2021高考数学一轮复习 课后限时集训57 圆锥曲线中的证明与存在性问题 文 北师大版.doc

课后限时集训57圆锥曲线中的证明与存在性问题建议用时：45分钟1(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆c：1交于a，b两点，线段ab的中点为m(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设f为c的右焦点，p为c上一点，且0.证明：2|.证明(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得f(1,0)设p(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点p在c上，所以m，从而p，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|.2(2019福州模拟)设抛物线e：y22px(p0)的焦点为f，直线xp与e交于a，b两点，abf的面积为8.(1)求e的方程；(2)若m，n是e上的两个动点，|mf|nf|8，试问：是否存在定点s，使得|sm|sn|？若存在，求出s的坐标；若不存在，请说明理由解(1)依题意得f.由得yp，不妨设a(p，p)，b(p，p)，则|ab|2p .又f到直线ab的距离为，所以sabf2pp2.依题意得，p28，解得p4，所以e的方程为y28x.(2)法一：设m(x1，y1)，n(x2，y2)，mn的中点为c(x0，y0)，则x0，y0.由抛物线的定义，得|mf|nf|x12x22，因为|mf|nf|8，所以x1x24，所以x02.当x1x2时，y1y20，kmn，线段mn的垂直平分线为yy0(x2)，即y(x6)，所以线段mn的垂直平分线恒过定点s(6,0)；当x1x2时，线段mn的垂直平分线为x轴，它也过点s(6,0)综上，存在定点s(6,0)，使得|sm|sn|.法二：假设存在定点s，使得对e上满足条件的动点m，n恒有|sm|sn|，由对称性可知，点s必在x轴上，故可设s(t,0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由抛物线的定义，得|mf|nf|x12x22，因为|mf|nf|8，所以x1x24，由|sm|sn|，得，所以(x1t)28x1(x2t)28x2，即(x1x2)(82t)(x1x2)0，所以(6t)(x1x2)0，因为对满足条件的任意m，n恒成立，所以t6.故存在定点s(6,0)，使得|sm|sn|.法三：设m(x1，y1)，n(x2，y2)，mn的中点为c(x0，y0)由抛物线的定义，得|mf|nf|x12x22，因为|mf|nf|8，所以x1x24，故x02.当直线mn的斜率存在时，可设其方程为ykxb(k0)，由得ky28y8b0.6432kb，令0，得kb0)分别相交于a，b两点，且oaob.(1)求抛物线c的方程；(2)试问：在x轴的正半轴上是否存在一点d，使得abd的外心在抛物线c上？若存在，求点d的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知，联立得x22px8p0，则x1x22p，x1x28p，从而y1y2(x14)(x24)x1x24(x1x2)16.oaob，x1x2y1y22x1x24(x1x2)160，即16p8p160，解得p2，故抛物线c的方程为x24y.(2)设线段ab的中点为n(x0，y0)，由(1)知，x02，y0x046，则线段ab的中垂线方程为y6(x2)，即yx8.联立得x24x320，解得x8或x4，从而abd的外心p的坐标为(4,4)或(8,16)假设存在点d(m,0)(m0)，若点p的坐标为(4,4)，|ab|4，|pa|4，则|dp|4.m0，m44.若点p的