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2011年辽宁省高考数学试卷（文科） 一.选择题：本大题共12 小题每小题5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1、（201161辽宁）已知集合Ax|x1，B=x|1x2则AB=（ ） A、x|1x2 B、x|x1 C、x1x1 D、x|1x2 考点：交集及其运算。 专题：计算题。 分析：利用交集的定义：由所有的属于两个集合的公共元素组成的集合；求出交集 解答：解：A=x|x1，B=x|1x2 AB=x|1x2 故选D 点评：本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义，求出集合的交集、并集、补集 2、（201161辽宁）i 为虚数单位， =（ ） A、0 B、2i C、2i D、4i 考点：虚数单位i 及其性质。 专题：计算题。 分析：直接利用i 的幂运算，化简表达式即可得到结果 解答：解： = =0 故选A 点评：本题是基础题，考查复数的基本运算，i 的幂的运算性质，考查计算能力，常考题型 3、（201161辽宁）已知向量 =（2，1）， =（1，k）， 61（2 ）=0，则k=（ ） A、12 B、6 C、6 D、12 考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系。 分析：利用向量的数量积个数求出 ；再利用向量的运算律将已知等式展开， 将 的值代入，求出k 的值 解答：解： 即 10k+2=0 解得k=12 故选D 点评：本题考查向量的坐标形式的数量积公式、考查向量的分配律 4、（201161辽宁）已知命题p：69nN，2 n 1000，则p 为（ ） A、66nN，2 n 1000 B、66nN，2 n 1000 C、：69nN，2 n 1000 D、：69nN，2 n 1000 考点：命题的否定。 专题：综合题。 分析：利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定 解答：解：命题p：69nN，2 n 1000， 则p 为66nN，2 n 1000 故选A 点评：本题考查含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定即可 5、（201161辽宁）若等比数列a n 满足a n a n+1 =16 n ，则公比为（ ） A、2 B、4 C、8 D、16 考点：等比数列的性质。 专题：计算题。 分析：令n=1，得到第1 项与第2 项的积为16，记作，令n=2，得到第2 项与第3 项的积 为 256，记作，然后利用，利用等比数列的通项公式得到关于 q 的方程，求出方程 的解即可得到q 的值，然后把q 的值代入经过检验得到满足题意的q 的值即可 解答：解：当n=1 时，a 1 a 2 =16；当n=2 时，a 2 a 3 =256， 得： =16，即q 2 =16，解得q=4 或q=4， 当q=4 时，由得：a 1 2 （4）=16，即a 1 2 =4，无解，所以q=4 舍去， 则公比q=4 故选B 点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道 基础题学生在求出q 的值后，要经过判断得到满足题意的q 的值，即把q=4 舍去 6、（201161辽宁）若函数 为奇函数，则a=（ ） A、 B、 C、 D、1 考点：函数奇偶性的性质。 专题：计算题。 分析：利用奇函数的定义得到f（1）=f（1），列出方程求出a 解答：解：f（x）为奇函数 f（1）=f（1） = 1+a=3（1a） 解得a= 故选A 点评：本题考查利用奇函数的定义：对定义域内任意的自变量 x 都有 f（x）=f（x）成 立 7、（201161辽宁）已知F 是抛物线y 2 =x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3， 则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A、 B、1 C、 D、 考点：抛物线的定义。 专题：计算题。 分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于 到准线的距离，列出方程求出A，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离 解答：解：F 是抛物线y 2 =x 的焦点 F（ ）准线方程x= 设A（x 1 ，y 1 ） B（x 2 ，y 2 ） |AF|+|BF|= =3 解得 线段AB 的中点横坐标为 线段AB 的中点到y 轴的距离为 故选C 点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转 化为到准线的距离 8、（201161辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ，它的三视图中的 俯视图如图所示左视图是一个矩形则这个矩形的面积是（ ） A、4 B、 C、2 D、 考点：由三视图求面积、体积。 专题：计算题。 分析：通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高，棱长，然后求出左视图矩形的长和宽，即 可求出面积 解答：解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ，设高为：x，所以 ，x=2， 左视图的矩形长为：2，宽为： ；矩形的面积为：2 故选B 点评：本题是基础题，考查正三棱柱的左视图的面积的求法，考查计算能力，空间想象能力 9、（201161辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是（ ） A、8 B、5 C、3 D、2 考点：循环结构。 专题：图表型。 分析：根据输入的n 是4，然后判定k=1，满足条件k4，则执行循环体，依次类推，当k=4， 不满足条件k4，则退出执行循环体，求出此时p 的值即可 解答：解：k=1，满足条件k4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1 k=2，满足条件k4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2 k=3，满足条件k4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3 k=4，不满足条件k4，则退出执行循环体，此时p=3 故选：C 点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程 图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第 一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模 10、（201161辽宁）己知球的直径SC=4，A，B 是该球球面上的两点AB=2，ASC=BSC=45， 则棱锥SABC 的体积为（ ） A、 B、 C、 D、 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体。 