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找规律题的解题方法（绝密）题型分类：规律题一般分为以下几种类型：第一类是纯文字型题；第二类是数字型题；第三类是几何图形题；第四类是数字与图形结合型题；第五类是杂题型。纯文字型题：例题：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？分析：在此题中，变化的量有以下几个：操作的次数，即取球的次数；取出的球数；每次取出球以后，盒中剩余的球数；每次放回的球数盒中每次增加的球数；每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律： 操作次数 1 2 3 10 取出球数 1 2 3 10 盒中剩球数 0 2 7 A 放回的球数 4 8 12 B 盒中增加球数 3 6 9 C 总 球 数 4 10 19 D在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31 1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。例题：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；，A9与A10握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。例题:(2005年连云港)右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，依此类推。则第10圈的长为 。解析：我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+1079。例题:（2011广西）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是（） A.升 B.升 C.升 D.升 解析：答案是D。例题:(2005年重庆市)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是 。解析：（3，4）。例题：（2011山东滨州、2005河北）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了。如计算89时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则89=107+2=72，那么在计算67时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）。A.1，2 B.1，3 .C.4，2 D.4，3解析：答案是A。例题：（2005河北）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面的运算就改用手势了。下面两个图框是用法国“小九九”计算78和89的两个示例若用法国“小九九” 计算79，左、右手依次伸出手指的个数是（） A2，3 B3，3 C2，4 D3，4 解析：答案是C。例题：（2011娄底）如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为（ ） A.150cmB.104.5cm C.102.8cmD.102cm解析：（1）根据已知可得两节链条的长度为：2.520.8，3节链条的长度为：2.530.82，以及60节链条的长度为：2.5600.859，得出答案即可。（2）根据图形可得出：两节链条的长度为：2.520.8，3节链条的长度为：2.530.82，4节链条的长度为：2.540.83，所以，60节链条的长度为：2.5600.859=102.8，故选：C点评：此题主要考查了图形的变化类，根据题意得出60节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键图形中图的规律型题：数表型题：（1）先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律。（2）看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差。数字型题：一、什么是数列？二、解题基本方法1、仔细观察所有数字。一般找规律的题都和他的项数(就是他是第几个数有关)，你就先一个一个看，一般找倍数或者和平方数有关。我以前遇到的题什么1 3 8 15.或者2 5 10 17.还有什么1 3 7 15 31.这些看似都没什么关系，其实都是123456的平方，或者2的次方之类的，做多了就回有手感了，这是实话。2、看相邻数之间的关系，就是每个数之间是有关联的，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。比如第二个数是第一个数的多少多少倍或者多少多少次方呀再加减多少多少的。3、很多找规律的数都和2有关，尤其是2的几次方 然后加减什么数。4、空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的从两边同时推导找规律。5、找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。6、看增幅（1）如增幅相等（即为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28，求第n位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)66n- 2（2）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。基本思路是：1.求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2.求出第1位到第n位的总增幅；3.数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。例题：2、5、10、17，求第n位数。分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2(n-2)=2n-1，总增幅为：3+(2n-1)(n-1)2（n+1）(n-1)n2-1所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1例题：A：2、9、28、65.，增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18 ，答案与3有关且是n的3次幂，即：n3+1。B：2、4、8、16.，增幅是2、4、8. .，答案与2的乘方有关，即：2n。此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。（3）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9、17增幅为1、2、4、8。（4）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。三、基本技巧（一）标出序列号，看数字和自然数列的关系找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包含序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。如：数 列 1，4，9，16，.序列号 1，2，3，4，.显然是a(n)=n2例题：观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第100个数是。