放缩法在不等式的应用.doc

生涯教育 高二数学放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。例2. 已知a、b、c不全为零，求证：二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4. 已知nN*，求。例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。例6 设数列满足 （）证明对一切正整数成立；（）令，判定与的大小，（04年重庆卷理科第（22）题）四. 利用重要不等式放缩1.均值不等式 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例7 设求证例8已知为正数，且，试证：对每一个，.（88年全国联赛题）2利用有用结论例9 求证 例10 已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题） 例11 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）例12 已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：求证（05年湖北卷第（22）题） 例13 设，求证：数列单调递增且 例14 设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题） 五 利用单调性放缩1、构造数列 如对上述例7，令则，递减，有，故 再如例9，令则，即递增，有，得证！2构造函数 例15 已知函数的最大值不大于，又当时（）求的值；（）设，证明（04年辽宁卷第21题）例16 数列由下列条件确定：，（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题） 六 换元放缩 例17 求证 例18 设，求证.七 递推放缩 递推放缩的典型例子，可参考上述例14中利用部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明，同理例11中所得和、例12中、 例13（）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。八 分项讨论 例19 已知数列的前项和满足 （）写出数列的前3项；（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有（04年全国卷）详细解析过程例1. 证明：由题设得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 证明：因为，同理，。所以例3. 证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为真分数，则，同理，故.综合得。例4. 证明：因为,则，证毕。例5. 证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。例6 简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；法2 则.例7解析 此数列的通项为，即 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例8简析 由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.例9 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质可得 即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得 注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 例10 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式 的简捷证法：而由不等式得(时取等号) （），得证！例11 解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例12 简析 当时，即 于是当时有 注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩； 引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。例13 解析 引入一个结论：若则（证略）整理上式得（）以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。例14 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论例15 解析 （）=1 ；（）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例16 解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。例17简析 令，这里则有，从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起