专题：计算题。 分析：由题意求出 SA=AC=SB=BC=2 ，SAC=SBC=90，说明球心 O 与 AB 的平面与 SC 垂直，求出OAB 的面积，即可求出棱锥SABC 的体积 解答：解：由题意求出SA=AC=SB=BC=2 ，SAC=SBC=90，所以球心O 与AB 的平面与 SC 垂直，则 所以棱锥SABC 的体积为： = 故选C 点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O 与AB 的平面与SC 垂直是本题的解题关键，常考题型 11、（201161辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f （x）2x+4 的解集为（ ） A、（1，1） B、（1，+） C、（，l） D、（，+） 考点：其他不等式的解法。 专题：函数思想。 分析：把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为 F（x）构成一个函数，把 x= 1 代入 F（x）中，由 f（1）=2 出 F（1）的值，然后求出 F（x）的导函数，根据 f （x）2，得到导函数大于0 即得到F（x）在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到F （x）大于0 的解集，进而得到所求不等式的解集 解答：解：设F（x）=f（x）（2x+4）， 则F（1）=f（1）（2+4）=22=0， 又对任意xR，f（x）2，所以F（x）=f（x）20， 即F（x）在R 上单调递增， 则F（x）0 的解集为（1，+）， 即f（x）2x+4 的解集为（1，+） 故选B 点评：此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题 12 、 （ 201161 辽 宁 ） 已 知 函 数 ，y=f（x）的部分 图象如图，则 =（ ） A、 B、 C、 D、 考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式。 专题：计算题。 分析：根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出 ，确定 A 的值，根据（0.1）确定 的值，求出函数的解析式，然后求出 即可 解答：解：由题意可知 A=1，T= ，所以 =2，函数的解析式为：f（x）=Atan（x+）（因 为函数过（0，1），所以，1=tan，所以= ， 所以f（x）=tan（2x+ ）则f（ ）=tan（ ）= 故选B 点评：本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值， 考查计算能力 二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分） 13、（201161辽宁）已知圆C 经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x 轴上则C 的方程为 （x2） 2 +y 2 =10 考点：圆的标准方程。 专题：计算题。 分析：根据题意可知线段AB 为圆C 的一条弦，根据垂径定理得到AB 的垂直平分线过圆心C， 所以由A 和B 的坐标表示出直线AB 的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积为1 由直线 AB 的斜率求出AB 垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段AB 的中点坐标，由中 点坐标和求出的斜率写出 AB 的垂直平分线的方程，又因为圆心在 x 轴上，所以把求出 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点坐标即为圆心 C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求出线段 AC 的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可 解答：解：由A（5，1），B（1，3）， 得到直线AB 的方程为：y3= （x1），即x+2y7=0， 则直线AB 的斜率为 ，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为2， 又设线段AB 的中点为D，则D 的坐标为（ ， ）即（3，2）， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为：y2=2（x3）即2xy4=0， 令y=0，解得x=2，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点即圆心C 的坐标为（2，0）， 而圆的半径r=|AC|= = ， 综上，圆C 的方程为：（x2） 2 +y 2 =10 故答案为：（x2） 2 +y 2 =10 点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的 距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一 道中档题 14、（201161辽宁）调查了某地若干户家庭的年收 x（单位：万元）和年饮食支出 y（单位： 万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，井由调查数据得到y 对x 的 回归直线方程 由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万 元，年饮食支出平均增加 0.254 万元 考点：线性回归方程。 专题：计算题。 