人教A版选修22 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教案1.doc

教学设计12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教材分析本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作用在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数教材层层深入，由易到难，给我们展示了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂课时分配2课时第1课时(基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)；第2课时(复合函数的求导法则)第1课时教学目标1知识与技能目标(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则2过程与方法目标能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数3情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教具准备：多媒体首先回顾一下上一节的内容，从导数的定义出发，按求导数的三个步骤推导了五个常用函数yc、yx、yx2、y、y的导数公式：函数导数ycy0yxy1yx2y2xyyyyyx(q*)yx1是不是所有的函数求导都必须按那三个步骤来求呢？回答是否定的为了方便，我们有一个基本初等函数的导数公式表，今后我们直接可以使用基本初等函数的导数公式表来求函数的导数这一节我们就看一下基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(板书课题)(一)基本初等函数的导数公式表(板书)函数导数f(x)cf(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)axf(x)axlna(a0)f(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)(a0且a1)f(x)lnxf(x)这八个常用的基本初等函数的导数，包括常函数、幂函数(指数为非0有理数)、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数，其中每一个公式都可以根据导数的定义推导出来，但这里不做要求给学生时间先记忆这八个基本初等函数的导数公式(二)导数的运算法则(1)导数运算法则1f(x)g(x)f(x)g(x)；2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3(g(x)0)提问1：若法则2中的f(x)k(常数)，其结果是什么？活动成果：根据f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，kg(x)0g(x)kg(x)所以有以下推论(板书)：(2)推论：cf(x)cf(x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)例1求(1)yx9；(2)y5x；(3)y3x.答案：(1)y9x8；(2)y5xln5；(3)y3xln3.例2假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解：根据基本初等函数导数公式表，有p(t)1.05tln1.05.所以p(10)1.0510ln1.050.08(元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨如果上述某种商品的p05，那么第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据基本初等函数导数公式表，有p(t)51.05tln1.05.所以p(10)51.0510ln1.050.40(元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨从这里看出，当p05时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)5与g(t)1.05t乘积的导数上面的导数运算法则可以帮我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题(板书)例3求下面函数的导数(1)yx4x3sinxex；(2)yx7x3x10.思路启迪：这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成的，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案规范解法解：(1)y(x4)(x3)(sinx)(ex)4x33x2cosxex.(2)y(x7)(x3)(x)(10)7x63x21.设计意图熟悉基本初等函数的导数公式，也熟悉一下导数的加减法运算法则在应用中熟记基本初等函数的导数公式 例4根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数(1)yx32x3；(2)y；(3)yxsinxlnx；(4)y.解：(1)y(x32x3)(x3)(2x)(3)3x22，y3x22.(2)y()()，y.(3)y(xsinxlnx)(xlnx)sinx(xlnx)sinx(xlnx)(sinx)(1lnxx)sinx(xlnx)cosxsinxlnxsinxxlnxcosx，ysinxlnxsinxxlnxcosx.(4)y()，y.点评：求导数是在定义域内进行的；求较复杂的函数积、商的导数，必须要细心、耐心设计意图 (1)强化基本初等函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对学生在应用中存在的问题加以指导 例5日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80x0，且a1)的导数为()a()xlna baxlna caxlna daxln3设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，则f2 009(x)等于()asinx bsinx ccosx dcosx二、填空题1函数f(x)101的导数是_2函数y在x1处的导数为_3f(x)ax33x22，若f(1)4，则a_.4若曲线yx4的一条切线l与x4y80垂直，则l的方程为_5物体的运动方程为st5，则物体在t2时的瞬时速度为_6给出下列命题，其中正确的命题是_(填序号)(1)任何常数的导数都为零；(2)直线y2x上任一点处的切线方程是这条直线本身；(3)双曲线y上任意一点处的切线斜率都是负值；(4)函数y2x和函数yx2在(0，)上函数值增长的速度一样快7函数ylnx在x1处的切线方程为_答案：一、1.c2.b3.c二、1.02.3.4.4xy305.806.