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21 2 4一元二次方程的根与系数的关系 新乡县朗公庙镇赵堤中学张希昭 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式 x b2 4ac 0 算一算 1 x2 7x 12 0 2 x2 3x 4 0 3 2x2 3x 2 0 解下列方程并完成填空 3 4 12 7 1 3 4 4 1 2 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根是x1 x2 那么x1 x2 x1x2 韦达定理 注 能用根与系数的关系的前提条件为b2 4ac 0 韦达 1540 1603 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一 第一个引进系统的代数符号 并对方程论做了改进 他生于法国的普瓦图 年青时学习法律当过律师 后从事政治活动 当过议会的议员 在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码 韦达还致力于数学研究 第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数 未知数及其乘幂 带来了代数学理论研究的重大进步 韦达讨论了方程根的各种有理变换 发现了方程根与系数之间的关系 所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为 韦达定理 韦达在欧洲被尊称为 代数学之父 一元二次方程根与系数关系的证明 X1 x2 X1x2 如果方程x2 px q 0的两根是x1 x2 那么x1 x2 x1x2 P q 推论 解 我能行1 原方程可化为 二次项不是1 可以先把它化为1 原方程可化为 想一想 还有其他方法吗 还可以把代入方程的两边 求出 解 又 我能行2 解 我能行3 所求的方程是 解 我能行4 即 或 1 下列方程两根的和与两根的积各是多少 知识在于积累 开启智慧 知识在于积累 4 求一个一元二次方程 使它的两个根分别为 根与系数关系小结 1 已知方程的一个根求另一个根及未知数 也可以用根的定义求解 对于一元二次方程的两根 2 求关于两根的代数式的值 如 两根的平方和 两根的倒数和等 3 以x1 x2为根的一元二次方程x2 x1 x2 x x1x2 0 拓广探索 1 当k为何值时 方程2x2 k 1 x k 3 0的两根差为1 解 设方程两根分别为x1 x2 x1 x2 则x1 x2 1 x2 x1 2 x1 x2 2 4x1x2 由根与系数的关系得x1 x2 x1x2 解得k1 9 k2 3 当k 9或 3时 由于 0 k的值为9或 3 2 设x1 x2是方程x2 2 k 1 x k2 0的两个实数根 且x12 x22 4 求k的值 拓广探索 解 由方程有两个实数根 得 即 8k 4 0 由根与系数的关系得x1 x2 2 k 1 x1x2 k2 X12 x22 x1 x2 2 2x1x2 4 k 1 2 2k2 2k2
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