第二讲 圆幂定理.doc

黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 1 第三讲第三讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1 知识扫描知识扫描 一 一 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 设的半径为 圆心到直线 的距离为 则直线和圆的位置关系如下表 O rOld 二 二 切线的性质及判定 切线的性质及判定 1 切线的性质 切线的性质 1 定理 定理 圆的切线垂直于过切点的半径 推论推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 2 注意 注意 这个定理共有三个条件 即一条直线满足 垂直于切线垂直于切线 过切点过切点 过过 圆心圆心 过圆心 过切点垂直于切线 过圆心 过切点 ABABM 则 ABl 过圆心 垂直于切线过切点 过圆心 则过切 ABABl AB 点 M 过切点 垂直于切线过圆心 过切点 则过圆 ABl ABMAB 心 2 切线的判定 切线的判定 1 定义法 定义法 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2 距离法 距离法 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 3 定理 定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注意 注意 定理的题设是 经过半径外端 垂直于半径 两个条件缺一不可 定理的结论是 直线是圆的切线 因此 证明一条直线是圆的切线有两个思路 连接半径 证直线与此连接半径 证直线与此 半径垂直 半径垂直 作垂直 证作垂直 证 垂直在圆上 垂直在圆上 OOO AAAl l l M B O l A 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 2 3 切线长和切线长定理 切线长和切线长定理 1 切线长 切线长 在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点之间的线段的长 叫做这点 到圆的切线长 2 切线长定理 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角 2 考点聚焦考点聚焦 考点题型考点题型 1 直线与圆位置关系的确定 直线与圆位置关系的确定 例例 1 在中 以点为圆心 为半径的Rt ABC 90C 12cmAC 16cmBC Cr 圆和有怎样的位置关系 为什么 AB 1 9cmr 10cmr 9 6cmr 例例 2 如图 已知 是以数轴的原点为圆心 半径为 1 的圆 点在数OO45AOB P 轴上运动 若过点且与平行的直线与 有公共点 设 则的取值范围是POAOOPx x A B 0 x22 x2 C 1 1D xx2 P BO A 例例 3 如下左图 在直角梯形中 且 ABCDADBC 90C ABADBC 是的直径 则直线与的位置关系为 ABOACDOA A 相离B 相切 C 相交 D 无法确定 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 3 O BC DA 巩固练习 巩固练习 如图 是半圆的直径 点是半圆上的一点 过点作的切线 BCODDOAAD 那么直线与以点为圆心 为半径的圆的位置关系BADA 10BC 4AD CEO 5 2 是 考点题型考点题型 2 切线的性质与判断 切线的性质与判断 例例 4 1 如图 中 以上一点为圆心作Rt ABC 9043CACBC BCO 与相切 又与的另一交点为 则线段的长为 O ABAC O BCDBD 2 是圆的直径 是它的弦 过作圆的切线 过作交于 ABBCCCDBBECD CDE 求证 ABCEBC AOB C D E 例例 5 已知 如图 在中 以为直径的半圆与边相交于点 ABC ABAC BCOABD 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 4 切线 垂足为点 求证 1 是等边三角形 2 DEAC EABC 1 3 AECE E A C O B 巩固练习 巩固练习 在中 是边上一点 以为直径的与边相切于Rt ABC 90ACB DABBDO AC 点 连结并延长 与的延长线交于点 EDEBCF 1 求证 BDBF 2 若 求的面积 64BCAD O O F E D CB A 例例 6 1 如图 为等腰三角形 是底边的中点 与腰相ABC ABAC OBCO AB 切于点 求证与相切 DACO 2 已知 如图 内接于 是过的一条射线 且 求证 ABC OAADABCAD 是的切线 ADOA 3 如下图所示 以的直角边为直径作半圆 