数学北师大版九年级下册锐角三角函数的应用复习.pptx

锐角三角函数及其应用 陈善聪 一 知识梳理 1 边与边的关系 2 角与角的关系 3 边与角的关系 4 仰角 俯角的定义 如右图 从下往上看 视线与水平线的夹角叫做仰角 从上往下看 视线与水平线的夹角叫做俯角 右图中的 1就是仰角 2就是俯角 坡角 坡度的定义 坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 或坡比 读作i 即i BC AC 坡度通常用1 m的形式 例如上图的1 2的形式 坡面与水平面的夹角叫做坡角 从三角函数的概念可以知道 坡度与坡角的关系是i tanB 显然 坡度越大 坡角越大 坡面就越陡 二 方法规律 解直角三角形的应用问题的有关要点 1 应用范围 通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题 如 测不易直接测量的物体的高度 测河宽等 解此类问题关键在于构造出直角三角形 通过测量角的度数和测量边的长度 计算出所要求的物体的高度或长度 2 一般步骤 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 构造出直角三角形 转化为解直角三角形的问题 根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形 得到数学问题的答案 再转化得到实际问题的答案 三 中考考点精讲精练 考点1锐角三角函数 解直角三角形 例1 2016广东 如图1 6 3 1 在平面直角坐标系中 点A的坐标为 4 3 那么cos 的值是 考题再现1 2016沈阳 如图1 6 3 2 在Rt ABC中 C 90 B 30 AB 8 则BC的长是 D 2 2014汕尾 在Rt ABC中 C 90 若sinA 则cosB的值是 3 2014广州 如图1 6 3 3 在边长为1的小正方形组成的网格中 ABC的三个顶点均在格点上 则tanA等于 B D 4 2015广州 如图1 6 3 4 ABC中 DE是BC的垂直平分线 DE交AC于点E 连接BE 若BE 9 BC 12 则cosC 考点演练5 在Rt ABC中 C 90 AB 13 AC 12 则cosA 6 如图1 6 3 5 在网格中 小正方形的边长均为1 点A B C都在格点上 则 ABC的正切值是 C D 7 ABC中 C 90 BC 3 AB 5 求sinA cosA tanA的值 考点点拨 本考点的题型一般为选择题或填空题 难度较低 解答本考点的有关题目 关键在于画出直角三角形的图形 利用锐角三角函数的定义进行计算 要熟练掌握锐角三角函数包括正弦 余弦 正切等概念的定义和计算公式 相关要点详见 知识梳理 部分 考点2解直角三角形的应用 考点精讲 例2 2014广东 如图1 6 3 6 某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度 他们先在点A处测得树顶C的仰角为30 然后沿AD方向前行10m 到达B点 在B处测得树顶C的仰角高度为60 A B D三点在同一直线上 请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度 结果精确到0 1m 参考数据 1 414 1 732 思路点拨 首先利用三角形的外角的性质求得 ACB的度数 得到BC的长度 然后在Rt BDC中 利用三角函数即可求解 解 CBD A ACB ACB CBD A 60 30 30 A ACB BC AB 10 m 在Rt BCD中 答 这棵树CD的高度为8 7米 考题再现1 2016六盘水 据调查 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一 所以规定以下情境中的速度不得超过15m s 在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪 如平面几何图1 6 3 7 AD 24m D 90 第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶 测得 ABD 31 2秒后到达C点 测得 ACD 50 tan31 0 6 tan50 1 2 结果精确到1m 1 求B C间的距离 2 通过计算 判断此轿车是否超速 解 1 在Rt ABD中 AD 24m B 31 tan31 即BD 40 m 在Rt ACD中 AD 24m ACD 50 tan50 即CD 20 m BC BD CD 40 20 20 m 则B C间的距离为20m 2 根据题意 得20 2 10m s 15m s 则此轿车没有超速 答 此轿车没有超速 2 2014珠海 如图1 6 3 8 一艘渔船位于小岛M的北偏东45 方向 距离小岛180海里的A处 渔船从A处沿正南方向航行一段距离后 到达位于小岛南偏东60 方向的B处 