数学北师大版九年级下册二次函数在几何方面的应用.docx

二次函数在几何方面的应用教学设计函数在几何问题中的应用是初中数学的一个重点内容，也是历年中考的必考内容。而二次函数的应用较为广泛，在几何问题中的应用是它的一种基本题型。 本节课主要采用观察图形中变量的变化关系，建立数学模型，利用函数的性质来解决实际问题。一、教学关键 引导学生找出变量关系，并用动画显示出变量变化范围。 二、教学方法：练习启发式 三、课型：新授课四、课时安排：一课时五、教具：多媒体投影仪六、教学目标：1、体验从几何问题中抽象出函数关系式的过程，进一步感受数学模型思想和数学应用价值。2、能够运用二次函数的性质和图象解决实际问题。七、教学重点、难点：用二次函数的性质和图象解决实际问题。八、教学过程：例题学习，强化训练1、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A、点B（点B在X轴的正半轴上），与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为，又tanOBC=1，（1） 求a、k的值；（2） 探究：在该二次函数的图像上是否存在点P（点P与点B、C补重合），使得PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请你说明理由。解： 2如图，抛物线与轴交于(-1,0)，(5,0)两点，直线与轴交于点，与轴交于点.点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点.设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式；（2）若，求的值；（3）若点是点关于直线的对称点，是否存在点，使点落在轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，已知直线l的解析式为y = x1，抛物线y = ax2bx2经过点A（m，0），B（2，0），D 三点（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上4.在平面直角坐标系中, 抛物线+与直线交于A,B两点，点A在点B的左侧. (1) 如图，当时，直接写出A，B两点的坐标；(2) 在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图，抛物线+与轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）.在直线上是否存在唯一一点Q，使得OQC=90？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由.例题精析1、解：（1）由直线y=kx+3与y轴相交于点C，得C（0，3）tanOBC=1，OBC=450，OB=OC=3，点B（3，0），点B（3，0）在二次函数y=ax2+2x+3的图像上9a+6+3=0a=1 y=x2+2x+3=(x1)2+4顶点D（1，4），又D(1,4)在直线y=kx+3上，4=k+3，k=1即：a=1,k=1 （2）在二次函数y=x2+2x+3的图像上存在点P，使得PBC是以BC为一条直角边的直角三角形，由 (1)可知，直线y=x+3与x轴的交点为E（3，0）OE=OC=3，CEO=450，OBC=450ECB=900DCB=900DCB是以BC为一条直角边的直角三角形，且点D（1，4）在二次函数的图像上，则点D是所求的P点。方法一：设CBP=900,点P在二次函数y=x2+2x+3的图像上，则PBC是以BC为一条直角边的直角三角形，CBO=450OBP=450设直线BP与y轴交于点F，则F(0,3)直线BP的表达式为y=x3解方程组得或由题意得，点P(2,5)为所求。综合，得二次函数yx2+2x+3的图像上存在点P(1,4)或P(2,5),使得PBC是以BC为一条直角边的直角三角形。方法二：在y轴上取一点F(0，3)，则OF=OC=3,由对称性可知，OBF=OBC=450CBF=900设直线BF与二次函数y=x2+2x+3的图像交于点P，由（1）知B（3，0），直线BF的函数关系式为y=x3（以下与方法一同）9分2 (1)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A (-1,0) , B(5,0)两点，抛物线的解析式为y=-x2+4x+5（2）点P横坐标为m，则P(m,m24m5）,E(m,m+3)，F(m,0).点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧， 0m5.PE=-m24m5(-m3)=-m2m2.分两种情况讨论：点E在点F上方时，EF=m3.PE=5EF，-m2m2=5(-m3).即2m217m26=0，解得m1=2，m2=（舍去）;当点E在点F下方时，EF=m3.PE=5EF，-m2m2=5(m3).即m2m17=0，解得m3=，m4=（舍去），m的值为2或.(3)点P的坐标为P1(-，),P2(4，5), P3(3-，2-3).【提示】E和E/关于直线PC对称，E/CP=ECP.又PEy轴，EPC=E/CP=PCE.PE=EC.又CECE/，四边形PECE/为菱形过点E作EMy轴于点M,CMECOD，CE=.PE=CE,-m2m2=m或-m2m2=-m.解得m1=-，m2=4，m3=3-，m4=3+（舍去）.可求得点P的坐标为P1(-，),P2(4，5), P3(3-，2-3).3解：（1）y = ax2bx2经过点B、D，解得a =，b =.y =x2 x2.A（m，0）在抛物线上，0 = m2 m2.解得m =4或m=2（舍去）.A（4，0）.图象（略）（2）由题设知，PF= x2 x21 x.S = ABPF = 6PF = 3（ x2 x21 x） = x2 3x9 = （x2）212.其中4 x 0，S最大= 12，此时点P的坐标为（2，2）.（3）直线PB过点P（2，2）和点B（2，0），可求得PB所在直线的解析式为y = x1.设Q（a， a1）是