解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究.doc

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下：PEFGHMANB图11.极点与极线的定义1.1 几何定义如图，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线.若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.由图1可知，同理为点对应的极线，为点所对应的极线.称为自极三点形.若连接交圆锥曲线于点，则恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图1也给出了两切线交点对应的极线的一种作法.1.2 代数定义已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)即可得到点极线方程.特别地：(1)对于椭圆，与点对应的极线方程为；(2)对于双曲线，与点对应的极线方程为；(3)对于抛物线，与点对应的极线方程为.2.极点与极线的基本结论定理1 (1)当在圆锥曲线上时，则极线是曲线在点处的切线；(2)当在外时，则极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当在内时，则极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对的方程，两边求导得，解得，于是曲线在点处的切线斜率为，故切线的方程为，化简得，又点在曲线上，故有，从中解出，然后代和可得曲线在点处的切线为.PMN图2(2)设过点所作的两条切线的切点分别为，则由(1)知，在点处的切线方程分别为和，又点在切线上，所以有和，观察这两个式子，可发现点都在直线上，又两点确定一条直线，故切点弦所在的直线方程为.Q(m,n)TS图3P(x0,y0).(3)设曲线过的弦的两端点分别为，则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为和，设两切线的交点为，则有，观察两式可发现在直线上，又两点确定一条直线，所以直线的方程为，又直线过点，所以，因而点在直线上.所以两切线的交点的轨迹方程是.定理2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点，则这些极线相应的极点共线于点相应的极线，反之亦然.PABP点P的极线点P的极线图4(1)图4(2)即极点与极线具有对偶性.如图4(1)(2)所示.3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现.3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线如果圆锥曲线是椭圆，当为其焦点时，极线变为，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线，当为其焦点时，极线变为，恰是双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线，当为其焦点时，极线变为，恰是抛物线的准线. 3.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解ABCOxy图5F【例1】过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为，求证：.证明：由于,，故三点对应的极线方程分别是，和，由于三点共线，根据定理2可知，对应的三条极线共点，将代入后面两式得，两式相除得.作为课本一习题，2001年全国高考试卷19题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且平行于轴，证明直线必过原点.简证：如图5，设，则，从而，故，所以，即直线过原点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例2】(1)已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，问为何值时，直线与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线，过点能否作直线，与双曲线交于两点，且是线段的中点？解：(1)直线的方程为，即.设直线对应的极点为，则相应的极线应为，即，故，当时，直线与抛物线有两个公共点在抛物线外，解得且；同理可求得当或或时直线与抛物线只有一个公共点；当或时直线与抛物线没有公共点.(2)设，则由是线段的中点得，而在双曲线上，故，两式相减得，即，而是点对应的极线，但点在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.4.极点与极线在各种考试中的深层体现 4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是高中数学课程标准规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景.ABPOxy图6F【例3】(2006年全国试卷II21)已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，并设其交点为.(1)证明为定值；(2)设的面积为，写出的表达式，并求的最小值.解：(1)设点，三点对应的极线方程分别为，由于三点共线，故相应的三极线共点于，代入极线方程得，两式相减得.又，故.(2)设的方程为，与抛物线的极线方程对比可知直线对应的极点为，把代入并由弦长公式得，所以.显然，当时，取最小值.【例4】(2005江西卷22)设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线，ABPOxy图7Fl且与抛物线分别相切于两点.(1)求的重心的轨迹方程；(2)证明.解：(1)设点，与对比知直线对应的极点为，为直线上的动点，则点对应的极线必恒过点.设，可化为，故直线对应的极点为，将直线的方程代入抛物线方程得，由此得，的重心的轨迹方程为，消去即得.(2)由(1)可设点，且，所以，.同理.所以有.评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.【例5】(2002澳大利亚国家数学竞赛)已知为锐角三角形，以为直径的分别交于，分别过和作的两条切线交于点，分别过和作的两条切线交于点，证明点在线段上.KABCPQR(-a,y2)KABCPQRSS(a,y1)图8xy下面将圆加强为椭圆，并给出证明.证明：以为轴，线段为轴建立直角坐标系，设椭圆方程为，并设点，则点对应的极线，代入椭圆方程解得点，直线，同理我们可以得到直线，将直线的方程与的方程联立解得，可验证其坐标满足直线的方程，所以三点共线.评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1】，而用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例6】(中等数学2006年第8期P42)过椭圆内一点作直线与椭圆交于点，作直线与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于点，过分别作椭圆的切线交于点，求连线所在的直线方程评析：该题实质上就是求椭圆内一点对应的极线方程，由定理1立即可得答案为.【例7】(中学数学2006年第7期新题征展77)设椭圆方程为，点，过点的动直线与椭圆相交于点，点处的切线相交于点，求证点的轨迹是一条定直线.评析：显然该定直线为点对应的极线：.从例6、例7可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐.4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【2】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【定理】【2】 线段是过椭圆长轴上定点的弦，是长轴上的两个顶点，直线与直线交于两点，并且直线的斜率存在且不为零，则有.这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.评析：由定理1知，该定理中定点，直线即为一对极点与极线，从另一方面来说，该定理是【例1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极线的性质证明，文【3】则完全是定理1的一种特例.定理1和定理2反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛.一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】 史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4【2】 邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】 高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3【4】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4【5】 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】 熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】 李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论