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二次函数与根的判别式的关系 达川区万家初级中学 周厚洪 问题1 画函数的草图 根据图象回答下列问题 图象与x轴交点的坐标是什么 不看图象你能求出交点坐标吗 这里x的取值与方程有什么关系 请大家计算一下此方程根的判别式是大于0 等于0 还是小于0 问题1 3 当x取何值时 y 0 当x取何值时 y 0 4 能否用含有x的不等式来描述 3 中的问题 若是函数y x2 2x 1那么它是怎样的呢 若是函数y x2 2x 3那么它又是怎样一种状况呢 想一想 议一议 能否利用二次函数y ax2 bx c的图象寻找一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的解 能否不通过画图判断函数y ax2 bx c与x轴的交点个数 已知二次函数y x2 3x 4的图象如图 1 方程 x2 3x 4 0的解是 2 不等式 x2 3x 4 0的解集是 3 不等式 x2 3x 4 0的解集是 巩固练习 x y o 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 X 1 x 4 X4 1 x 4 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点的横坐标为方程ax2 bx c 的 根据图象可求出不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0的解 先观察图象 找出抛物线与x轴的交点 再根据 写出不等式的解集 规律总结 解 交点的坐标 观察上图 1 2 3 分别表示二次函数y x2 x 2 y x2 2x 1 y x2 2x 2并回答下列问题 1 每个图象与x轴有几个交点 交点坐标分别是什么 2 你知道图象与x轴的交点个数与什么有关 探讨 1 2 3 结论 二次函数y ax2 bx c的图象与轴的交点情况可以有对应的一元二次方程的根的判别式判定 抛物线与轴有 个交点 抛物线与轴有 个交点 抛物线与轴有0个交点 已知抛物线的解析式为y ax2 x 当a取何值时 1 图象与x轴有两个交点 2 图象与x轴有一个交点 3 图象与x轴无交点 基础练习 加强练习 1 已知二次函数y ax2 ax 3x 1的图象的最低点在x轴上 则a 2 已知抛物线y x2 k 1 x 3k 2与x轴交于两点A a 0 B b 0 且a2 b2 17 则k的值是 回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点问题 可以转化为一元二次方程有无实数根的问题 可从计算根的判别式入手 1或a 9 2 回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点问题 可以转化为一元二次方程有无实数根的问题 可从计算根的判别式入手 二次函数与一元二次方程之间的关系可以说是一种整体与局部的关系 提高训练 1 已知二次函数y x2 mx m 2 求证 无论m取何值 抛物线总与x轴有两个交点 2 已知二次函数y x2 2kx k2 k 2 1 当实数k为何值时 图象经过原点 2 当实数k在何范围取值时 函数顶点在x轴下方 3
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