列命题：（1）若是非零复数，则一定是纯虚数；（2）若复数满足，则是纯虚数；（3）若复数、满足，则且；（4）若、为两个虚数，则一定是实数；其中正确的命题个数有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】(1)设再运算分析即可.(2)取分析即可.(3)举出反例分析即可.(4) 设再运算分析即可.【详解】(1)设则,当时可知(1)错误.(2)取满足,但不是纯虚数.故(2)错误.(3)当、时也满足,故(3)错误.(4) 设,则为实数.故(4)正确.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的运算运用,需要根据题意找到反例或者设复数的表达式计算分析.属于中档题.3已知复数（）满足，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据复数的几何意义求出复数的轨迹方程再根据的几何意义求解即可.【详解】因为,故,即.又的几何意义为到的斜率.故当过原点的直线与切于第一象限时取得最大值.此时设切线的倾斜角为则,易得.故的最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题.4某课外定向小组在一次课外定向活动中要经过、六个打卡点，要求是：（1）地点必须在前三次完成，且在处打卡后需立即赶到地点打卡；（2）地点与地点不能相邻打卡，则不同的打卡顺序有（ ）A36种B44种C48种D54种【答案】B【解析】根据题意可分地点分别在第1,2,3次打卡三种情况进行计算即可.【详解】当地点在第1次打卡时, 地点在第2次打卡,又地点与地点不能相邻打卡,故此时有种情况.当地点在第2次打卡时, 地点在第3次打卡, 又地点与地点不能相邻打卡,故此时有种情况.当地点在第3次打卡时, 地点在第4次打卡, 又地点与地点不能相邻打卡,故此时有种情况.故共有种情况.故选：B【点睛】本题主要考查了排列组合的综合问题,需要根据题意分三种情况进行求解,根据题中的特殊元素满足的条件分析即可.属于中档题.二、填空题5设复数满足,则_.【答案】.【解析】利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果.【详解】复数满足，故而可得，故答案为.【点睛】本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题6已知点、，直线上点满足，则直线的倾斜角大小为_【答案】135【解析】先求出点的坐标,再代入直线求解方程进而求得斜率与直线的倾斜角即可.【详解】因为,故为、的中点,即.又直线上有点,故.故直线的斜率.故倾斜角为135.故答案为：135【点睛】本题主要考查了向量的应用与直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.7设集合（是虚数单位），则集合中所有元素的和为_【答案】0【解析】根据复数的周期性求出集合中所有的元素再求和即可.【详解】因为,故周期为4,所以周期也为4.又,.故.所以集合中所有元素的和为0.故答案为：0【点睛】本题主要考查了的周期性运用,属于基础题.8点是圆上的一点，且点关于直线的对称点也在此圆上，则实数_【答案】【解析】根据圆的对称性可知与点关于直线的对称点均在圆上,故直线经过圆心,再代入圆心计算即可.【详解】由题意,与点关于直线的对称点均在圆上,故直线经过圆心,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的对称性的运用,属于基础题.9已知两平行线直线分别过点、，设此两平行直线之间的距离为，则的取值范围为_【答案】【解析】根据极限的思想分析,当两平行线无限接近于重合,即过两条直线均过、时距离最小；距离最大时为、之间的距离.【详解】由题意,当两平行线无限接近于重合时距离无限接近于0,距离最大时两条平行线均与直线垂直,此时为、之间的距离.故答案为：【点睛】本题主要考查了极限的思想在解决平面直线距离中的运用,属于中题.10在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是_.【答案】2【解析】作出不等式组所表示区域的图形，计算面积即可求解.【详解】作可行域如图：由可得，可得，解得，三角形区域面积为：.故答案为：2【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的区域，三角形面积的计算，属于中档题.11已知对kR，直线ykx10与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】直线过定点(0,1)在椭圆外部，再根据椭圆定义得到，综合得到答案.【详解】直线过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆外部即可,从而，又因为椭圆中，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，确定直线过定点是解题的关键.12某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _【答案】【解析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.13已知是椭圆上的动点，则的最大值为_【答案】5【解析】根据参数方程的方法求解即可.