交斜边于 交Rt ABC BCODOEAC 于 求证 是的切线 ABEDEO 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 5 4 如图 已知 AB 为 O 的弦 C 为 O 上一点 C BAD 且 BD AB 于 B 求证 AD 是 O 的切线 若 O 的半径为 3 AB 4 求 AD 的长 A B C D O 巩固练习 巩固练习 1 如图所示在中 的平分线交于 为上一点 Rt ABC 90B A BCDEAB 以为圆心 以的长为半径画圆 求证 1 是的切线 2 DEDC DDBACD ABEBAC 2 如图 是的直径 点在圆上 于 在延长线上 且ABO CCDAB DPBA 求证 是的切线 PCAACD PCO OD C BA P 3 如图 是的外接圆 点是圆外一点 切于点 O Rt ABC 90ABC PPAO A 且 PAPB 1 求证 是的切线 PBO 2 已知 求的半径 31PABC O 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 6 考点题型考点题型 3 切线长定理 切线长定理 例例 7 1 如图 已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形ABCDCDO 上底 下底以及腰均相切 切点分别是 若半圆ADBCABDCE O 的半径为 梯形的腰为 则该梯形的周长是 2AB5 2 如图 分别切于 若 周长为 求PAPBDE O ABC 10PO PDE 16 的半径 O 3 如图 是的内切圆 是切点 O ABC DEF 又直线切于 交于 则18cm20cm12cmABBCAC MNO GABAC MN 的周长为 BMN 巩固练习 巩固练习 1 等腰梯形外切于圆 且中位线的长为 那么这个等腰梯形的周长是ABCDMN10 2 如图 切于 切于 交于两点 已知PAPB OAAB MNOACPAPB MN 求的周长 8PA PMN 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 7 例例 8 1 如图 以正方形的边为直径作半圆 过点作直线切半圆于点 ABCDBCODF 交边于点 则三角形和直角梯形周长之比为 ABEADEEBCD 2 梯形中 是上一点 以为圆心的半圆与都ABCD ABCD OABO AD CD BC 相切 已知 求的长 6 4ADBC AB 例例 9 1 如图 是 直径 于 交 于 切 于 交ABOCBAB BACODDEOD 于 求证 BE CE BCE 2 1 4 DECD CA 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 8 2 2012 岳阳 如图 为半圆的直径 分别切 O 于两点 切ABO AD BC A BCD O 于点与相交于与相交于 连接 对于下列结论 E ADCD D BCCDC OD OC 2 ODDE CD ADBCCD ODOC 1 2 ABCD SCD OA 梯形 其中正确的是 90DOC 综合提升综合提升 例例 10 如图 为的直径 是的中点 交的延长线于 ABO D A BCDEAC ACE 的切线交的延长线于点 O BFADF 1 求证 是的切线 DEO 2 若 的半径为 求的长 3DE O 5BF O C D F A B E 例例 11 已知 如图在矩形中 点在对角线上 以长为半径的圆与ABCDOACOAO 分别交于点 ADAC EF ACBDCE 1 判断直线与的位置关系 并证明你的结论 CEO 2 若 求的半径 2 tan2 2 ACBBC O 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 9 例例 12 已知 在中 是直径 是弦 于点 过点作直线 OAABACOEAC ECFC 使 交的延长线于点 FCAAOE ABD 1 求证 是的切线 FDOA 2 设与相交于点 若 求半径的长 OCBEG2OG OA 3 在 2 的条件下 当时 求图中阴影部分的面积 3OE 例例 1313 如图 已知是的直径 点在上 过点的直线与的延长线交于ABO CO CAB 点 PACPC 2COBPCB 1 求证 是的切线 PCO 2 求证 1 2 BCAB 3 点是弧的中点 交于点 若 求的值 MABCMABN4AB MC 对应练习 对应练习 1 如图 已知是正方形对角线上一点 以为圆心 长为半径的与OABCDOOAO 相切于 与 分别相交于 BCMABADEF 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 10 1 求证 与相切 CDO 2 若正方形的边长为 求的半径 ABCD1O 2 如图 是的的直径 于点 连接交于点 弦 ABO BCAB BOCO EADOC 弦于点 DFAB G 1 求证 