北京市2011年中考数学试卷解析版.pdf

北京市北京市 20112011 年中考数学试卷年中考数学试卷 解析版解析版 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 32 分 分 1 2011 北京 的绝对值是 A B C D 考点 绝对值 专题 计算题 分析 数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值 解答 解 数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值 在数轴上 点 到原点的距离是 所以 的绝对值是 故选 D 点评 本题考查绝对值的基本概念 数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值 2 2011 北京 我国第六次全国人口普查数据显示 居住在城镇的人口总数达到 665 575 306 人 将 665 575 306 用科学记数法表示 保留三个有效数字 约为 A 66 6 107 B 0 666 108 C 6 66 108 D 6 66 107 考点 科学记数法与有效数字 分析 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式 其中 1 a 10 n 为整数 确定 n 的值是易错点 由于 1 048 576 有 7 位 所以可以确定 n 7 1 6 有效数字的计算方法是 从左边第一个不是 0 的数字起 后面所有的数字都是有效数字 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关 与 10 的多少次方无关 解答 解 665 575 306 6 66 108 故选 C 点评 此题考查科学记数法的表示方法 以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法 3 2011 北京 下列图形中 即是中心对称又是轴对称图形的是 A 等边三角形 B 平行四边形 C 梯形 D 矩形 考点 中心对称图形 轴对称图形 分析 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 四个选项中 只有 D 选项既为中心对称图形又是轴对 称图形 解答 解 A 是轴对称图形 不是中心对称图形 故本选项错误 B 是不是轴对称图形 是中心对称图形 故本选项错误 C 是轴对称图形 不是中心对称图形 故本选项错误 D 既是轴对称图形 又是中心对称图形 故本选项正确 故选 D 点评 本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴 图形两部分沿 对称轴折叠后可重合 中心对称图形的关键是要寻找对称中心 旋转 180 度后与原图重合 4 2011 北京 如图 在梯形ABCD中 AD BC 对角线AC BD相交于点O 若1AD 3BC 则 AO CO 的值为 A B C D 考点 相似三角形的判定与性质 梯形 专题 证明题 分析 根据梯形的性质容易证明 AOD COB 然后利用相似三角形的性质即可得到 AO CO 的值 解答 解 四边形 ABCD 是梯形 AD CB AOD COB AD 1 BC 3 故选 B 点评 此题主要考查了梯形的性质 利用梯形的上下底平行得到三角形相似 然后用相似三角形的性质解 决问题 5 2011 北京 北京今年 6 月某日部分区县的高气温如下表 区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山 最高气温 32 32 30 32 30 32 29 32 30 32 则这 10 个区县该日最高气温的众数和中位数分别是 A 32 32 B 32 30 C 30 32 D 32 31 考点 众数 中位数 专题 计算题 分析 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列 位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数 众数 是一组数据中出现次数最多的数据 注意众数可以不止一个 解答 解 在这一组数据中 32 是出现次数最多的 故众数是 32 处于这组数据中间位置的数是 32 32 那么由中位数的定义可知 这组数据的中位数是 32 故选 A 点评 本题为统计题 考查众数与中位数的意义 中位数是将一组数据从小到大 或从大到小 重新排列 后 最中间的那个数 最中间两个数的平均数 叫做这组数据的中位数 如果中位数的概念掌握得不好 不把数据按要求重新排列 就会出错 6 2011 北京 一个不透明的盒子中装有 2 个白球 5 个红球和 8 个黄球 这些球除颜色外 没有任何其 他区别 现从这个盒子中随机摸出一个球 摸到红球的概率为 A B C D 考点 概率公式 专题 计算题 分析 根据概率的求法 找准两点 全部情况的总数 符合条件的情况数目 二者的比值就是其发生 的概率 解答 解 根据题意可得 一个不透明的盒子中装有 2 个白球 5 个红球和 8 个黄球 共 15 个 摸到红球的概率为 故选 B 点评 此题考查概率的求法 如果一个事件有 n 种可能 而且这些事件的可能性相同 其中事件 A 出现 m 