13.4课题学习 最短路径问题.doc

13.4.最短路径问题侯口中学 张红菊一、内容和内容解析 1内容 利用轴对称研究某些最短路径问题2内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的两个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析 1.目标： （1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟应用转化思想 2. 目标解析达成目标（1）的标志是： 学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将不共线的点线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称，将不共线的点线转化到一条直线上，体会轴对称、“桥梁”作用，感悟转化思想三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路教学时教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用教师可作适时的点拨，让学生体会“任意”的作用.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、将最短路径问题转化为线段和最小问题五、教学过程设计：活动设计学生活动设计意图感受情景，抛出问题.一位将军要从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？1、 感受情景，激发学习热情.2、问题思考 利用问题情景，从学生熟悉的生活 情景中抛出数学问题，既增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.同时也体现了数学与生活的联系.活动一、抽象问题提问:1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？2.请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题._l_A_B明确：（1）将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线（2）点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.学生通过观察分析，体会实际问题数学化的过程，同时也培养学生的模型思想.l活动二：自主探究_l_A_B_C问题1 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 如果学生有困难，适时提示：_l_A_B（1） 如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B处，且满足直线l上的 任意一点C，都能保持CB = C B吗?_B_A_B_C（3）此时，点B与点B有怎样的位置关系？ l1、学生独立思考，画图分析，并尝试回答2、学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充.1、设计异侧问题，为进一步探究同侧问题作铺垫，通过搭建台阶，为学生探究问题提供方向，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。2、追问找点的过程，让学生在反思中体会轴对称的作用3、在小组合作学习中学生找到解决问题的方法，意在体现学生的合作意识.活动三：问题解决1、作法：（1）作点B关于直线l的对称点B.(2) 连接AB，与直线l相交于点C.则点C即为所求.1、学生动手作图，并说明作图方法.2、比较不同作法.帮助学生比较，判断不同作法的合理性，让学生真正理解解决问题的方法.活动四：证明最短_C_B_A_B_C问：你能证明AC +BC最短吗？l证明：在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短追问：证明AC +BC最短时，为什么要在直线上任取一点C（与点C 不重合）呢？ 师生共同分析然后学生说明证明过程，教师板书 几何证明让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力练习：如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山河岸大桥让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法. 反思小结1.