【详解】因为是椭圆上的动点,故可设,故,其中.故的最大值为5.故答案为：5【点睛】本题主要考查三角换元求函数最值的方法,属于中档题.14如图所示电路中，开关、断开的概率分别是0.3、0.2、0.1，且开关、断开是相互独立的，则此电路连通的概率为_【答案】【解析】由题可知当此电路连通时开关联通,至少有一个连通时线路是连通的,再利用分步原理计算即可.【详解】由题得当此电路连通时开关联通,至少有一个连通.故概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查了概率的实际运用,需要根据题意分析到连通时满足的情况再求解,属于基础题.15如图，质点从正方体的顶点出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过，第二次运动经过，第三次运动经过，且对于任意的正整数，第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2019次运动后，点到达的顶点为_点【答案】【解析】由题意设第次运动前起始点为,分析第次运动后所在的位置与的位置关系即可.【详解】由题,不妨设第次运动前质点在点处.则第次运动经过的或,当第次运动经过时,第次运动经过或.又第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线,故第次运动只能经过或.即第次运动后只可能在处.同理当第次运动经过时也有第次运动后只可能在处.故从开始第3次运动后必定在.第6次运动后必定回到,即6次运动为一个周期.又,故经过2019次运动后与经过3次后的位置相同,即处.故答案为：【点睛】本题主要考查了异面直线的性质与推理判断的问题.需要根据题意分析前几次运动的规律找到运动的周期性进行分析,属于中档题.三、解答题16正八边形的中心为，从向量（）中任取两个不同向量、（，），则使得的概率等于_【答案】【解析】根据图像的对称性可先任意选一个向量对应的概率相等,再分析选另一个向量使得的概率即可.【详解】由题,可分两步选取、,第一步先选取,此时8个向量（）被选取的概率相同,故任意选一个向量后再选一个向量使得的概率即为“任取两个不同向量、（,）,则使得”的概率.不妨设第一次选取的向量为,则剩下的7个向量中仅有满足.故概率为 故答案为：【点睛】本题主要考查了分步计数求解概率的方法,属于基础题.17设（）.（1）若、成等差数列，求的值；（2）设，求的值.【答案】（1）；（2）1.【解析】(1)根据二项展开式的通项公式求出、再根据等差数列的性质求解即可.(2)令即可得,再根据数列的极限求解即可.【详解】(1)由题, ,.又、成等差数列,故.显然故.(2)令可得.故.【点睛】本题主要考查了二项式定理求项的系数关系的方法与数列的极限求解.属于中档题.18如图，点在平面外，在平面内，、分别是线段、的中点.（1）求证：、四点在同一平面上；（2）若，异面直线与所成角为60，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】(1)证明四边形为平行四边形,即可. (2)由(1)四边形为平行四边形,再根据中位线关系求出的长,再利用解三角形的方法求解的长即可.【详解】(1)因为、分别是线段、的中点.故且,同理且,故且.故四边形为平行四边形.故、四点在同一平面上(2) 由(1)四边形为平行四边形,且,.又异面直线与所成角为60,故所成角为60,故或.当时,.此时当时,.此时所以的长为或【点睛】本题主要考查了点共面的证明与根据线线角和余弦定理求解线段长度的问题,需要注意线线角为60则夹角可能为或两种情况.属于中档题.19从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）【答案】（1）75；（2）65；（3）.【解析】(1)易得可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人.再用组合的方法求解即可.(2)先求得不考虑必须男女医生的总情况数,再减去只有男医生的情况数即可.(3)先计算男医生甲与女医生乙被同时选中的概率,再用1去减计算即可.【详解】(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,共种不同的建组方案.(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共种,其中只有男医生的情况数有,不可能存在只有女医生的情况.故共有种不同的建组方案.(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为.【点睛】本题主要考查了组合的实际运用题,需要根据题意分析特殊元素满足的条件求解.同时在事件的正面情况数较多的情况下可以考虑先求事件的对立事件.属于中档题.20已知抛物线的焦点为，直线，点，是抛物线上的动点.（1）求的最小值及相应点的坐标；（2）点到直线距离的最小值及相应点的坐标；（3）直线过点与抛物线交于、两点，交直线于点，若，求的值.【答案】（1）3，；（2），；（3）0.【解析】(1)根据抛物线的定义转换线段关系求解即可.(2)设再求出点到线的距离公式分析最值即可.(3)设直线方程为,再联立直线与抛物线和,分别表示出的坐标,再根据,表达出