1 求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离 结果用根号表示 2 若渔船以20海里 小时的速度从B沿BM方向行驶 求渔船从B到达小岛M的航行时间 结果精确到0 1小时 参考数据 解 1 如答图1 6 3 1 过点M作MD AB于点D AME 45 AMD MAD 45 AM 180海里 MD AM cos45 海里 答 渔船从A到B的航行过程中与小岛M间的最小距离是海里 2 在Rt DMB中 BMF 60 DMB 30 MD 海里 答 渔船从B到达小岛M的航行时间约为7 4小时 考点演练3 如图1 6 3 9 小山岗的斜坡AC的坡度是tan 在与山脚C距离200m的D处 测得山顶A的仰角为26 6 求小山岗的高AB 结果取整数 参考数据 sin26 6 0 45 cos26 6 0 89 tan26 6 0 50 解 在直角三角形ABC中 在直角三角形ADB中 BD BC CD 200 解得AB 300 m 答 小山岗的高AB为300米 4 如图1 6 3 10 甲 乙两条轮船同时从港口A出发 甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60 的方向航行 乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进 1小时后 甲船接到命令要与乙船会和 于是甲船改变了行进的方向 沿着东南方向航行 结果在小岛C处与乙船相遇 假设乙船的速度和航向保持不变 求港口A与小岛C之间的距离 解 如答图1 6 3 2 由题意 得 1 60 2 30 4 45 AB 30海里 过点B作BD AC于点D 则 1 3 60 在Rt BCD中 4 45 CD BD 在Rt ABD中 2 30 AB 30海里 考点点拨 本考点的题型一般为解答题 难度中等 解答本考点的有关题目 关键在于借助实际问题中的俯角 仰角或方向角等构造直角三角形并解直角三角形 熟记以下解直角三角形的应用问题的一般过程 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 构造出直角三角形 转化为解直角三角形的问题 2 根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形 得到数学问题的答案 再转化得到实际问题的答案 课堂巩固训练 1 如图1 6 3 11 ABC的顶点都是正方形网格中的格点 则cos ABC等于 B 2 如图1 6 3 12 在平面直角坐标系中 直线OA过点 2 1 则sin 的值是 B 3 如图1 6 3 13 在 ABC中 C 90 AC 8cm AB的垂直平分线MN交AC于点D 连接BD 若cos BDC 则BC的长是 A 4cmB 6cmC 8cmD 10cm4 如图1 6 3 14 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 垂足为点D tan ACD AB 5 那么CD的长是 A 5 在Rt ABC中 C 90 如果AC 4 sinB 那么AB 6 如图1 6 3 15 ABC中 ACB 90 sinA BC 8 D是AB的中点 过点B作直线CD的垂线 垂足为点E 1 求线段CD的长 2 求cos DBE的值 6 7 某国发生8 1级强烈地震 我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作 如图1 6 3 16 某探测对在地面A B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象 已知探测线与地面的夹角分别是25 和60 且AB 4m 求该生命迹象所在位置C的深度 结果精确到1m 参考数据 sin25 0 4 cos25 0 9 tan25 0 5 1 7 解 如答图1 6 3 3 作CD AB交AB的延长线于点D 设CD为xm 在Rt ADC中 DAC 25 在Rt BDC中 DBC 60 而AB 4m 解得x 3 m 答 生命迹象所在位置C的深度约为3m 8 如图1 6 3 17 水库大坝的横断面为四边形ABCD 其中AD BC 坝顶BC 10m 坝高20m 斜坡AB的坡度i 1 2 5 斜坡CD的坡角为30 1 求坝底AD的长度 结果精确到1m 2 若坝长100m 求建造这个大坝需要的土石料 参考数据 解 1 如答图1 6 3 4 作BE AD于点E CF AD于点F AD BC 四边形BEFC是矩形 EF BC 10 m BE 20m 斜坡AB的坡度i 1 2 5 AE 50 m CF 20m 斜坡CD的坡角为30 AD AE EF FD 95 m 2 建造这个大坝需要的土石料为 95 10 20 100 105000 m3 答 建造这个大坝需要的土石料为105000m3 中考考点精讲精练 考点1角的有关概念与计算 