分析：写出当自变量增加1 时的预报值，用这个预报值去减去自变量x 对应的值，得到家庭 年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果 解答：解：对x 的回归直线方程 =0.254（x+1）+0.321， =0.254（x+1）+0.3210.254x0.321=0.254， 故答案为：0.254 点评：本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值 时对应的y 的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确 15、（201161辽宁）S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 2 =S 6 ，a 4 =1 则a 5 = 1 考点：等差数列的性质。 专题：计算题。 分析：由S 2 =S 6 ，a 4 =1，先求出首项和公差，然后再求a 5 的值 解答：解：由题设知 ， a 1 =7，d=2， a 5 =7+4（2）=1 故答案为：1 点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用 16、（201161辽宁）已知函数 f（x）=e x 2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 （，2ln2 2 考点：函数零点的判定定理。 专题：计算题。 分析：先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最 小值小于或等于零）得出a 的取值范围 解答：解：f / （x）=e x 2，可得f / （x）=0 的根为x 0 =ln2 当xln2 时，f / （x）0，可得函数在区间（，ln2）上为减函数； 当xln2 时，f / （x）0，可得函数在区间（ln2，+）上为增函数， 函数y=f（x）在x=ln2 处取得极小值f（ln2）=22ln2+a， 并且这个极小值也是函数的最小值， 由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即22ln2+a0，可得a2ln22， 故答案为：（，2ln22 点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据 单调性，结合函数的图象与x 轴交点，来帮助对题意的理解 三、解答题（共8 小题，共70 分请在笫22-24 三题中任选一题作答如果多做则按所做 的第一题记分） 17、（201161辽宁） ABC 的三个内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos 2 A= a （）求 ； （）若C 2 =b 2 + a 2 ，求B 考点：解三角形。 专题：计算题。 分析：（）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB 和sinA 的关 系式，进而求得a 和b 的关系 （）把题设等式代入余弦定理中求得cosB 的表达式，把（）中a 和b 的关系代入求得 cosB 的值，进而求得B 解答：解：（）由正弦定理得，sin 2 AsinB+sinBcos 2 A= sinA， 即sinB（sin2A+sin2B）= sinA sinB= sinA， = （）由余弦定理和C 2 =b 2 + a 2 ，得cosB= 由（）知b 2 =2a 2 ，故c 2 =（2+ ）a 2 ， 可得cos 2 B= ，又cosB0，故cosB= 所以B=45 点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用解题的过程主要是利用了正弦定理和余 弦定理对边角问题进行了互化 18、（201161辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形，QA平面ABCD，PDQA，OA=AB= PD （）证明PQ平面DCQ； （）求棱锥QABCD 的体积与棱锥PDCQ 的体积的比值 考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题：计算题；证明题。 分析：（）利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知 直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化； （）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积 计算公式 解答：解：（I）由条件知PDAQ 为直角梯形， 因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD 又四边形ABCD 为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC 在直角梯形PDAQ 中可得 ，则PQDQ，又DQDC=D， 所以PQ平面DCQ； （）设AB=a， 由题设知AQ 为棱锥QABCD 的高，所以棱锥Q 一ABCD 的体积 由（）知PQ 为棱锥PDCQ 的高而PQ= DCQ 的面积为 所以棱锥PDCQ 的体积 故棱锥QABCD 的体积与棱锥PDCQ 的体积的比值为1：l 点评：本题考查空间中线面垂直的判定方法，考查学生的转化与化归能力，将线面垂直转化 为线线垂直，注意步骤的规范性，考查学生对锥体的体积的计算方法的认识，考查学生的几 何计算知识 19、（201161辽宁）某农场计划种植某种新作物为此对这种作物的两个品种（分别称为品种 甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中随 机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙 （）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率： （）试验时每大块地分成8 小块即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上 的每公顷产量（单位kg/hm 2 ）如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该 种植哪一品种？ 附：样本数据 x 1 ，x 2 x n 的样本方差 S 2 = （x 1 ） 2 +（x n ） 2 ，其中 为样本平均 数 考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式。 专题：计算题；综合题。 