数学人教版八年级上册含图形变换的全等探究.doc

含图形变换的几何综合题探究（全等）一、复习回顾1如图1，在ABC中，BAC=90，D是BC的中点，若C=，则ADB=_2如图2，在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中点，则AD的取值范围为_例：已知：在中，在中，连接，取的中点，连接和（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图，探索、的关系并给予证明；（2）如果将图中的绕点逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明解：（1）与的关系是：，理由如下： ，即：，（2）解法一：（中线倍长法）延长至，使得，连接，延长交于 又又解法二：（构造中位线法）取的中点，取的中点，连接，是的中位线，是的中位线，又又 即解法三：（旋转法）连接，将绕点逆时针旋转至，则点旋转至点，点 旋转至点，则 ， 又 ，三点共线是的中点 练习1已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明解：(2)图2的结论为：CFOEAE.图3的结论为：CFOEAE.选图2的结论证明如下：延长EO交CF于点G.AEBP，CFBP，AECF.EAOGCO.EOAGOC，OAOC，EOAGOC.EOGO，AECG.在RtEFG中，EOGO，OEOFGO.OFE30 ，OFG90 30 60 ，OFG是等边三角形OFFG.OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE.选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G.AEBP，CFBP，AECF.AEOG.AOECOG，OAOC，AOECOG.OEOG，AECG.在RtEFG中，OEOG，OEOFOG.OFE30 ，OFG90 30 60 .OFG是等边三角形，OFFG.OEOF，OEFG.CFFGCG，CFOEAE.2如图1，ABC与CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；(2)现将图1中的CDE绕着点C顺时针旋转(090)，得到图2，AE与MP，BD分别交于点G，H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；解：(1)PMPN，PMPN.(2)成立，证明如下：ACB和ECD是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90 .ACBBCEECDBCE，即ACEBCD.ACEBCD(SAS)AEBD，CAECBD.又AOCBOE，BHOACO90 .点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点，PMBD，PMBD，PNAE，PNAE.PMPN，MGEMPN，MGEBHA180 .又BHA90 ，MGE90 .MPN90 .PMPN.(1)中的结论成立3如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由（1）证明：如图1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM点M为DE的中点，DM=EM在ADM和NEM中，MADMNE，ADMNEM，DMEM，ADMNEM，AM=MNM为AN的中点（2）证明：如图2，BAD和BCE均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAENEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三点在同一直线上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABNE，ABCNEC，BCEC，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形（3）ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上ADEN，DAB=90，ENA=DAN=90BCE=90，CBNCEN=3609090=180A、B、N三点在同一条直线上，ABCCBN=180ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABNE，ABCNEC，BCEC，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形4已知ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BDm于D，MEm于E，CFm于F（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明（1）如图1，MEm于E，CFm于F，MECFM为BC的中点，E为BF中点，ME是BFC的中位线，EM=CF（2）图2的结论为ME=（BDCF），图3的结论为ME=（CFBD）图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K，又BDm，CFm，BDCF，DBM=KCM在DBM和KCM中，DBMKCM，BMCM，BMDKMC，DBMKCM（ASA），DB=CK，DM=MK，由题意知EM=FK，ME=（CFCK）=（CFD