种结果 那么事件 A 的概率 P A 7 2011 北京 抛物线 2 65yxx 的顶点坐标为 A 3 4 B 3 4 C 3 4 D 3 4 考点 二次函数的性质 专题 应用题 分析 利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式 求顶点坐标 或者用顶点坐标公式求解 解答 解 2 65yxx x2 6x 9 9 5 x 3 2 4 抛物线 2 65yxx 的顶点坐标是 3 4 故选 A 点评 本题主要考查了二次函数的性质 配方法求顶点式 难度适中 8 2011 北京 如图在 Rt ABC 中 ACB 90 BAC 30 AB 2 D 是 AB 边上的一个动点 不与 点 A B 重合 过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E 设 AD x CE y 则下列图象中 能表示 y 与 x 的函数关系图象大致是 A B C D 考点 动点问题的函数图象 专题 数形结合 分析 本题需先根据题意 求出 y 与 x 的函数关系式 即可得出 y 与 x 的函数关系图象 解答 解 ACB 90 BAC 30 AB 2 当 x 0 时 y 的值是 当 x 2 时 y 的值无限大 y 与 x 的函数关系图象大致是 B 故选 B 点评 本题主要考查了动点问题的函数图象 在解题时要能根据题意得出函数关系本题的关键 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 16 分 分 9 2011 北京 若分式的值为 0 则 x 的值等于 8 考点 分式的值为零的条件 专题 计算题 分析 根据分式的值为零的条件 分子 0 分母 0 可以求出 x 的值 解答 解 x 8 0 x 8 故答案为 8 点评 此题主要考查了分式的值为 0 的条件 若分式的值为零 需同时具备两个条件 1 分子为 0 2 分母不为 0 这两个条件缺一不可 10 2006 巴中 分解因式 a3 10a2 25a a a 5 2 考点 提公因式法与公式法的综合运用 分析 先提取公因式 a 再利用完全平方公式继续分解 解答 解 a3 10a2 25a a a2 10a 25 提取公因式 a a 5 2 完全平方公式 点评 本题考查了提公因式法 公式法分解因式 关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行 二次分解 分解因式一定要彻底 11 2011 北京 若下图是某几何体的表面展开图 则这个几何体是 圆柱 考点 由三视图判断几何体 专题 图表型 分析 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 解答 解 一个长方形和两个圆折叠后 能围成的几何体是圆柱 故答案为 圆柱 点评 本题考查了展开图折叠成几何体 熟记常见几何体的平面展开图的特征 是解决此类问题的关键 12 2011 北京 在右表中 我们把第 i 行第 j 列的数记为 ai j 其中 i j 都是不大于 5 的正整数 对于 表中的每个数 ai j 规定如下 当 i j 时 ai j 1 当 i j 时 ai j 0 例如 当 i 2 j 1 时 ai j a2 1 1 按 此规定 a1 3 0 表中的 25 个数中 共有 15 个 1 计算 a1 1 ai 1 a1 2 ai 2 a1 3 ai 3 a1 4 ai 4 a1 5 ai 5的值为 1 a1 1 a1 2 a1 3 a1 4 a1 5 a2 1 a2 2 a2 3 a2 4 a2 5 a3 1 a3 2 a3 3 a3 4 a3 5 a4 1 a4 2 a4 3 a4 4 a4 5 a5 1 a5 2 a5 3 a5 4 a5 5 考点 规律型 数字的变化类 分析 由题意当 i j 时 ai j 0 当 i j 时 ai j 1 由图表中可以很容易知道等于 1 的数有 15 个 解答 解 由题意 很容易发现 从 i 与 j 之间大小分析 当 i j 时 ai j 0 当 i j 时 ai j 1 由图表可知 15 个 1 故填 0 15 1 点评 本题考查了数字的变化 由题意当 i j 时 ai j 0 当 i j 时 ai j 1 仔细分析很简单的问题 三 解答题 共三 解答题 共 13 小题 满分小题 满分 72 分 分 13 2011 北京 计算 10 1 2cos3027 2 2 考点 实数的运算 零指数幂 负整数指数幂 特殊角的三角函数值 专题 计算题 分析 根据负指数幂 特殊角的三角函数值 三次根式 零指数幂的性质化简 然后根据实数运算法则进 行计算即可得出结果 解答 解 原式 2 2 3 1 2 3 1 2 3 点评 本题主要考查了负指数幂 特殊角的三角函数值 三次根式 零指数幂的性质及实数运算法则 难 度适中 14 2011 北京 解不等式 4 1 56xx 考点 解一元一次不等式 分析 根据不等式的解法 去括号 移项 合并同类项 把 x 的系数化为 1 解不等式 注意不等式的两边 同时除以同一个负数时 要改变不等号的方向 解答 解 去括号得 4x 4 5x 6 移项得 4x 5x 4 6 合并同类项得 x 2 把 x 的系数化为 1 得 x 2 不等式的解集为 x 2 点评 此题主要考查了不等式的解法 一定要注意符号的变化 