解析：解答该题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：数 列：0，3，8，15，24，。序列号：1，2，3， 4， 5，。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。例题：一张长方形桌子可坐6人，按下列方式讲桌子拼在一起。 2张桌子拼在一起可坐_人。3张桌子拼在一起可坐_人，n张桌子拼在一起可坐_人。 一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐_人。 若在中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐_人。解析： 8；10； 112； 100。例题：下图(1)表示1张餐桌和6张椅子(每个小半圆代表1张椅子)，若按这种方式摆放20张餐桌需要的椅子张数是。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。（二）公因式法每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3，或2n、3n，或n、2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（），（），的第n个为 (2n-1) 2 1，2，3，4，5，从中可以看出n=2时，正好是22-1的平方。n=3时，正好是23-1的平方，以此类推。（三）对比前后数字差、和例如：1，1，2，3，5，8，.。显然是前两个之和等于第三个，a(n)=a(n-2)+a(n-1)，（n3）。（斐波那契数列）。再如：1，2，4，7，11，16.。是前一项加自然数列等于后一项。a(n)=a(n-1)+(n-1)，(n2)。再如：3，4，6，9，13.3，4，6，9，14.你看看这两个数列再往下怎么写？第一个是：加自然数列；第二个是前两项相加-1。所以往下写为：3，4，6，9，13，18，24.3，4，6，9，14，22，35.（四）建立新数列，看与位置的关系有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系，再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例如：2、5、10、17、26，同时减去2后得到下面新数列0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出，当n=1时，得12-1得0，当n=2时，22-1得3，32-1=8，以此类推，可得新数列的第n个数为n2-1。因为新数列由原数列同时减2得到，故在n2-1的基础上加2，得到原数列的第n项为：（n2-1）+2n2+1。（五）建立新数列，找规律有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例如： 4，16，36，64，？，144，196， ？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方，得到新数列的第n项为n2，新数列是原数列同除以4得到的，所以求出新数列n的公式后再乘以4，即4n2，则可求出原数列第一百个数为41002=40000。（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加或减的可能性大一些，同时乘或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。例如：1，1，3，4，5，9，7，16.叉开看就是：1，3，5，7和1，4，9，16单数为奇数列，偶数是自然数平方。例题：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着写出后面的3个数。你能说出第100个数、第2004个数、第10000个数吗？ 2，-2，2，-2，2，-2， -1，3，-5，7，-9，11， - ，- ，- 解析： 容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。 容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）N来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）N（2N-1）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。 容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）N来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1）N ，故，接下来的三个数为 - ，。第100个数为 ，第2004个数为 ，第10000个数为 。 说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。四、基本步骤1. 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。2. 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律。3. 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六）变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律。4. 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题。五、数字推理基本类型按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：1. 和差关系。又分为等差、移动求和或移动求差两种。(1) 等差关系。相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式： 自然数数列：1，2，3，4，5，6偶 数 数列：2，4，6，8，10，12奇 数 数列：1，3，5，7，9，11，13例题：103，81，59，( )，15。 A.68 B.42 C.37 D.39解析：这显然是一个等差数列，前后项的差为22。答案为C。例题：2，5，8，( )。 A.10 B.11 C.12 D.13解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即8 +3=11，第四项应该是11，即答案为B。例题：123，456，789，( )。 A.1122 B.101112 C.11112 D.100112解析：这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789，三项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789+333=1122。注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从123，456，789这一排列，便选择101112，肯定不对。答案为A。例题：11，17，23，( )，35。 A.25 B.27 C.29 D.31解析：这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。答案为C。例题：12，15，18，( )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23解析：这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即18+ 3=21，或24-3=21，由此可知第四项应该是21。