(1)(2)(3)7.xy10前面，我们不仅知道了所有的基本初等函数的导数公式，而且还知道了函数的和、差、积、商的求导法则因此，现在我们可以说，一切基本初等函数的求导问题基本上都得以解决事实上，根据初等函数的定义，初等函数是可以用一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数(常函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数)经过有限次的四则运算构成的，所以任何初等函数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来因此，前面给出的公式和求导法则，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用为了便于查阅和记忆，现将这些公式和求导法则归纳如下：基本初等函数的导数公式表函数导数f(x)cf(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)axf(x)axlna(a0)f(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)(a0且a1)f(x)lnxf(x)导数运算法则1f(x)g(x)f(x)g(x)；2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3(g(x)0)课本习题1.2a组第4、5、8题基础练习求下列函数的导数：1ysinx(1cosx)；2y1lnx；3y；4y.答案：1.ycos2xcosx；2y；3y；4y.拓展练习求曲线ysinx在点a(，)处的切线方程分析：先要利用公式3求出函数ysinx的导数，然后利用导数求出曲线在点a(，)处的切线的斜率，最后应用点斜式求出切线的方程解：ysinx，y(sinx)cosx.y|xcos.斜率k.所求切线方程为y(x)，化简得6x12y60.即曲线ysinx在点a(，)处的切线方程为6x12y60.这节课设计时紧跟教材，对于用定义比较难求的导数不需要学生去推导，而是让学生能够利用教科书给出的基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则解决简单的函数求导问题，并且要求对公式能够熟练掌握，尤其一些由初等函数经过加、减、乘、除四则运算构成的函数求导问题能够掌握因为求导数是下一步研究函数性质的基础，所以这一节对于以后的学习显得非常重要再次，对于求函数的切线问题和与切线斜率有关的距离、面积等问题，归根结底都是导数的问题，因此这节课起着承上启下的作用一、基本初等函数的导数公式表推导过程公式(1)(c)0，c为常数证明：设yf(x)c，yf(xx)f(x)cc0，0，f(x)(c) 00.公式(2)(x)x1，为正整数证明：设yf(x)x，yf(xx)f(x)(xx)xx1xx2(x)2(x)，x1x2x(x)1，f(x)(x) x1.注：以后可以证明，当取任意实数时，这个公式仍然成立公式(3)(sinx)cosx.证明：设ysinx，ysin(xx)sinx2cos(x)sin，cos(x)，y(sinx) cos(x) cosx.公式(4)(cosx)sinx，证明同公式(3)类似公式(5)(logax)(a0且a1)证明：设ylogax，yloga(xx)logaxlog(1)，loga(1)loga(1)，y(logax) loga(1)logae.特别地，当ae时，有公式(6)(lnx).公式(7)(ax)axlna(a0)证明：设yax，yaxxaxax(ax1)，ax，令ax1t，则xloga(1t)又当x0时，有t0，于是 lna.y(ax) axlna.特别地，当ae时，有公式(8)(ex)ex.二、运算法则法则(1)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即(uv)uv.证明：设yu(x)v(x)，u(x)、v(x)均可导当x有增量x时，u、v、y有相应的增量u，v，y，yu(xx)v(xx)u(x)v(x)uv.(uv) uv.用同样的方法可将此结果推广到求有限个函数代数和的导数的情形法则(2)两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(uv)uvuv.证明：设yuv，u(x)、v(x)均可导，当x取增量x(x0)时，u、v、y有相应的增量u、v、y，于是在点x处yu(xx)v(xx)u(x)v(x)u(xx)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(x)uv(xx)u(x)v，v(xx)u(x).由于v(x)在点x处可导，从而连续，于是当x0时，v(xx)v(x)，于是(uv) v(xx)u(x) uvuv.特别地，vc(c是常数)时，(cu)cucu0cucu.也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数的导数，即(cu)cu.对于有限个函数的乘积的导数可类推例如三个可导的函数u(x)，v(x)和w(x)的乘积的导数是(uvw)uvwuvwuvw.法则(3)两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方即()(v0)证明：设y，v(x)0，u(x)，v(x)在点x处可导u(xx)u(x)u，v(xx)v(x)v.y.因为u(x)，v(x)在点x可导，从而连续，于是：y .(设计者：马永刚)第2课时教学目标1知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则2过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数3情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题重点难点重点：复合函数的求导方法复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确教具准备多媒体课件上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y(3x2)2的导数基本初等函数的导数公式表函数导数f(x)cf(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)axf(x)axlna(a0)f(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)(a0且a1)f(x)lnxf(x)导数运算法则1f(x)g(x)f(x)g(x)；2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3(g(x)0)默写完后，给予点评设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题提出问题问题1：求函数y(3x2)2的导数，除了把函数y(3x2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f(x)lnx的导数是什么？