和不等号的变化情况 15 2011 北京 已知 a2 2ab b2 0 求代数式 a a 4b a 2b a 2b 的值 考点 整式的混合运算 化简求值 专题 计算题 分析 本题需先要求的式子进行化简整理 再根据已知条件求出 a b 的值 即可求出最后结果 解答 解 a a 4b a 2b a 2b a2 4ab a2 4b2 4ab 4b2 a2 2ab b2 0 a b 0 原式 4b a b 0 点评 本题主要考查了整式的混合运算 在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键 16 2011 北京 如图 点 A B C D 在同一条直线上 BE DF A F AB FD 求证 AE FC 考点 全等三角形的判定与性质 平行线的性质 专题 证明题 分析 根据 BE DF 可得 ABE D 再利用 ASA 求证 ABC 和 FDC 全等即可 解答 证明 BE DF ABE D 在 ABC 和 FDC 中 ABE D AB FD A F ABC FDC AE FC 点评 此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握 此题的关键是 利用平行线的性质求证 ABC 和 FDC 全等 17 2011 北京 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 y 2x 的图象与反比例函数 y 的图象的 一个交点为 A 1 n 1 求反比例函数 y 的解析式 2 若 P 是坐标轴上一点 且满足 PA OA 直接写出点 P 的坐标 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 代数综合题 分析 1 把 A 的坐标代入函数解析式即可求得 k 的值 即可得到函数解析式 2 以 A 为圆心 以 OA 为半径的圆与坐标轴的交点就是 P 解答 解 1 点 A 1 n 在一次函数 y 2x 的图象上 n 2 1 2 点 A 的坐标为 1 2 点 A 在反比例函数的图象上 k 2 反比例函数的解析式是 y 2 点 P 的坐标为 2 0 或 0 4 点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法确定函数的解析式 是常用的一 种解题方法 同学们要熟练掌握这种方法 18 2011 北京 列方程或方程组解应用题 京通公交快速通道开通后 为响应市政府 绿色出行 的号召 家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐 公交车 已知小王家距上班地点 18 千米 他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方 式平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米 他从家出发到达上班地点 乘公交车方式所用时间是自驾车 方式所用时间的 小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米 考点 分式方程的应用 专题 行程问题 分析 设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 x 千米 根据已知小王家距上班地点 18 千米 他用乘公 交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米 他从家 出发到达上班地点 乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 可列方程求解 解答 解 设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 x 千米 x 27 经检验 x 27 是原方程的解 且符合题意 小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 27 千米 点评 本题考查理解题意的能力 关键是以时间做为等量关系 根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式 所用时间的 列方程求解 19 2011 北京 如图 在 ABC 中 ACB 90 D 是 BC 的中点 DE BC CE AD 若 AC 2 CE 4 求四边形 ACEB 的周长 考点 平行四边形的判定与性质 勾股定理 专题 几何图形问题 分析 先证明四边形 ACED 是平行四边形 可得 DE AC 2 由勾股定理和中线的定义可求 AB 和 EB 的 长 从而求出 四边形 ACEB 的周长 解答 ACB 90 DE BC AC DE 又 CE AD 四边形 ACED 是平行四边形 DE AC 2 在 Rt CDE 中 由勾股定理得 CD 22 DECE 23 D 是 BC 的中点 BC 2CD 43 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 AB 22 BCAC 213 D 是 BC 的中点 DE BC EB EC 4 四边形 ACEB 的周长 AC CE EB BA 10 213 点评 本题考查了平行四边形的判定与性质 