数学人教版九年级上册专题复习：《线段和差最值问题》.doc

线段和差最值问题教学设计谷城县石花镇第一中学 李绍平一、教学目标1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；2.训练学生运用以上基本策略和基本原理解决坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识相关的线段和差最值问题；3.通过解决问题培养学生转化问题的能力，以及及时总结反思的良好习惯.二、学情分析从心理特点来看，九年级的学生思想成熟,有想法,对直观事物的感知能力强,想象力丰富,正逐步从形象思维过渡到抽象思维.在知识储备上,他们已经完成第一轮复习，具备一定的解决问题的能力，可以主动参与、思考、交流.但由于学生归纳总结、综合实践能力不足,很难发现数学知识之间的联系,因此在解决实际问题时常常感到无处着手.所以,我们可以在教学过程中进行一些知识融合，使他们的分析问题、解决问题、总结反思等能力进一步提高.三、重点难点1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；2.综合运用所学知识解决线段和差最值问题；3.如何把线段和最小、线段差最大问题转化到同一直线上.四、教学过程（一）情景引入1.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 2.如图，若A地、B地在河的同侧牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 师生活动:情景引入1，问题简单，学生很快回答出来.在情景引入1的铺垫下，学生自然想到作对称点来解决情景引入2问题.设计意图: 教师通过改编后的“将军饮马问题” 引入，虽然有悖实际，但从理论上看，由易到难，能很好地服务于教学，让学生体会数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣，符合学生认知特点.（二）合作探究一 1.如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使点P到点B与点C的距离之和最小，求出点P的坐标 .方法归纳：求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”的解题方法：(1)作其中一点关于这条直线的对称点； (2)连接这个对称点与另一点与直线相交；(3)交点即为所求点，此线段长即为该最小距离. 2.变式如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使PAPC的值最大，求出点P的坐标 .方法归纳：求“直线上一点到这条直线异侧两点的距离差最大时”的解题方法：(1)作其中一点关于这条直线的对称点；(2)连接另一点与这个对称点并延长与直线相交；(3)交点即为所求点，此时两线段差即为该距离差的最大值. 师生活动:合作探究一的第1题是一种常见题型，学生独立思考后回答解题思路，并对求点P的坐标提出不同的方法.合作探究一的第2题是第1题变式，不常见，学生小组讨论交流后回答解题思路，总结解题方法.设计意图:让学生通过解决线段和最小、线段差最大问题，体会解决线段和差最值问题基本策略和基本原理.（三）合作探究二 1.如图，CF= BC，E是AB中点，在x轴 、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.方法归纳：求一个动点使线段和最小的问题，通常需要作一次对称；而求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称.2.拓展如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、CM.1 求证：AMBENB；2 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由. 方法归纳：求几条线段和最小的问题，通常是把这几条线段转移到同一条直线上去.师生活动:合作探究二的第1题，学生尝试回答解题思路，并相互补充，最后达成共识：求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称，将所求线段转移到同一条直线上去.合作探究二的第2题，是几条线段和最小的问题的拓展延伸，第的问有一定难度，若学生小组讨论交流后还存在困难，教师适当点拨:（1）由第（1）问的三角形全等可知线段 AM、EN有何数量关系？（2）由题目中的将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，联想到BMN是什么三角形？从而可知线段BM 、MN有何数量关系？（3）此时，AMBMCM就转化为ENMNCM，当M点在何处时，可使ENMNCM的值最小？师生共析，得出解题思路，总结解题方法。设计意图:通过解决合作探究二问题，拓展学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，感悟转化思想，丰富数学活动经验. （四）巩固练习1. 如图， 中， 且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为_.2. 