考点精讲 例1 2016茂名 已知 A 100 那么 A的补角为 思路点拨 根据两个角之和为180 时两角互补 求出所求角的度数即可 答案 80 考题再现1 2016长沙 下列各图中 1与 2互为余角的是 2 2014佛山 若一个60 的角绕顶点旋转15 则重叠部分的角的大小是 A 15 B 30 C 45 D 75 B C 3 2015济南 如图1 4 1 1 OA OB 1 35 则 2的度数是 A 35 B 45 C 55 D 70 C 考点演练4 下列各图中 1与 2互为补角的是 D 5 如图1 4 1 2 点B O D在同一直线上 若 1 15 2 105 则 AOC的度数是 A 75 B 90 C 105 D 125 B 考点点拨 本考点的题型一般为选择题或填空题 难度较低 解答本考点的有关题目 关键在于掌握余角 补角等角的有关概念 注意以下要点 1 互为余角的两个角的和等于90 2 互为补角的两个角的和等于180 考点2平行线的性质 考点精讲 例2 2016深圳 如图1 4 1 3 已知a b 直角三角板的直角顶角在直线b上 若 1 60 则下列结论错误的是 A 2 60 B 3 60 C 4 120 D 5 40 思路点拨 根据平行线的性质 两直线平行 同位角相等 以及对顶角相等等知识分别求出 2 3 4 5的度数 然后选出结论错误的选项即可 解 a b 1 60 3 1 60 2 1 60 4 180 3 180 60 120 三角板为直角三角板 5 90 3 90 60 30 答案 D 考题再现1 2015广东 如图1 4 1 4 直线a b 1 75 2 35 则 3的度数是 A 75 B 55 C 40 D 35 C 2 2016茂名 如图1 4 1 5 直线a b被直线c所截 若a b 1 60 那么 2的度数为 A 120 B 90 C 60 D 30 C 3 2016梅州 如图1 4 1 6 BC AE于点C CD AB B 55 则 1等于 A 55 B 45 C 35 D 25 4 2015广州 如图1 4 1 7 AB CD 直线l分别与AB CD相交 若 1 50 则 2的度数为 C 50 考点演练5 如图1 4 1 8 直线l1 l2 l3交于一点 直线l4 l1 若 1 124 2 88 则 3的度数为 A 26 B 36 C 46 D 56 6 如图1 4 1 9 已知AB CD BC平分 ABE C 33 则 BED的度数是 A 16 B 33 C 49 D 66 B D 7 如图1 4 1 10 AB CD EF分别交AB CD于点M N EMB 50 MG平分 BMF MG交CD于点G 求 MGC的度数 解 EMB 50 BMF 180 50 130 MG平分 BMF AB CD MGC BMG 65 考点点拨 本考点是广东中考的次高频考点 题型一般为选择题或填空题 难度较低 解答本考点的有关题目 关键在于掌握平行线的性质定理 注意以下要点 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 考点3平行线的判定 考点精讲 例3 2014汕尾 如图1 4 1 11 能判定EB AC的条件是 A C ABEB A EBDC C ABCD A ABE思路点拨 在复杂的图形中具有相等关系的两角 首先要判断它们是否是同位角或内错角 根据平行线的判定定理找同位角或内错角相等即可 答案 D 考题再现1 2016百色 如图1 4 1 12 直线a b被直线c所截 下列条件能使a b的是 A 1 6B 2 6C 1 3D 5 72 2014汕尾 已知a b c为平面内三条不同直线 若a b c b 则a与c的位置关系是 B 平行 或a c 3 2016淄博 如图1 4 1 13 一个由4条线段构成的 鱼 形图案 其中 1 50 2 50 3 130 找出图中的平行线 并说明理由 解 OA BC OB AC 理由如下 1 50 2 50 1 2 OB AC 2 50 3 130 2 3 180 OA BC 考点演练4 如图1 4 1 14 下列条件 1 3 2 3 4 5 2 4 180 中 能判断直线l1 l2的有 A 1个B 2个C 3个D 4个 C 5 如图1 4 1 15所示 已知 1 2 要使 3 4 只要 A 1 3B 2 4C 1 4D AB CD D 6 已知 如图1 4 1 16 EF AC于点F DB AC于点M 1 2 3 C 求证 AB MN 证明 EF AC DB AC EF DM 2 CDM 1 2 1 CDM MN CD C AMN 3 C 3 AMN AB MN 考点点拨 本考点是广东中考的次高频考点 题型一般为选择题或解答题 难度较低 解答本考点的有关题目 关键在于掌握平行线的判定定理 注意以下要点 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 课堂巩固训练 1 如图1 4 1 17 将两块三角板