勾股定理和中线的定义 注意寻找求 AB 和 EB 的长的方法 和途径 20 2011 北京 如图 在 ABC AB AC 以 AB 为直径的 O 分别交 AC BC 于点 D E 点 F 在 AC 的延长线上 且 CBF CAB 1 求证 直线 BF 是 O 的切线 2 若 AB 5 sin CBF 求 BC 和 BF 的长 考点 切线的判定与性质 勾股定理 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 解直角三角形 专题 证明题 综合题 分析 1 连接 AE 利用直径所对的圆周角是直角 从而判定直角三角形 利用直角三角形两锐角相等 得到直角 从而证明 ABE 90 2 利用已知条件证得 AGC BFA 利用比例式求得线段的长即可 解答 解 1 证明 连接 AE AB 是 O 的直径 AEB 90 1 2 90 AB AC 1 CAB CBF CAB 1 CBF CBF 2 90 即 ABF 90 AB 是 O 的直径 直线 BF 是 O 的切线 2 过点 C 作 CG AB 于点 G sin CBF 1 CBF sin 1 AEB 90 AB 5 BE AB sin 1 AB AC AEB 90 BC 2BE 2 在 Rt ABE 中 由勾股定理得 AE 2 sin 2 cos 2 在 Rt CBG 中 可求得 GC 4 GB 2 AG 3 GC BF AGC BFA BF 点评 本题考查常见的几何题型 包括切线的判定 角的大小及线段长度的求法 要求学生掌握常见的解 题方法 并能结合图形选择简单的方法解题 21 2011 北京 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据 绘制统计图的一部分 请根据以上信息解答下列问题 1 2008 年北京市私人轿车拥有是多少万辆 结果保留三个有效数字 2 补全条形统计图 3 汽车数量增多除造成交通拥堵外 还增加了碳排放量 为了了解汽车碳排放量的情况 小明同学通 过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关 如 一辆排量为 1 6L 的轿车 如果一年行驶 1 万千米 这 一年 它碳排放量约为 2 7 吨 于是他调查了他所居住小区的 150 辆私人轿车 不同排量的轿车数量如下 表所示 排量 L 小 1 6 1 6 1 8 大于 1 8 数量 辆 29 75 31 15 如果按照小明的统计数据 请你通过计算估计 2010 年北京市仅排量为 1 6L 的这类私人轿车 假设每辆 车平均一行行驶 1 万千米 的碳排放总量约为多少万吨 考点 折线统计图 条形统计图 专题 数形结合 分析 1 用 2007 年北京市私人轿车拥有辆乘以增长率再加上 2007 年的拥有量即可解答 1 根据上题解答补全统计图即可 3 先求出本小区内排量为 1 6L 的这类私人轿车所占的百分比 再用样本估计总体的方法求出排放总量 即可解答 解答 解 1 146 1 19 173 74 174 万辆 所以 2008 年北京市私人轿车拥有量约是 174 万辆 2 如图 3 276 2 7 372 6 万吨 所以估计 2010 年北京市仅排量为 1 6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372 6 万吨 点评 本题考查了折线统计图 条形统计图的知识 难度较大 注意解答此类综合题目时要抓住每种统计 图的特点 不要弄混 22 2011 北京 阅读下面材料 小伟遇到这样一个问题 如图 1 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 相交于点 O 若梯形 ABCD 的面积为 1 试求以 AC BD AD BC 的长度为三边长的三角形的面积 小伟是这样思考的 要想解决这个问题 首先应想办法移动这些分散的线段 构造一个三角形 再计算其 面积即可 他先后尝试了翻折 旋转 平移的方法 发现通过平移可以解决这个问题 他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E 得到的 BDE 即是以 AC BD AD BC 的长度为三边长的三角 形 如图 2 参考小伟同学的思考问题的方法 解决下列问题 如图 3 ABC 的三条中线分别为 AD BE CF 1 在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD BE CF 的长度为三边长的一个三角形 保留画图痕迹 2 若 ABC 的面积为 1 则以 AD BE CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 考点 平移的性质 三角形的面积 作图 复杂作图 专题 探究型 分析 根据平移可知 ADC ECD 且由梯形的性质知 ADB 与 ADC 的面积相等 即 BDE 的面 积等于梯形 ABCD 的面积 1 分别过点 F C 作 BE AD 的平行线交于点 P 得到的 CFP 即是以 AD BE CF 的长度为三边长 的一个三角形 2 由平移的性质可得对应线段平行且相等 对应角相等 结合图形知以 AD BE CF 的长度为三边长 的三角形的面积等于 ABC 的面积的 解答 解 BDE 的面积等于 1 