点是的中点 E A BD 2 求证 是的切线 CDO 3 若 的半径为 求的长 4 sin 5 BAD O 5DF 3 如图 是的直径 是上一点 过作的垂线交于ABOA30BAC MOAMABAC 点 交的延长线于点 直线交于点 且 NBCECFENFECFE 1 证明是的切线 CFOA 2 设的半径为 且 求的长 OA1ACCE MO 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 11 第四讲第四讲 圆幂定理圆幂定理 一 知识扫描一 知识扫描 1 弦切角定理弦切角定理 定义 定义 顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 如图 PA 是 O 的切线 A 是切点 AB 是弦 则 PAB ACB 证明 证明 2 相交弦定理 相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等 即 PA PBPC PD 证明 证明 3 切割线定理 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 4 割线定理 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 如图 PT 是 O 的切线 T 是切点 PAB PCD 是割线 则 PT2 PA PB PA PB PC PD 证明 证明 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 12 小结 圆幂定理 小结 圆幂定理 过圆所在平面内任一点作直线 与圆交于两点 则点与圆上两点的距离之乘积等于点心距过圆所在平面内任一点作直线 与圆交于两点 则点与圆上两点的距离之乘积等于点心距 与半径的平方差的绝对值与半径的平方差的绝对值 即即 因因叫做叫做点对于点对于 O的幂 所以将上述定理统称为的幂 所以将上述定理统称为 22 AP BPOPR 22 OPR P 圆幂定理圆幂定理 二 方法技能平台二 方法技能平台 例例 1 1 1 已知 如图 切 于两点 为直径 则图中与PAPBO A BAC 相等的角的个数为 PAB 2 已知 如图 直线切 于点 那么 BCOBABAC ADBD A 3 如图 为 直径 切 于点 为垂足 ABOCEOCABCD D 则 3012 BcmAB ECB CD 4 已知 如图 三角形的 内切圆与的三边分别切于 ABC90C OABC D 三点 那么 EF56DEF B 对应练习 对应练习 如图 内接于 O BC是直径 ABC B 35 MN是过A点的切线 则 C CAM 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 13 例例2 1 如图 已知AB是 O的直径 直线MN切 O于点C AD MN于D AD交 O于 E AB的延长线交MN于点P 求证 2 ACAE AP 2 已知 内接于 O AE切 O于A BD平分 ABC交 O于D 交AE于E DF AEABC 于F 求证 ABAE ADDE 2ACAF 3 如图 切 于 为割线 求证 PAPCOACPDBAD BCCD AB 拔高训习 拔高训习 如图 为圆的切线 为切点 为割线 的平分线交于点 PAAPBCAPC PFABE 交于点 ACF 求证 1 2 3 若是上AEAF AB AFAC BE 1 2 PB PAM A BC 的点 交于 且 试确定点在上的位置 并证明你的结AMBCDPDDC M A BC 论 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 14 例例3 1 如图 O的弦AB与CD相交于点P PA 3cm PB 4cm PC 2cm 那么 PD cm 2 如图 在 O中 弦AB与半径OC相交于点M 且OM MC 若AM 1 5 BM 4 则 OC的长为 如图 在 O中 P为弦AB上一点 PO PC PC交 O于C 那么 A B C D 2 OPPA PB 2 PCPA PB 2 PAPB PC 2 PBPA PC 4 如图 在直径为的半圆上有两动点 弦相交于点 6 A AB M N AM BNP 则 AP AMBP BN 例例4 如图 和是的半径 并且是上任一点 的延长线OAOBOA OAOB P OABP 黄金数学组黄金数学组 专注专业专注专业 彰显权威彰显权威 坚持坚持 执着执着 高效高效 调节调节 反思反思 总结总结 15 交于点 过点的的切线交延长线于点 OAQQOAOAR 求证 RPRQ 若 试求的长 1OPPA PQ 对应练习 对应练习 如图 内接于 O 的延长线与过点的切线相交于点与相交ABC ABCGC D BEAC 于点 且 FCBCE 求证 1 2 BEDG 22 CBCFBF FE 例例 5 1 如图 点是 O 的直径延长线上一点 与相切于点 PBAPCOAC 垂足为 连接