第二章-数学模型最新.ppt

控制工程基础第二章控制系统的数学模型 1 控制系统的数学模型 内容 2 1系统的微分方程2 2系统的传递函数2 3系统的传递函数方框图及其简化2 4反馈控制系统的传递函数2 5相似原理 本章基本要求 基本要求 1 了解动态微分方程建立的一般方法 2 熟记Laplace变换的基本定理 并掌握运用Laplace变换解微分方程的方法 3 熟悉典型信号的Laplace变换 掌握较复杂信号的分解技术 4 正确理解传递函数的定义 性质和意义 5 熟练掌握由系统的微分方程组建立动态结构图并通过等效变换计算系统传递函数的方法 引言 1 建立数学模型 把系统的物理特性表达为数学形式 定量描述系统的动态特性 揭示系统的结构参数与动态性能之间的关系 采用解析法和实验法 解析法即依据元件各变量所遵循的物理 化学定律 列写变量间的数学关系式 建立数学模型 本课程着重于经典控制论范畴 主要的研究对象是线性系统 在时域中用线性微分方程描述系统的动态特性 在复数域或频域中 用传递函数或频率特性来描述系统的动态特性 引言 2 一般的 表达系统输入x t 与输出y t 之间的动态关系的微分方程为 当出现如下情况则为非线性方程系数依赖输入输出或其导数 如 出现时间t的其他函数形式 如 出现常数项 如 引言 3 线性系统 系统的数学模型由线性微分方程描述 线性定常系统 用线性常微分方程描述的系统 线性时变系统 描述系统的线性微分方程的系数为时间的函数 线性系统满足叠加原理 即 引言 4 叠加原理说明 对于线性系统 一个输入的存在不会影响由这个输入引起的输出 因此 分析各个输入作用在线性系统上引起的输出时 可以先分析单个输入产生的输出 再叠加这些输出 可以用来分析系统存在输入和扰动的情况 分别分析输入和扰动引起的输出 再叠加系统的输出 2 1系统的微分方程及其列写 1 一 列写微分方程的一般方法1 确定系统和各元件的输入输出变量 2 从输入端开始 按照信号传递顺序 依据各变量遵循的物理 化学定律 列写运动过程中的动态方程 一般为微分方程组 3 消去中间变量 得到输入输出微分方程 4 标准化 将与输入有关的各项放在等号右侧 与输出有关的各项放在等号的左侧 并按变量降幂排列 2 1系统的微分方程及其列写 2 二 示例电系统 R L C串联电路机械系统 机械平移系统机电系统 直流调速控制系统 R L C串联电路示意图 由电阻R 电感L 电容C组成的R L C电路 输入量为ur t 输出量为uc t 求该电路的微分方程 数学模型 R L C串联电路的数学模型 1 确定输入输出 输入ur t 输出uc t 中间变量i 2 根据基尔霍夫定律 3 消去中间变量 4 标准化 此即R L C电路的数学模型 输入 输出模型 它描述了输入ur t 和输出uC t 之间的动态关系 机械平移系统示意图 由弹簧 质量 阻尼器组成的机械平移系统 外力f t 为输入信号 位移y t 为输出信号 列写其运动方程式 k 弹簧的弹性系数 m 运动部件的质量 阻尼器的粘性摩擦系数 机械平移系统的特点 在机械系统中 通常研究力 或转矩 与位移 或角位移 的因果关系 组成机械系统的基本元件有 弹簧 或弹性轴 阻尼器和运动部件 阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置 所产生的阻力与运动速度成正比 阻尼器不储存能量 它将动能转化为热能消耗掉 机械平移系统的基本关系 假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计 运动部件的质量是集中参数 设弹簧的变形在弹性范围内 则弹性力为 阻尼器的阻尼力为 机械平移系统的数学模型 输入f t 输出y t 根据牛顿定律 消去中间变量f1 t f2 t 标准化 此即机械平移系统以外力f t 为输入信号 位移y t 为输出信号的运动方程式 即数学模型 直流调速控制系统示意图 直流调速控制系统微分方程列写 1 给定输入ur 输出 系统原理图 直流调速控制系统微分方程列写 2 1 比较器2 放大器 直流调速控制系统微分方程列写 3 3 直流电机 ed 给定输入 电枢电压ua输出 电动机转速 扰动输入 负载转矩ML电枢电感La 电枢电阻Ra电枢电流ia 电枢反电势ed电磁力矩MD恒定的激磁电流If 直流调速控制系统微分方程列写 4 根据电机中的电磁变化规律与机械运动规律 电压平衡方程 转矩平衡方程 另有 电磁转矩关系 反电势关系 J为电枢转动惯量 直流调速控制系统微分方程列写 5 四个方程联立 消去中间变量ed MD ia 则 上式取 电动机的电磁时间常数 s 电动机的机电时间常数 s 直流调速控制系统微分方程列写 6 同时忽略La 很小 并且扰动输入ML 0 则微分方程为 直流调速控制系统微分方程列写 7 4 测速发电机输出电压正比于直流电机转子角速度 有 直流调速控制系统微分方程列写 8 得到该负反馈系统的微分方程组 直流调速控制系统微分方程列写 9 消去中间变量e ua u 得到 2 1系统微分方程及其列写 3 三 系统元件间的负载效应对于由两个物理元件组成的系统而言 若其中一个元件的存在使另一个元件在相同输入下的输出受到影响 则有如对后者增加了负载 称为负载效应 这类系统的微分方程必须考虑元件间的负载效应 2 1系统微分方程及其列写 4 示例一 形式相同的RC电路串联的滤波网络 系统的输入Ur t 输出Uc t 微分方程为 2 1系统微分方程及其列写 6 消去中间变量i1 i2令得到 2 1系统微分方程及其列写 7 若忽略负载效应 孤立写出两个串联环节的动力学方程前一环节后一环节 2 1系统微分方程及其列写 8 消去中间变量 得到未考虑i2对C1的影响 显然是错误的 2 1系统微分方程及其列写 9 示例二 系统输入f t 输出y1 t 微分方程为 2 1系统微分方程及其列写 10 消去中间变量y2 2 1系统微分方程及其列写 11 若不计负载效应 显然是错误的 四 变量形式选择1 以实际值作为变量2 以坐标增量作为变量3 以无量纲坐标作为变量 2 1系统微分方程及其列写 12 2 1系统微分方程及其列写 13 五 非线性微分方程的线性化概念实际系统非线性元件的存在 严格按照这些关系建立的微分方程必然是非线性微分方程 在实际中常将非线性问题在允许的范围内转化成线性问题 2 1系统微分方程及其列写 14 方法 小偏差法 设输入输出特性为y f x 平衡位置坐标为 x0 y0 瞬态位置坐标为 x y 且x x0 x y y0 y 1 将y f x 在平衡工作点 x0 y0 附近按泰勒级数展开 2 1系统微分方程及其列写 15 2 忽略 x的高次项3 以变量形式代替增量形式 2 1系统微分方程及其列写 16 说明 1 适用于非本质非线性特性 即可在平衡点附近求导 2 输入输出在平衡点附近做小范围变化的假设下进行线性化3 通常所列方程为增量方程 即应该