数学北师大版七年级下册巧用等腰三角形解决三角形全等.doc_第1页
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巧用等腰直角三角形-一道证明题的几种证法吴 杰几何教学中，我们常常利用辅助线，巧妙构造特殊的几何图形，转化边、角，达到证明边角相等的目的，本题选择于七年级等腰三角形章节，主要考察等腰三角形性质，直角三角形性质，全等的判定，部分方法考察八年级矩形的性质，正方形的性质。题目：如图，已知ABC和BDF是两个等腰直角三角形，BAC=FDB=90，点E是FC的中点。 求证：AE=DE分析：我们可以从结论出发来分析这个问题，要证明两条线段相等，首先应该想到的就是三角形全等，但是图中直接看不出既包含AE、DE又全等的两个三角形，所有就要创造这样的三角形，下面收集了从几个不同角度罗列的构造三角形的方法。方法一：（由于是等腰直角三角形，所以很容易想到三线合一，做高线，如图，ANBC,DMBF，这样做：一可以构造两个包含AE、DE的直角三角形；二可以利用等腰三角形的三线合一创造条件；三可以用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）过程：过点A、D作BC、BF的垂线，可由三线合一，斜边上的中线得AN=BN=CN，DM=MF,M、E点是BF、FC的中点，得ME=AN=1/2BC，ME-EF=CN-CE即DM=MF=NE,所以AENEDM（SAS）即证。方法二：（因为点E是FC的中点，我们可以倍增DE，延长DE到点M，使EM=DE，连接AD、AM、MC，这样就可以构造以中点为中心的全等三角形，再二次全等，接着证明ADM是等腰直角三角形，利用斜边上的中线等于斜边的一半即可）过程：延长DE到点M，使EM=DE，连接AD、AM、MC，可SAS证DEFMEC，得BD=FD=CM,ABD=ACM=90，再SAS证ABDACM，得AD=AM，角等，得ADM是等腰直角三角形，斜边中线证出AE=DE。方法三：（在等腰三角形中，有很多45角，只要巧妙组合，就能组成更多的等腰三角形，可以延长DF交AC于点N，连接NE，可得四边形ABDN是矩形，FNC，FNE是等腰三角形，证ANEDFE即可）过程：可以延长DF交AC于点N，连接NE，可由三直角得四边形ABDN是矩形，FD=BD=AN，NFC=BFD=C=45，得FNC，FNE是等腰三角形，NE=FE，DFE=ANE=135，证ANEDFE即可方法四：（等腰直角三角形是正方形的一部分，所以，我们可以将等腰直角三角形还原成一个正方形，过点C作CMBD，交BD的延长线于点M，连接EM，过点E作ENBM于点N。可证AECMEC，利用平行得比例可知点N是DM的中点，中垂线定理可得DE=ME=AE）过程：过点C作CMBD，交BD的延长线于点M，连接EM，过点E作ENBM于点N。可得四边形ABMC是正方形，AECMEC
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