答案为B。例题：小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是 。 6 4 3 2 -1 0 1 2 4 5 解析：该题为两个自然数列，自然数列是等差数列。答案应该是-6。例题：仔细观察下列图形.当梯形的个数是n时，图形的周长是 . 1 1 1 2 解析：计算图形周长，内部的线段不计算在内. 观察增加规律，每次左右两边无变化，上下底每次增加的和为3. 是一个以5为首项，以3为公差的等差数列. 答案应该是。例题：用火柴棒按如下方式搭三角形，照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要_根火柴棒。解析： 是一个以3为首项，以2为公差的等差数列. 答案应该是。例题：（2011深圳市）如图6，这是边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，第n个图形的周长为 。解析：答案是。例题：（2011临沂）各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形则在第10个这样的图形中共有个等腰梯形。解析：答案是100。例题：2，6，12，20，30，( ) (2002年考题) A.38 B.42 C.48 D.56解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10，这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该选B。这种数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。例题：2，5，11，20，32，( ) (2002年考题) A.43 B.45 C.47 D.49解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12，这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。例题：32，27，23，20，18，( ) (2002年考题) A.14，B.15，C.16，D.17解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5，-4，-3，-2，显然是一个等差数列，因而要选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。例题：-2，1，7，16，( )，43 A.25 B.28 C.3l D.35解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。例题：12，20，30，42，( 56 )例题：127，112，97，82，( 67 ) (2) 移动求和或求差关系。例题：1，1，2，3，5，( )。 A.8 B.7 C.9 D.10解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，即n1+n2=n3，按此规律3+5=8，答案为A。例题：1，2，3，5，( )，13 A.9 B.11 C.8 D.7解析：1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=13，选C。例题：4，5，( )，14，23，37 A.6 B.7 C.8 D.9解析：选D。例题：（2007年陕西）小说达芬奇密码中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，则这列数的第8个数是 解析：答案是21。例题：观察下列各式：0，x1，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，。试按此规律写出的第10个式子是 。（2006年汉川市）解析：该题包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，。从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。所以，原数列第10项是34x9。例题：0，1，1，2，4，7，13，( ) A.22 B.23 C.24 D.25解析：注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。选C。例题：22，35，56，90，( ) （99年考题） A.162 B.156 C.148 D.145解析：22 +35-1=56，35+ 56-1=90，56+ 90-1=145，答案为D。例题：5，3，2，1，1，( ) A.-3 B.-2 C.0 D.2解析：前两项相减得到第三项，即n1-n2=n3。选C。例题：6，3，3，( )，3，-3 A.0 B.1 C.2 D.3解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3，答案是A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”)。例题：( )，36，19，10，5，2 (2003年考题) A.77 B.69 C.54 D.48解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5，9，17，这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是172-1=33，因而33+36=69，答案应该是 B。2. 乘除关系。又分为等比、移动求积或移动求商(1) 等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。例题：2，1，1/2，( )。 A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面相邻数字之间的比值等于一个常数。题中第二个数字为1，第一个数字为2，两者的比值为1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即(1/2)/2，第四项应该是1/4，即答案为B。例题：2，8，32，128，( )。 A.256 B.342 C.512 D.1024解析：这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。答案为C。例题：2，-4，8，-16，( )。 A.32 B.64 C.-32 D.-64解析：这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。答案为A。例题：阅读下列一段话，并解决后面的问题： 观察下面一列数：1，2，4，8， 可以发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2。一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。（1）等比数列5，-15，45， 的第4项是_。（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，它的第1项与第4项分别为_和_。例题：8，12，18，27，( ) 解析：后项与前项之比为1.5。答案是40.5。例题：你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。这样捏合到第 次后可拉出64根细面条。第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合解析：是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，第项为。