数学答案：【2012考研学员普发】公共课阶段测评答案—.pdf

1 5 机密 启用前 机密 启用前 2012 届全国硕士研究生入学统一考试 海文考研公共课标准课程基础阶段测试卷答案 高等数学 数三 2012 届全国硕士研究生入学统一考试 海文考研公共课标准课程基础阶段测试卷答案 高等数学 数三 第二次 第二次 答题注意事项 答题注意事项 1 本试卷考试时间 90 分钟 满分 100 分 2 试卷后面附有参考答案 供学员测试后核对 2 5 一 本题满分 4 分 答案 D 解析 因为 0 f 存在 所以 xf在0 x处连续 又 xf是奇函数 故0 0 f 且 010 1 tan lim lim 2 2 00 x xx e x xfxF 于是 xF在0 x处连续 x e x xf x FxF F x xx 0 1 tan lim 0 0 lim 0 2 2 00 0 1 0 1 tan 0 0 lim 2 2 0 ff e x x fxf x x 故 xF在0 x处可导 应选 D 二 本题满分 4 分 答案 B 解析 方法一 排除法 A 的反例 取 1 1 ln1 n a nn 有lim0 n n na 但 1 n n a 发散 C 的反例 取 3 2 1 n a n 1 n n a 收敛 但 2 lim n n n a D 的反例 取 1 1 ln1 n a nn 1 n n a 发散 但lim0 n n na 故 A B D 排除掉 只能选 B 方法二 证明 B 是正确 lim n n na 即lim 1 n n a n 因为 1 1 n n 发散 由比较 判别法的极限形式知 1 n n a 也发散 选 B 三 本题满分 6 分 答案 1 解析 视 xyy 是x的函数 两边对x求导 于是xxtdt dx dy e x yx2 0 2 sinsin 1 2 令0 x 则右端为零 所以1 0 x dx dy 四 本题满分 6 分 答案 x yxe 3 5 解析 由 u x y 得 u x yxyc x 又 xxx u x exec xe 于是 1 x c xx e 1 x u x yxyx e 所以 x u yxe x 五 本题满分 12 分 设 2 1 22 0 1 sin2 lim x n x xe a x 0a 求n及a的值 解析 2 2 2 1 1 ln 1 sin22 22 2 00 1 sin2 1 limlim x x x nn xx xe e e xx 22 2 2 0 ln 1 sin22 lim n x xx e x 2 2 2 1 0 4 cos2 4 1 sin2 lim 2 n x xx x x e nx 222 0 4cos21 sin2 lim 2 n x exx nx 222 1 0 44 sin24 cos2 lim 2 n x exxxx nnx 222 2 0 16sin2cos2 lim 2 n x exx a n nx 由题意可知 此极限值a不为零 又因为此时分子极限存在且不等于 0 所以分母极限 必存在且也不等于 0 故2n 且此时 2 2 16 2 2 4 e ae 六 本题满分 12 分 设 f x在 区 间 a b上 可 导 且 满 足 2 2 cos cos a b a f bbf xxdx ba 其 中 0 2 ab 求证至少存在一点 a b 使得 tanff 证明 由于 f x在区间 a b上可导 知 f x在 a b上连续 从而 cosF xf xx 在 2 ab a 上连续 可导 由积分中值定理 可知存在一点 2 ab ca 使得 2 22 cos 2 a b a ab F bf xxdxF caF c baba 显然 函数 F x在 c b上满足罗尔定理 所以由罗尔中值定理得 至少存在一点 c ba b 使 cos sin0Fff 即 tanff a b 七 本题满分 13 分 4 5 计算二重积分 D Ixy dxdy 其中 22 1 1 2 Dx yxyyx 解析 画出积分区域 如右图 在极坐标cosxr sinyr 下 积分域边界曲线方 程为 2 sincos r 3 4 积分域为 3 02 sincos 44 Drr 所以 3 2 sincos 4 0 4 sincos D Ixy dxdydrrdr 3 3 4 4 8 sincos sincos 3 d 3 4 4 4 28 sincos 33 八 本题满分 13 分 设函数 yy x 满足微分方程322 x yyye 其图形在点 0 1 处的切线与曲线 2 1yxx 在该点处的切线重合 求函数 yy x 解析 方程322 x yyye 对应的齐次方程的特征方程为 2 320 特征根为 12 1 2 故对应的齐次方程的通解为 2 12 xx C eC e 因为1a 为特征方程的单根 因此原方程的特解可设为 x yAxe 代入原方程得 2A 所以原方程的通解为 2 12 2 xxx yC eC exe 由题设可知初始条件 0 1 y 0 1 y 代入得 12 1 0CC 故所求函数为 1 2 x yx e 九 本题满分 15 分 求函数 22 yxz 在圆域9 2 2 22 yx上的最大值与最小值 解析 解 20 20 z x x z y y 0 0 x y 0 0 在区域上 函数值 0 0 0f 再求 22 yxz 在9 2 2 22 yx上的最值 设函数 2222 2 2 9 F x yxyxy x y o y x D 5 5 求F对 x y 的偏导数为 22 22 2 0 22 2 0 2 2 90 F xx x F yy y F xy 解得 5 25 2 22 xy 22 22 xy 带入得25 z 1 z 所以综合得最大值为 25 最小值为 0 十 本题满分 15 分 把级数 1 1 n n x n 的和函数展成1x 的幂级数 解析 设 1 1 n n x s x n 则有 1100 11 1 nnnn nnnn xxxx s xxxxxx nnnn 其中因为 x 有 0 n x n x e n 所以 x s xxex 又因为 1 0 1 n x n x e n x 所以 11 1 1 1 xxx s xxexxeeeex 00 1 1 1 1 1 nn nn xx