数学北师大版九年级下册面积最值问题.docx

最值问题教学设计同学们，提到数学你的第一反应是什么？。抽象。逻辑性强。其实不然，数学源于生活，更服务于生活。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之便，生物之谜，日用之繁等诸多方面，无一处不用到数学。下面，我们来看一段新闻。今天，让我们也来经历一次“大国工匠”之旅。请看大屏幕1. 问题探究 如果一个正方形的四个顶点分别在三角形的各边上，那么就称这个正方形为此三角形的内接正方形 (1)如图，ABC为锐角三角形，请你在锐角ABC内作一个内接正方形； (2)如图，在等边ABC中，边长为（3+），请你作出其内接正方形EFGH，并计算正方形EFGH的边长； 问题解决 (3)如图，有一块圆心角为60，半径为a的扇形材料AOB，工人师傅为了截取面积较大的正方形以备后期工作使用，选择方案如下：作AOB的角平分线，交于点C，取OA、OB、的中点，并顺次连接，则所得四边形为所截取的正方形，请你尝试探究工人师傅所采取的方案是否能截取面积最大的正方形？若是，请求出该正方形的面积；若不是，请说出你的方案，并写出所截取正方形的最大面积. (1)【思维教练】先作一个小正方形，使其一条边在三角形的一边上，且有一顶点在另一条边上，然后以B为位似中心，作出与其位似且第四个顶点恰好在第三边上的正方形 解：如解图所示：在ABC内先作一个小正方形IJPQ，使得IJ边恰好在BC边上，且点Q恰好在AB边上，连接BP并延长交AC于点G，过点G作GHBC，交AB于H点，过点G作GNBC，过点H作HMBC，垂足分别为N，M，则正方形MNGH即所要求作的锐角ABC的内接正方形 第1题解图 (2) 解：按照(1)的做法，即正方形EFGH为等边ABC的内接正方形，如解图，设正方形EFGH的边长为xABC为等边三角形，AEBF x，xx3，x四边形EFGH的边长为 (3)【思维教练】要判断所截取的正方形是不是面积最大的正方形，即用(1)的方法作扇形的内接正方形并求出所作正方形的面积，与工人师傅所截取正方形面积作比较，即可得出正方形的最大面积 解：工人师傅采取的方案所截取的正方形不是面积最大的正方形 理由如下：新方案如解图，正方形EFGH的作法同问题(1)的作法一致，采用位似的有关知识； 设正方形EFGH的边长为x， 根据题意可知：OFx， OGOFFGxx， 根据勾股定理可得：OG2HG2OH2，而OH为扇形AOB的半径， 故可得方程：(xx)2x2a2，解得x2， 故S正方形EFGHx2 ， 而问题(3)中工人师傅所截取的正方形面积Saaa2， Sa2a2，1275，52， ， 新方案所截取的正方形面积最大，其最大面积为.4.如图，在边长为（ ） 的正三角形 中放入正方形 和正方形 ，使得 、 在边 上，点 、 分别在边 、 上， 求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由 解：如解图，连接NE，EP，PN，则NEP90.设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(mn)，它们的面积和为S，解得 m+n=3小结：本节课我