分析：（I）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是先从4 小块地中任选2 小块地种植 品种甲的基本事件共6 个，满足条件的事件是第一大块地都种品种甲，根据古典概型概率公 式得到结果 （II）首先做出两个品种的每公顷产量的样本平均数和样本方差，把两个品种的平均数和方 差进行比较，得到乙的平均数大，乙的方差比较小，得到结果 解答：解：（I）由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是设第一大块地中的两小块地编号为1，2 第二大块地中的两小块地编号为3，4 令事件A=“第一大块地都种品种甲” 从4 小块地中任选2 小块地种植品种甲的基本事件共6 个 （1，2），（1，3），（1.4），（2，3）（2，4）（3，4） 而事件A 包含l 个基本事件：（1，2） P（A）= （ ） 品 种 甲 的 每 公 顷 产 量 的 样 本 平 均 数 和 样 本 方 差 分 别 为 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 由以上结果可以看出品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数 且两品种的样本方差相等 故应该选择种植品种乙 点评：本题考查古典概型的概率公式，考查利用列举法得到事件数，考查两组数据的平均数 和方差的大小比较，考查平均数和方差的意义，是一个比较简单的综合题目 20、（201161辽宁）设函数f（x）=x+ax 2 +blnx，曲线，y=f（x）过P（1，0），且在P 点处的切 线率为2 （）求a，b 的值； （）证明：f（x）2x2 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题：证明题；综合题。 分析：（）救出函数的导数，再利用f（1）=0 以及f / （1）=2 建立方程组，联解可得a，b 的值； （）转化为证明函数 y=f（x）（2x2）的最大值不超过 0，用导数工具讨论单调性， 可得此函数的最大值 解答：解： （） ， 由已知条件得： ，即 解之得：a=1，b=3 （）f（x）的定义域为（0，+），由（）知f（x）=xx 2 +3lnx， 设g（x）=f（x）（2x2）=2xx 2 +3lnx，则 = 当时0x1，g / （x）0；当x1 时，g / （x）0 所以在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减 g（x）在x=1 处取得最大值g（1）=0 即当x0 时，函数g（x）0 f（x）2x2 在（0，+）上恒成立 点评：本题着重考查导数的几何意义，以及利用导数讨论函数的单调性，求函数的最值，是 一道常见的函数题 21、（201161辽宁）如图，已知椭圆C 1 的中心在原点O，长轴左、右端点M，N 在x 轴上椭 圆C 2 的短轴为MN，且C 1 ，C 2 的离心率都为e直线lMNl 与C 1 交于两点，与 C 2 交于 两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D （）e= ，求|BC|与|AD|的比值； （）当e 变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 考点：圆锥曲线的综合。 专题：计算题；综合题。 分析：（）先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线l 联立求出A、B 的坐标，再 利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长，即可求|BC|与|AD|的比值； （）BDAN，即是 BO 的斜率 k BO 与 AN 的斜率k AN 相等，利用斜率相等得到关于 t 和 a 以及e 的等式，再利用|t|a 和0e1 就可求出何时BDAN 解答：解：（I）因为C 1 ，C 2 的离心率相同， 故依题意可设 ， 设直线l：x=t（|t|a），分别与C 1 ，C 2 的方程联立， 求得 ， （4 分） 当 ， ，分别用y A ，y B 表示的A，B 的纵坐标， 可知 （6 分） （）t=0 时的l 不符合题意，t0 时， BOAN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等， 即 解得 因为|t|a，又0e1，所以 ，解得 所以当 时，不存在直线l，使得BOAN； 当 时，存在直线l，使得BOAN 点评：本题考查椭圆的有关知识在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆方程 用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化 22、（201161辽宁）如图，A、B、C、D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED （）证明：CDAB； （）延长CD 到F，延长DC 到G，使得EF=EH，证明：A、B、G、F 四点共圆 考点：圆内接多边形的性质与判定。 专题：证明题。 分析：（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形 的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两 直线平行，得到结论 （II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应 角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆 解答：解：（I）因为EC=ED， 所以EDC=ECD 因为A，B，C，D 四点在同一圆上， 所以EDC=EBA 故ECD=EBA， 所以CDAB （）由（I）知，AE=BE， 因为EF=EG，故EFD=EGC 从而FED=GEC 连接AF，BG， EFAEGB，故FAE=GBE 又CDAB，FAB=GBA， 所以AFG+GBA=180 故A，BG，F 四点共圆 点评：本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角 形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目 23、（201161辽宁）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1 的参数方程为 （ 为参 数），曲线 C 2 的参数方程为 （ab0， 为参数）在以 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=a 与C 1 ，C 2 各有一个交点当a=0 时，这两个交点 间的距离为2，当a= 时，这两个交点重合 （I）分别说明C 1 ，C 2 是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II）设当a= 时，l 与C 1 ，C 2 的交点分别为A 1 ，B 1 ，当a= 时，l