例题：（2011贵州省）观察下列算式：，根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是（ ） A.2 B.4 C.8 D.6解析：得数为等比数列。次幂为自然数列。答案是B。例题：（2011铜仁）观察一列单项式：， 根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第个单项式为 。解析：（或）；.例题：6，6，9，18，45，( ) 解析：后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3。答案是135。例题：4，5，7，11，19，( ) (2002年考题) A.27 B.31 C.35 D.41解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8，这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。这种数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。例题：3，4，7，16，( ) (2002年考题) A.23 B.27 C.39 D.43解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9，显然是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。例题：1，3，7，15，31，( ) (2003年考题) A.61 B.62 C.63 D.64解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，4，8，16，显然是一个等比数列，因而要选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C。例题：1，3，18，216，( ) A.1023 B.1892 C.243 D.5184解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3，6，12，显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D：21624=5184。例题：102，96，108，84，132，（ ），（ ）， (2006年考)解析：后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面的数应为-96，132-96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。(2) 移动求积或商关系。例题：2，5，10，50，( )解析：从第三项起，第三项为前两项之积。答案是500。例题：1，2，2，4，8，32，( )解析：前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。例题：1，7，8，57，( )，解析：第三项为前两项之积加1。答案为457。例题：3，4，6，12，36，( )，解析：从第三项起，第三项为前两项之积除以2。答案为216。例题：100，50，2，25，(2/25)解析：从第三项起，第三项为前两项之商。例题：2，12，36，80，( ) (2007年考题) A.100 B.125 C.150 D.175解析：21， 34 ，49，516 自然下一项应该为625150，选C，此题还可以变形为：，.,以此类推，得出例题：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，( ) (99年考题) A.1/6 B.2/9 C.4/3 D.4/9解析：3/22/3=1，2/33/4=1/2，3/41/3=1/4，1/33/8=1/8，3/8?=1/16，答案是A。备注：两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。3. 平方关系数列（1）完全平方数列：正序：1，4，9，16，25，(36)，49， 为位置数的平方。逆序：100，( 81 )，64，49，36， 为位置数的平方。例题：1，2，6，15，31，( ) (2003年考题) A.53 B.56 C.62 D.87 解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。（2）一个数的平方是第二个数例题：2，4，16，( )，解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。（3）一个数的平方加减一个数等于第二个数例题：66，83，102，123，( ) ，。解析：66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加2。答案为146。例题：1，2，5，26，( )，。 解析：前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。（4）加减一个常数归成完全平方数列，也叫隐含完全平方数列例题：0，3，8，15，24，( )解析：每一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35。（5）相隔加减，得到一个平方数列例题：65，35，17，( )，1 A.15 B.13 C.9 D.3解析：不难感觉到隐含一个平方数列。思考发现规律是：65=82+1，35=62-1，17=42+1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。例题：1，4，16，49，121，( )。 (2005年考题) A.256 B.225 C.196 D.169解析：从数字中可以看出12，22，42，72，112，正好是1，2，4，7，11.。，可以看出后项减前项正好是1，2，3，4，5，。，从中可以看出应为11+5=16，162是256，所以选A。例题：2，3，10，15，26，( )。 (2005年考题) A.29 B.32 C.35 D.37解析：看数列为2=12+1，3=22-1，10=32+1，15=42-1，26=52+1，再观察时发现：位置数奇时都是加1，位置数偶时都是减1，因而下一个数应该是6的平方减1=35，前n项代数式为：n2-(-1)n，所以答案是C.35。例题：1，3，6，10，15，( ) A.20 B.21 C.30 D.25解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=22，6+10=16=42，则15+？=36=62呢，答案应该是B。例题：按一定的规律排列的一列数依次为：-2，5，-10，17，-26，按此规律排下去，这列数中的第9个数是 。解析：答案是-82。4. 立方关系数列例题：1，8，27，64，( )， 解析：位置数的立方。数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为53，为125。例题：3，10，29，( )，127解析：位置数的立方加 2。答案是66。例题：0，7，26，63，( )解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为53-1，为124。例题：0，1，2，9，( )解析：后项为前项的立方加1。答案是730。例题：-2，-8，0，64，( )。 (2006年考题) A.64 B.128 C.156 D 250解析：从数列中可以看出，-2，-8，0，64都是某一个数的立方关系，-2=(1-3)13，-8=(2-3) 23，0=(3-3)33，64=（4-3）X43，前n项代数式为：，因此最后一项应该为(5-3)53250，选D。