2009年全国高考试卷(文科数学)(宁夏卷).pdf

20092009 年普通高等学校招生全国统一考试 宁夏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 宁夏卷 数学 文史类 数学 文史类 第第 I I 卷卷 一 选择题 本大题共 12 题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 中有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 1 3 5 7 9 0 3 6 9 12AB 则AB I A 3 5 B 3 6 C 3 7 D 3 9 2 复数 32 23 i i A 1 B 1 C i D i 3 对变量 x y有观测数据 1 x 1 y 1 2 10i 得散点图 1 对变量 u v有观测 数据 1 u 1 v i 1 2 10 得散点图 2 由这两个散点图可以判断 A 变量 x 与 y 正相关 u 与 v 正相关 B 变量 x 与 y 正相关 u 与 v 负相关 C 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 正相关 D 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 负相关 4 有四个关于三角函数的命题 1 p x R 2 sin 2 x 2 cos 2 x 1 2 2 p x yR sin sinsinxyxy 3 p x 0 1 cos2 sin 2 x x 4 p sincos 2 xyxy 其中假命题的是 A 1 p 4 p B 2 p 4 p 3 1 p 3 p 4 2 p 3 p 5 已知圆 1 C 2 1 x 2 1 y 1 圆 2 C与圆 1 C关于直线10 xy 对称 则圆 2 C的 方程为 A 2 2 x 2 2 y 1 B 2 2 x 2 2 y 1 C 2 2 x 2 2 y 1 D 2 2 x 2 2 y 1 6 设 x y满足 24 1 22 xy xy xy 则zxy A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 7 已知 3 2 1 0ab 向量ab 与2ab 垂直 则实数 的值为 A 1 7 B 1 7 C 1 6 D 1 6 8 等比数列 n a的前 n 项和为 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 则m A 38 B 20 C 10 D 9 9 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱线长为 1 线段 11 B D上有两个动点 E F 且 1 2 EF 则下列结论中错 误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 D AEFBEF 的面积与的面积相等 10 如果执行右边的程序框图 输入2 0 5xh 那么输出 的各个数的和等于 A 3 B 3 5 C 4 D 4 5 11 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 2 cm 为 A 48 12 2 B 4824 2 C 36 12 2 D 3624 2 12 用 min a b c 表示 a b c 三个数中的最小值 设 min 2 2 10 x f xxx x 0 则 fx的 最大值为 A 4 B 5 C 6 D 7 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须 做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 分 13 曲线21 x yxex 在点 0 1 处的切线方程为 14 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛物线 C 交于 A B 两 点 若 2 2P为AB的中点 则抛物线 C 的方程为 15 等比数列 n a 的公比0q 已知 2 a 1 21 6 nnn aaa 则 n a 的前 4 项和 4 S 16 已知函数 2sin f xx 的图像如图所示 则 7 12 f 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 如图 为了解某海域海底构造 在海平面内一条直线上的 A B C 三点进行测量 已知 50ABm 120BCm 于 A 处测得水深80ADm 于 B 处测得水深200BEm 于 C 处 测 得 水 深110CFm 求 DEF的 余 弦 值 18 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥PABC 中 PAB是等边三角形 PAC PBC 90 证明 AB PC 若4PC 且平面PAC 平面PBC 求三棱锥PABC 体积 19 本小题满分 12 分 某工厂有工人 1000 名 其中 250 名工人参加过短期培训 称为 A 类工人 另外 750 名工人参加过长期培训 称为 B 类工人 现用分层抽样方法 按 A 类 B 类分二层 从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人 调查他们的生产能力 生产能力指一天加工的零件数 A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人 从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1 生产能力分 组 100 110 110 120 120 130 130 140 140 150 人数48 x 53 表 2 生产能力分组 110 120 120 130 130 140 140 150 人数6y3618 1 先确定 x y 再在答题纸上完成下列频率分布直方图 就生产能力而言 A 类工人 中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小 不用计算 可通 过观察直方图直接回答结论 