2006年高考文科数学试题及答案(四川卷).pdf

2006 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 文科数学及参考答案 四川卷 文科数学及参考答案 第 卷第 卷 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 球是表面积公式 BPAPBAP 2 4 RS 如果事件 A B 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 BPAPBAP 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 3 3 4 RV n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP 1 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C A D A B D B C D B A C 1 已知集合 2 560Ax xx 集合 213Bxx 则集合AB A 23xx B 23xx C 23xx D 13xx 2 函数 ln1 1f xxx 的反函数是 A 1 1 x fxexR B 1 101 x fxxR C 1 1011 x fxx D 1 11 x fxex 3 曲线 3 4yxx 在点 1 3 处的切线方程是 A 74yx B 72yx C 4yx D 2yx 4 如图 已知正六边形 123456 PP PP PP 下列向量的数量积中最大的是 A 1213 PP PP B 1214 PP PP C 1215 PP PP D 1216 PP PP 5 甲校有3600名学生 乙校有5400名学生 丙校有1800名学生 为统计三校学生某 方面的情况 计划采用分层抽样法 抽取一个容量为90人的样本 应在这三校分别抽取 学生 A 30人 30人 30人 B 30人 45人 15人 C 20人 30人 10人 D 30人 50人 10人 6 下列函数中 图象的一部分如右图所示的是 A sin 6 yx B sin 2 6 yx C cos 4 3 yx D cos 2 6 yx 7 已知二面角l 的大小为 0 60 m n为异面直线 且 mn 则 m n所成 的角为 A 0 30 B 0 60 C 0 90 D 0 120 8 已知两定点 2 0 1 0AB 如果动点P满足2PAPB 则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 A 9 B 8 C 4 D 9 如图 正四棱锥PABCD 底面的四个顶点 A B C D在球O的同一 个大圆上 点P在球面上 如果 16 3 P ABCD V 则球O的表面积是 A 4 B 8 C 12 D 16 10 直线3yx 与抛物线 2 4yx 交于 A B两点 过 A B两点向抛物线的准线作垂线 垂足分别为 P Q 则梯形APQB的面积为 A 36 B 48 C 56 D 64 11 设 a b c分别是ABC 的三个内角 A B C所对的边 则 2 ab bc 是2AB 的 A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而充分条件 D 既不充分又不必要条件 12 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数 这个数不能被 3整除的概率为 A 41 60 B 38 54 C 35 54 D 19 54 第 卷第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中的横线上 13 10 1 2x 展开式中的 3 x系数为960 用数字作答 14 设 x y满足约束条件 1 1 2 210 x yx xy 则2zxy 的最小值为6 15 如图 把椭圆 22 1 2516 xy 的长轴AB分成8等份 过每个 分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 1234567 P P P P P P P七个 点 F是椭圆的一个焦点 则 1234567 PFP FPFP FPFP FP F 35 16 m n是空间两条不同直线 是两个不同平面 下面有四个命题 mnmn mnmn mnmn mmnn 其中真命题的编号是 写出所有真命题的编号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本大题满分 12 分 数列 n a的前n项和记为 11 1 211 nnn SaaSn 求 n a的通项公式 等差数列 n b的各项为正 其前n项和为 n T 且 3 15T 又 112233 ab ab ab 成等比数列 求 n T 本小题主要考察等差数列 等比数列的基础知识 以及推理能力与运算能力 满分 12 分 解 由 1 21 nn aS 可得 1 212 nn aSn 两式相减得 11 2 32 nnnnn aaa aan 又 21 213aS 21 3aa 故 n a是首项为1 公比为3得等比数列 1 3n n a 设 n b的公比为d 由 3 15T 得 可得 123 15bbb 可得 2 5b 故可设 13 5 5bd bd 又 123 1 3 9aaa 由题意可得 2 51 5953dd 解得 12 2 10dd 等差数列 n b的各项为正 0d 2d 2 1 322 2 n n n Tnnn 18 本大题满分 12 分 已知 A B C是三角形ABC 三内角 向量 1 3 cos sinmnAA 且 1m n 求角A 若 22 1 sin2 3 cossin B BB 求tan B 本小题主要考察三角函数概念 同角三角函数的关系 两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式 考察应用 分析和计算能力 满分 12 分 解 1m n 1 3cos sin1AA 即3sincos1AA 31 2 sincos1 22 AA 1 sin 62 A 5 0 666 AA 66 A 3 A 由题知 22 12sincos 3 cossin BB BB 整理得 22 sinsincos2cos0BBBB cos0B 2 tantan20BB tan2B 或tan1B 而tan1B 使 22 cossin0BB 舍去 tan2B 19 本大题满分 12 分 某课程考核分理论与实验两部分进行 每部分考核成绩只记 合格 与 不合格 两部分考核都是 合格 则该课程考核 合格 甲 乙 丙三人在理论考核中合格的概率 分别为0 9 0 8 0 7 在实验考核中合格的概率分别为0 8 0 7 0 9 所有考核是否合格相互 之间没有影响 求甲 乙 丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率 求这三人该课程考核都合格的概率 结果保留三位小数 本小题主要考察相互独立事件 互斥事件 对立事件等概率的计算方法 考察应用 概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 记 甲理论考核合格 为事件 1 A 乙理论考核合格 为事件 2 A 丙理论考核合格 为事件 3 A 记 i A为 i A的对立事件 1 2 3i 记 甲实验考核合格 为事件 1 B 乙实 验考核合格 为事件 2 B 丙实验考核合格 为事件 3 B 记 理论考核中至少有两人合格 为事件C 记C为C的对立事件 解法 1 123123123123 P CP A A AA A AA A AA A A 123123123123 P A A AP A A AP A A AP A A A 0 9 0 8 0 30 9 0 2 0 70 1 0 8 0 70 9 0 8 0 7 0 902 解法 2 1P CP C 123123123123 1P A A AA A AA A AA A A 123123123123 1P A A AP A A AP A A AP A A A 10 1 0 2 0 30 9 0 2 0 30 1 0 8 0 30 1 0 2 0 7 1 0 098 0 902 所以 理论考核中至少有两人合格的概率为0 902 记 三人该课程考核都合格 为事件D 112233 P DPA BABA B 112233 P A BP ABP AB 112233 P AP BP AP BP AP B 0 9 0 8 0 8 0 8 0 7 0 9 0 254016 0 254 所以 这三人该课程考核都合格的概率为0 254 20 本大题满分 12 分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E P分别是 11 BC AD的 中 点 M N分 别 是 1 AE CD的 中 点 1 2ADAAa ABa 求证 MN面 11 ADD A 求二面角PAED 的大小 本小题主要考察长方体的概念 直线和平面 平面和平面的关系等基础知识 以及 空间想象能力和推理能力 满分 12 分 解法一 证明 取CD的中点K 连结 MK NK M N K分别为 1 AK CD CD的中点 1 MKAD NKDD MK面 11 ADD A NK面 11 ADD A 面 MNK面 11 ADD A MN面 11 ADD A 设F为AD的中点 P为 11 AD的中点 1 PFDD PF 面ABCD 作FHAE 交AE于H 连结PH 则由三垂线定理得AEPH 从而PHF 为二面角PAED 的平面角 在Rt AEF 中 17 2 22 a AFEFa AEa 从而 2 2 2 1717 2 a a AF EFa FH AE a 在Rt PFH 中 1 17 tan 2 DDPF PFH FHFH 故 二面角PAED 的大小为 17 arctan 2 方法二 以D为原点 1 DA DC DD所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立直角坐标 系 则 11 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 A aB aaCaA aaDa E P M N分别是 111 BC AD AE CD的中点 3 2 0 0 0 0 2242 aaaa EaPaMaNa 3 0 42 a MNa 取 0 1 0n 显然n 面 11 ADD A 0MN n MNn 又MN 面 11 ADD A MN面 11 ADD A 过P作PHAE 交AE于H 取AD的中点F 则 0 0 2 a F 设 0H x y 则 0 22 aa HPxy aHFxy 又 2 0 2 a AEa 由0AP AE 及H在直线AE上 可得 2 20 42 44 aa xay xya 解得 332 3417 xa ya 8282 0 17171717 aaaa HPaHP 0HF AE 即HFAE HP 与HF 所夹的角等于二面角PAED 的大小 2 cos 21 HP HF HP HF HPHF 故 二面角PAED 的大小为 2 21 arccos 21 21 本大题满分 12 分 已知函数 3 31 5f xxaxg xf xax 其中 fx是的导函数 对满足11a 的一切a的值 都有 0g x 求实数x的取值范围 设 2 am 当实数m在什么范围内变化时 函数 yf x 的图象与直线3y 只 有一个公共点 本小题主要考察函数的单调性 导数的应用 解不等式等基础知识 以及推理能力 运输能力和综合应用数学知识的能力 满分 12 分 解 由题意 2 335g xxaxa 令 2 335xx ax 11a 对11a 恒有 0g x 即 0a 10 10 即 2 2 320 380 xx xx 解得 2 1 3 x 故 2 1 3 x 时 对满足11a 的一切a的值 都有 0g x 22 33fxxm 当0m 时 3 1f xx 的图象与直线3y 只有一个公共点 当0m 时 列表 x m m m m m m fx 0 0 f x 极大 极小 2 211f xfxm m 极小 又 f x的值域是R 且在 m 上单调递增 当xm 时函数 yf x 的图象与直线3y 只有一个公共点 当xm 时 恒有 f xfm 由题意得 3fm 即 3 2 21213m mm 解得 33 2 00 2m 综上 m的取值范围是 33 2 2 22 本大题满分 14 分 已知两定点 12 2 0 2 0FF 满足条件 21 2PFPF 的点P的轨迹是曲 线E 直线1ykx 与曲线E交于 A B两点 求k的取值范围 如果6 3AB 且曲线E上存在点C 使OAOBmOC 求m的值和ABC 的面积S 本小题主要考察双曲线的定义和性质 直线与双曲线的关系 点到直线的距离等知识 及解析几何的基本思想 方法和综合解决问题的能力 满分 14 分 解 由双曲线的定义可知 曲线E是以 12 2 0 2 0FF 为焦点的双曲线的左 支 且2 1ca 易知1b 故曲线E的方程为 22 10 xyx 设 1122 A x yB xy 由题意建立方程组 22 1 1 ykx xy 消去y 得 22 1220kxkx 又已知直线与双曲线左支交于两点 A B 有 2 2 2 12 2 12 2 10 28 10 2 0 1 2 0 1 k kk k xx k x x k 解得21k 2 12 1ABkxx 2 1212 14kxxx x 2 2 22 22 14 11 k k kk 22 2 2 12 2 1 kk k 依题意得 22 2 2 12 26 3 1 kk k 整理后得 42 2855250kk 2 5 7 k 或 2 5 4 k