数学人教版八年级上册造桥选址问题的拓展.ppt

新洲区第一初级中学 石国清 最短路径问题 造桥选址问题 如图 A和B两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥MN 桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 思维分析 1 如图假定任选位置造桥 连接 和 从A到B的路径是AM MN BN 那么怎样确定什么情况下最短呢 2 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢 我们能否在不改变AM MN BN的前提下把桥转化到一侧呢 什么图形变换能帮助我们呢 思维火花 各抒己见 1 把A平移到岸边 2 把B平移到岸边 3 把桥平移到和A相连 4 把桥平移到和B相连 古有愚公移山 今有学子搬桥 呵呵 上述方法都能做到使AM MN BN不变呢 请检验 合作与交流 1 2两种方法改变了 怎样调整呢 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢 问题解决 A1 M N 如图 平移A到A1 使 A1等于河宽 连接A1 交河岸于 作桥 此时路径 最短 理由 另任作桥 连接 由平移性质可知 AM MN BN转化为 而 转化为 在 中 由线段公理知A1N1 BN1 A1B 因此 AM MN BN 问题延伸一 如图 A和B两地之间有两条河 现要在两条河上各造一座桥MN和PQ 桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河岸垂直 思维分析 如图 问题中所走总路径是AM MN NP PQ 桥MN和PQ在中间 且方向不能改变 仍无法直接利用 两点之间 线段最短 解决问题 只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长 平移的方法有三种 两个桥长都平移到A点处 都平移到B点处 MN平移到A点处 PQ平移到B点处 思维方法一 1 沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1 MN 此时问题转化为问题基本题型两点 A1 B点 和一条河建桥 PQ 2 利用基本问题的解决方法确定桥PQ 1 在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2 使A1A2 PQ 2 连接A2B交A2的对岸Q点 在点处建桥PQ 3 确定PQ的位置 也确定了BQ和PQ 此时问题可转化为由A点 P点和第一条河确定桥MN的位置 连接A1P交 的对岸于 点 在 点处建桥 问题解决 沿垂直于河岸方向依次把 点 使 连接 交于 点相邻河岸于 点 建桥 连接 交 的对岸于 点 建桥 从 点到 点的最短路径为 M MN 思维方法二 沿垂直于第一条河岸方向平移 点至 点 沿垂直于第二条河岸方向平移 点至 点 连接A1B1分别交A B的对岸于N P两点 建桥MN和PQ 最短路径AM MN NP PQ QB转化为AA1 A1B1 BB1 思维方法三 沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B B 使BB PQ B B MN 连接B A交于A点相邻河岸于M点 建桥MN 连接B N交B 的对岸于P点 建桥PQ 从 点到 点的最短路径为 M MN NP 转化为AB2 B2B1 B1B 问题延伸二 如图 A和B两地之间有三条河 现要在两条河上各造一座桥MN PQ和GH 桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河岸垂直 思维分析 如图 问题中所走总路径是AM MN NP PQ G GH HB 桥MN PQ和GH在中间 且方向不能改变 仍无法直接利用 两点之间 线段最短 解决问题 只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长 平移的方法有四种 三个桥长都平移到A点处 都平移到B点处 MN PQ平移到A点处 PQ GH平移到B点处 问题解决 沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A A A3 使AA MN A A PQ A2A3 GH 连接A3B交于B点相邻河岸于H点 建桥GH 连接A2G交第二河与G对岸的P点 建桥PQ 连接A1P交第一条河与A的对岸于N点 建桥MN 此时从A到B点路径最短 沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A A A3 使AA MN A A PQ A2A3 GH 连接A3B交于B点相邻河岸于H点 建桥GH 连接A2G交第二河与G对岸的P点 建桥PQ 连接A1P交第一条河与A的对岸于N点 建桥MN 此时从A到B点路径最短 问题解决 沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A 使AA MN 平移B点至B1 B2 使BB1 GH B1B2 PQ 连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点 交第二条河与N相邻河岸于P点 建桥MN PQ 连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点 建桥GH 此时从A到B点路径最短 问题解决 沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A A2 使AA MN 平移B点至B1 使BB1 GH 连接A B 交第三条河与 点相对河岸于 点 交第二条河与 相邻河岸于 点 建桥 PQ 连接 1 交第一条河与 相邻河岸的 点 建桥 此时从A到B点路径最短 问题解决 延伸小结 同样 当 两点之间有 条河时 我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题 例如 沿垂直于河岸方向平移 点依次至 3 An 平移距