ii 分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数 并估计该工厂工人和生产能力的平 均数 同一组中的数据用该区间的中点值作代表 20 本小题满分 12 分 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点 焦点在x轴上 它的一个项点到两个焦 点的距离分别是 7 和 1 求椭圆C的方程 若P为椭圆C的动点 M为过P且垂直于x轴的直线上的点 OP e OM e 为椭圆 C 的离心率 求点M的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 21 本小题满分 12 分 已知函数 3223 39f xxaxa xa 1 设1a 求函数 fx的极值 2 若 1 4 a 且当 1 4xa 时 xf 12a 恒成立 试确定a的取值范围 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题 计分 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知 ABC 中的两条角平分线AD和CE相交于 H B 60 o F在AC上 且AEAF 1 证明 B D H E四点共圆 2 证明 CE 平分 DEF 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 4cos 3sin xt yt t 为参数 C2 8cos 3sin x y 为参数 1 化 C1 C 2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1上的点 P 对应的参数为 2 t Q 为 C2上的动点 求PQ中点M到直线 3 32 2 xt C yt t 为参数 距离的最小值 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 如图 O为数轴的原点 A B M为数轴上三点 C为线段OM上的动点 设x表示C与 原点的距离 y表示C到A距离 4 倍与C到B距离的 6 倍的和 1 将y表示为x的函数 2 要使y的值不超过 70 x应该在什么范围内取值 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 D 2 C 3 C 4 A 5 B 6 B 7 A 8 C 9 D 10 B 11 A 12 C 二 填空题二 填空题 13 31yx 14 2 4yx 15 15 2 16 0 三 解答题三 解答题 17 解 作 DMAC交BE于N 交CF于M 2222 3017010 198DFMFDM 2222 50120130DEDNEN 2222 90120150EFBEFCBC 6 分 在DEF 中 由余弦定理 222222 1301501029816 cos 22 130 15065 DEEFDF DEF DEEF 12 分 18 解 因 为PAB 是 等 边 三 角 形 90PACPBC 所以Rt PBCRt PAC 可得ACBC 如图 取AB中点D 连结PD CD 则PDAB CDAB 所以AB 平面PDC 所以ABPC 6 分 作BEPC 垂足为E 连结AE 因为Rt PBCRt PAC 所以AEPC AEBE 由已知 平面PAC 平面PBC 故90AEB 8 分 因为Rt AEBRt PEB 所以 AEBPEBCEB 都是等腰直角三角形 由已知4PC 得2AEBE AEB 的面积2S 因为PC 平面AEB 所以三角锥PABC 的体积 18 33 VSPC 12 分 19 解 A类工人中和B类工人中分别抽查 25 名和 75 名 4 分 由485325x 得5x 636 1875y 得15y 频率分布直方图如下 8 分 从直方图可以判断 B类工人中个体间的差异程度更小 9 分 ii 48553 105115125135145123 2525252525 Ax 6153618 115125135145133 8 75757575 B x 2575 123133 8131 1 100100 x A 类工人生产能力的平均数 B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的 估计值分别为 123 133 8 和 131 1 20 解 设椭圆长半轴长及分别为 a c 由已知得 1 7 a c a c 解得 a 4 c 3 所以椭圆 C 的方程为 22 1 167 xy 设 M x y P x 1 y 其中 4 4 x 由已知得 22 2 1 22 xy e xy 而 3 4 e 故 2222 1 16 9 xyxy 由点 P 在椭圆 C 上得 2 2 1 1127 16 x y 代入 式并化简得 2 9112 y 所以点 M 的轨迹方程为 4 7 44 3 yx 轨迹是两条平行于 x 轴的线段 21 解 当 a 1 时 对函数 f x求导数 得 2 369 fxxx 令 12 0 1 3 fxxx 解得 列表讨论 f xfx的变化情况 x 1 1 1 3 3 3 fx 0 0 f x Z 极大值 6 极小值 26 Z 所以 f x的极大值是 1 6f 极小值是 3 26 f 22 369fxxaxa 的图像是一条开口向上的抛物线 关于 x a 对称 若 1 1 4 afx1 则 2 1212 1 4 12faaaxafxa 故当时不恒成立 所以使 12 1 4 fxa xa 恒成立的 a 的取值范围是 1 4 4 5 22 解 在 ABC 中 因为 B 60 所以 BAC BCA 120 因为 AD CE 是角平分线 所以 HAC HCA 60 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 因为 EBD EHD 180 所以 B D H E 四点共圆 连结 BH 则 BH 为ABC 的平分线 得HBD 30 由 知 B D H E 四点共圆 所以CEDHBD 30 又AHEEBD 60 由已知可得EFAD 可得CEF 30 所以 CE 平分DEF 23 解 22 22 12 4 3 1 1 649 xy CxyC 1 C为圆心是 4