例题：0，9，26，65，124，( ) (2007年考题)解析：前五项分别为1，2，3，4，5的立方加1或者减1，规律为位置数是偶数的加1，则奇数减1。即：前n项=n3+ (-1)n。答案为239。在近几年的考试中，也出现了n次幂的形式例题：1，32，81，64，25，( )，1。(2006年考题) A.5 B.6 C.10 D.12解析：逐项拆解容易发现1=16，32=25，81=34，64=43，25=52，则答案已经很明显了，6的1次幂，即6 选B。例题：（2011浙江省）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ） A.28 B.56 C.60 D. 124 解析：数列为1，3，7，15，后项减前项，变为2，4，8，新数列既可以看成是等比数列（比值为2），也可以看成是2n数列，根据题目情况，2n数列更符合变化规律，新数列减1还原为原数列，即2n -1。则第6项为26 -1=63，所以，A6比A2多出“树枝”63-3=60。答案是C。例题：（2011四川省内江市） 25、在直角坐标系中，正方形、按如图所示的方式放置，其中点、均在一次函数的图象上，点、均在x轴上。若点的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2），则点的坐标为_。解析：答案是。例题：你能比较20052006和20062005的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和(n+1)n的大小（n为正整数）,我们从n=1,n=2,n=3这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论。（1）通过计算，比较下列各组数字大小 12_22 23_32 34_43 45_54 54_65 67_76（2）把第（1）题的结果经过归纳，你能得出什么结论？你能用只含有一个字母的式子表示吗？（3）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小（1分）20052006_20062005（填”,”, “=”）5. 分数数列关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案。例题：，( ) 解析：分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为：，答案为。例题：2/3，1/2，2/5，1/3，2/7 ，( )解析：将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得如下数列：2/3，2/4，2/5，2/6，2/7，2/8，.可知下一个为2/9，如果求第n项代数式，即：，分解后得：。答案为1/4。例题：(2005年福州市)瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是 。解析：数列的分子分别为3，4，5的平方数，而分母比分子分别小4，则第7个数的分子为81，分母为77，故这列数的第7个为。例题：(2005年威海市)一组按规律排列的数：，请你推断第9个数是 。解析：数列的分母为2，3，4，5，6的平方数，分子形成而二阶等差数列，依次相差2，4，6，8，故第9个数为1+2+4+6+8+10+12+14+1673，分母为100，故答案为。例题：按一定规律排列的一串数：中，第98个数是_。解析：符号规律、分子规律、分母规律。答案为。例题：观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：1， ，解析：答案是。例题：（2011湖南常德，）先找规律，再填数：解析：答案是。例题：一组按规律排列的式子：，（），其中第7个式子是 ，第个式子是 （为正整数）。解析：答案是。例题：定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数如：2的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则 。解析：答案是。例题：（2009白银市）若，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小解析：学生可能写出不同程度的一般的结论，由一般化程度不同得不同分若m、n是任意正整数，且mn，则若m、n是任意正实数，且mn，则若m、n、r是任意正整数，且mn；或m、n是任意正整数，r是任意正实数，且mn，观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论则若m、n是任意正实数，r是任意正整数，且mn；或m、n、r是任意正实数，且mn，则。6. 质数数列例题：2，3，5，( )，11 解析：质数数列，答案是7。例题：4，6，10，14，22，( ) 解析：每项除以2得到质数数列，答案是26。例题：20，22，25，30，37，( ) 解析：后项与前项相减得质数数列。答案是48。例题：3，4，7，12，( )，28解析：后项与前项相减得质数数列。答案是19。例题：20，22，25，30，37，( ) (2002年考题) A.39 B.45 C.48 D.51解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C。这种指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。7. 双重数列。 分为三种：(1) 每两项为一组，如例题：1，3，3，9，5，15，7，( )解析：第一与第二，第三与第四等每两项中后项与前项之比为3。答案是21。例题：2，5，7，10，9，12，10，( ) 解析：每两项中后项减前项之差为3。答案是13。例题：1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，( )解析：两项为一组，每组的后项等于前项倒数2。答案是104。(2) 两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。例题：22，39，25，38，31，37，40，36，( ) 解析：由两个数列22，25，31，40，( ) 和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。答案是52。例题：34，36，35，35，(36)，34，37，( ) 解析：由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减。答案是33。(3) 数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。例题：2.01，4.03，8.04，16.07，( ) 解析：整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。答案是32.11。例题：(2005年长春市)按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），第5个数对是 。解析：有序数对的前一个数比后一个数小1，而每一个有序数对的第一个数形成等差数数列，1，4，7，故第5个数为13，故第5个有序数对为（13，14）。双重数列难题较少，能看出是双重数列，题目一般已经解出。特别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。8. 组合数列。 最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。例题：1，1，3，7，17，41，( )