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南昌大学第六届高等数学竞赛（数学专业类2008级）试卷参考答案 序号： 姓名： _ 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2009年10月11日题号一二三四五六七八总分累分人 签名题分3010101010101010 100得分考生注意事项：1、本试卷共 5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 填空题(每空 3 分，共 30分) 得分评阅人 1、=2；2、设，则=；3、设，求=；4、设，则=；5、设是连续函数，且，则；6、当时，函数取得极小值；7、设，则=+C；8、函数的单调减少区间为（0 ，1/4）； 9、曲线在处的切线方程为； 10、的分析定义是,，对于，有二、求极限 =所以=三、证明函数在任何不含原点，也不以原点为端点的区间内一致连续，在（0,1）内不一致连续(1) 若有限区间内不含原点，且左右端点都不为零，由 在与其端点构成的闭区间上连续，所以在一致连续，从而在一致连续。 当为无限区间，或，由于0, 在及上一致连续，故在其任一子区间上一致连续。(2) 对=1，：，四、设在0,1上连续，在（0，1）内可导，试证：（1）存在，使得（2）对任意实数，必存在，使得（3）在0,1上的最大值大于1 1）由知 令，则， 据零点定理知存在，使得，即.（2）令，则在连续，在可导， 据罗尔定理，存在，使得，即（3）由,及极限的保号性，在=1/2的某邻域， 即，而在0,1上有最大值，故在0,1上的最大值大于1五、设在0，2上二次可导，且，则 （其中介于与1之间），注意到 ，可得六、设在上连续，存在连续导数，且.以，分别表示，在上的最大值，证明：（1）（2）（1）若=0，结论显然成立；若，设 （），则（2）由中值定理存在，使得=所以七、设在上连续，且有唯一最小点.若，证明：（反证）设不成立，则，在中可选子列，满足。这是一个有界点列，可以从中选出收敛子列，不妨仍记为，则。于是，与最小值点的唯一性矛盾。第 5 页 共 5页八、证明：若存在常数，有，则数列收敛 令，则是单调上升有上界的数
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