函数f(x)ln(3x2)的导数又是什么？学情预测：f(x)lnx的导数是f(x)，函数f(x)ln(3x2)的导数是f(x).回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则(一)复合函数首先分析函数yln(3x2)的结构特点若设u3x2(x)，则ylnu.从而函数yln(3x2)可以看成是由函数ylnu和函数u3x2(x)经过“复合”得到的即y可以通过中间变量u表示成自变量x的函数如果把y与u的关系记作yf(u)，u与x的关系记作ug(x)，那么这个“复合”过程可以表示为yf(u)f(g(x)ln(3x2)我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的例如，函数y(3x2)2是由yu2和u3x2“复合”而成等等一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)例1指出下列函数是怎样复合而成的(1)y(2x3)2；(2)ye0.05x1；(3)ysin(x)(其中，均为常数)；(4)ysin2(1)解：(1)函数y(2x3)2可以看作函数yu2和u2x3的复合函数(2)函数ye0.05x1可以看作函数yeu和u0.05x1的复合函数(3)函数ysin(x)可以看作函数ysinu和ux的复合函数(4)函数ysin2(1)可以看作函数yu2和usinv及v1的复合函数活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础 例2写出由下列函数复合而成的函数(1)ylnu，ux3；(2)yeu，u3x5.解：(1)yln(x3)；(2)ye3x5.设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果 问题：对复合函数如何求导数呢？(二)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux(yx表示y对x的导数)，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积(板书)例3求下列函数的导数(1)y(3x2)2；(2)yln(3x2)解：(1)因为函数y(3x2)2可以看作函数yu2和u3x2的复合函数，所以y(3x2)2对x的导数等于yu2对u的导数与u3x2对x的导数的乘积根据复合函数的求导法则有yxyuux(u2)(3x2)2u36u6(3x2)18x12.(2)因为函数yln(3x2)可以看作函数ylnu和u3x2的复合函数，所以yxyuux(lnu)(3x2)3.设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习 例4(课本例4)求下列函数的导数(1)y(2x3)2；(2)ye0.05x1；(3)ysin(x)(其中，均为常数)解：(1)函数y(2x3)2可以看作函数yu2和u2x3的复合函数根据复合函数的求导法则有yxyuux(u2)(2x3)4u8x12.(2)函数ye0.05x1可以看作函数yeu和u0.05x1的复合函数根据复合函数的求导法则有yxyuux(eu)(0.05x1)0.05eu0.05e0.05x1.(3)函数ysin(x)可以看作函数ysinu和ux的复合函数根据复合函数的求导法则有yxyuux(sinu)(x)cosucos(x)点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y(2x3)2可以看作函数yu2和u2x3的复合函数 分解yu2u，ux2. 求导yxyuux2u2. 相乘函数y(2x3)2的导数是yx4u4(2x3) 回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代例5求下列函数的导数(1)y；(2)ysin4xcos4x.解：(1)y，y.点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理(2)解法一：ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin2(2x)1(1cos4x)cos4x.ysin4x.解法二：y(sin4x)(cos4x)4sin3x(sinx)4cos3x(cosx)4sin3xcosx4cos3x(sinx)4sinxcosx(sin2xcos2x)2sin2xcos2xsin4x.点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法 巩固练习求下列函数的导数(1)y(2x3)3；(2)y(13x)3；(3)ysin(3x)；(4)y.答案：(1)yx6(2x3)2；(2)yx9(13x)2；(3)yx3cos(3x)；(4)yx.变练演编求下列函数的导数(1)ye2x5；(2)y53x1；(3)ylog3(2x4)；(4)ysin2xcos(3x2)；(5)y2xsin(2x5)答案：(1)yx2e2x5；(2)yx3(53x1ln5)；(3)yx；(4)yx2cos2x3sin(3x2)；(5)yx2sin(2x5)4xcos(2x5)设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算 达标检测1求下列函数的导数(1)y(2x1)5；(2)ysin3xsin3(3x)；(3)y；(4)yloga(x22)2求yln(2x23x1)的导数答案：1.(1)yx10(2x1)4；(2)yx3sin2xcosx9sin2(3x)cos(3x)；(3)yx；(4)yx.2yx.1复合函数的定义2复合函数的求导法则，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为比较简单的函数，然后再利用复合函数的求导法则求导3复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代课本习题1.2a组第6、7题，b组第2题基础练习一、选择题1若函数f(x)3cos(2x)，则f()等于()a3 b3 c6 d62函数ysin23x5cosx2的导数是()a2sin3x5sinx2 b2sin6x10xsinx2c3sin6x10sinx2 d3sin6x10xsinx2二、填空题3若函数f(x)log3(x1)，则f(2)_.4曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程是_三、解答题5求曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离答案：1.b2.d3.4.3xy1105.拓展练习1求下列函数的导数(1)y2xsin