1 如图 以 AD BE CF 的长度为三边长的一个三角形是 CFP 2 以 AD BE CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 点评 本题考查平移的基本性质 平移不改变图形的形状和大小 经过平移 对应点所连的线段平行 且相等 对应线段平行且相等 对应角相等 23 2011 北京 在平面直角坐标系 xOy 中 二次函数 y mx2 m 3 x 3 m 0 的图象与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 1 求点 A 的坐标 2 当 ABC 45 时 求 m 的值 3 已知一次函数 y kx b 点 P n 0 是 x 轴上的一个动点 在 2 的条件下 过点 P 垂直于 x 轴的 直线交这个一次函数的图象于点 M 交二次函数 y mx2 m 3 x 3 m 0 的图象于 N 若只有当 2 n 2 时 点 M 位于点 N 的上方 求这个一次函数的解析式 考点 二次函数综合题 专题 代数综合题 分析 1 令 y 0 则求得两根 又由点 A 在点 B 左侧且 m 0 所以求得点 A 的坐标 2 二次函数的图象与 y 轴交于点 C 即求得点 C 由 ABC 45 从而求得 3 由 m 值代入求得二次函数式 并能求得交点坐标 则代入一次函数式即求得 解答 解 1 点 A B 是二次函数 y mx2 m 3 x 3 m 0 的图象与 x 轴的交点 令 y 0 即 mx2 m 3 x 3 0 解得 x1 1 又 点 A 在点 B 左侧且 m 0 点 A 的坐标为 1 0 2 由 1 可知点 B 的坐标为 二次函数的图象与 y 轴交于点 C 点 C 的坐标为 0 3 ABC 45 m 1 3 由 2 得 二次函数解析式为 y x2 2x 3 依题意并结合图象可知 一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为 2 和 2 由此可得交点坐标为 2 5 和 2 3 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y kx b 中 得解得 一次函数解析式为 y 2x 1 点评 本题考查了二次函数的综合运用 1 令 y 0 则求得两根 又由 AB 位置确定 m 0 即求得 2 二次函数的图象与 y 轴交于点 C 再由 45 度从而求得 3 由 m 值代入求得二次函数式 求得交点坐标 则代入一次函数式即求得 本题比较模糊 按照一般计算 代入即求得 24 2011 北京 在 ABCD 中 BAD 的平分线交直线 BC 于点 E 交直线 DC 于点 F 1 在图 1 中证明 CE CF 2 若 ABC 90 G 是 EF 的中点 如图 2 直接写出 BDG 的度数 3 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连接 DB DG 如图 3 求 BDG 的度数 考点 平行四边形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 菱形的判定与性 质 专题 计算题 证明题 分析 1 根据 AF 平分 BAD 可得 BAF DAF 利用四边形 ABCD 是平行四边形 求证 CEF F 即 可 2 根据 ABC 90 G 是 EF 的中点可直接求得 3 分别连接 GB GE GC 求证四边形 CEGF 是平行四边形 再求证 ECG 是等边三角形 由 AD BC 及 AF 平分 BAD 可得 BAE AEB 求证 BEG DCG 然后即可求得答案 解答 解 1 如图 1 AF 平分 BAD BAF DAF 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AB CD DAF CEF BAF F CEF F CE CF 2 BDG 45 3 解 分别连接 GB GE GC AD BC ABC 120 ECF ABC 120 FG CE 且 FG CE 四边形 CEGF 是平行四边形 由 1 得 CE CF 四边形 CEGF 是菱形 GE EC GCF GCE ECF 60 ECG 是等边三角形 EG CG GEC EGC GEC FGC BEG DCG 由 AD BC 及 AF 平分 BAD 可得 BAE AEB AB BE 在 ABCD 中 AB DC BE DC 由 得 BEG DCG BG DG 1 2 BGD 1 3 2 3 EGC 60 BDG 60 点评 此题主要考查平行四边形的判定方法 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 菱形 的判定与性质等知识点 应用时要认真领会它们之间的联系与区别 同时要根据条件合理 灵活地选择方 法 25 2011 北京 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 我把由两条射线 AE BF 和以 AB 为直径的半圆所组 成的图形叫作图形 C 注 不含 AB 线段 已知 A 1 0 B 1 0 AE BF 且半圆与 y 轴的交 点 D 在射线 AE 的反向延长线上 1 求两条射线 AE BF 所在直线的距离 2 当一次函数 y x b 的图象与图形 C