如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最小值为_. 3. 如图,MN为O的直径， MN4， AMN 30,点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则 PAPB的最小值为_. 4.如图，AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q、R，则PQR周长的最小值为_. 5.设G为y轴上一点，点P从点M出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点 P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍（1）求 OMA的度数（2）试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）师生活动: 第（1）（4）题学生独立完成后回答，并相互补充. 第（5）题有一定难度，若学生存在困难，教师适当点拨.设计意图:让学生进一步巩固解决线段和差最值问题的基本策略和基本方法.（五）反思小结教师与学生一起回顾本节课的知识，并请学生回答以下问题：1. 本节课主要利用什么数学知识解决了哪类问题？ 2. 解决这类问题的基本方法是什么？在解决这类问题的过程中，主要用到了什么数学思想？设计意图:通过回顾本节课的知识，引导学生把握解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理，感悟转化思想的重要价值.（六）课后作业中考复习指南:P155 第5题；P152 第8题.设计意图:检查学生解决线段和差最值问题的能力.五、教学反思近几年来，线段和差最值问题常在中考题中出现，学生虽在八年级上册轴对称这一章的课题学习中学习过最短路径问题,但这类问题综合性较强,难度较大，学生常常无法找到解决问题的突破口.为了让学生掌握解决这类问题的基本策略、基本原理和基本思想，我在九年级下学期的第二轮复习中，对此进行了专题复习.在教学中,我通过改编后的“将军饮马问题” 引入，先设计了两点在一条直线异侧确定最短路径的问题,又变式为两点在一条直线同侧确定最短路径的问题，帮助学生回顾旧知识，明确解决问题的基本原理，从理论上看，由易到难，让学生体会到数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣，符合学生认知特点.接着，探究与坐标系、抛物线相关的线段和最小问题，再变式为求线段差最大问题，让学生初步体会解决线段和差最值问题基本策略. 然后, 探究求两个动点使线段和最小的问题，并适当拓展延伸，让学生感知到求几条线段和最小的问题，基本思想就是把这几条线段转移到同一条直线上去.既拓展了学生的思维，培养了学生分析问题、解决问题的能力，又让学生感悟到转化思想的重要价值，丰富了学生的数学活动经验.最后，通过一组练习，进一步训练学生运用以上基本策略和基本原理解决坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识相关的线段和差最值问题. 整个教学过程紧凑而不失活泼,注重以学生为主体，努力给学生营造民主、平等而又充满乐趣的课堂，充分让学生参与教学，在自主探究、合作交流的过程中，获得良好的情感体验.本节课在每一教学环节中，都能以老师为主导，学生为主体由浅入深的展开教学，并能及时总结方法，很好地将“线段和差最值问题”转化为“两点之间，线段最短”问题，扣住了重点又突破了难点，同时注重了数学思想方法的渗透，让学生既学会了方法，又提升了能力，充分体现了新课程标准的基本理念，让时间留给学生，让讲台留给学生，让发现留给学生，让学生真正成为课堂的主人. 俗话说“活到老学到老”，在以后的教学中我还要努力学习，努力做好信息技术与数学教学的深度融合, 时刻关注学生的成长与体验, 努力使学生在课堂中自信、上进！努力使学生在学习中成功、成长！1.目标(1) 经历最短路径问题的探索过程,进一步理解和掌握两点之间线段最短.(2) 体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程,掌握探索最短路径问题的思想和方法.(3) 在数学学习活动中获得成功的体验,激发学习兴趣,感受到数学与现实生活的密切联系.2.目标解析达成目标(1)的标志是:学生能运用轴对称、平移等图形变换将问题转化为两点之间线段最短问题.达成目标(2)的标志是:学生能运用模型思想建立数学模型,经历最短路径问题的探究过程.达成目标(3)的标志是:学生课堂气氛活跃,能积极进行参与课堂活动,产生学习数学的兴趣.八年级是学生数学思维的发展阶段,学生已经具备了初步的图形变换及模型思想意识,获得了一定的运用转化思想解决实际问题的数学活动经验,可以主动参与、思考、交流.但由于学生归纳总结、综合实践能力不足,很难发现数学知识之间的联系,因此在解决实际问题时常常感到无处着手.学生可以通过运用模型思想将复杂问题简单化,从基本问题开始解决,逐步深入,发现数学问题的本质,从而解决问题.本节课主要是要探究两个实际问题:一个是牧人饮马问题,另一个是造桥选址问题.该内容是通过轴对称及平移等变换把问题转化为关于“两点之间,线段最短”的问题,在解决问题的过程中渗透“化归”的思想,让学生经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证的探究过程,培养学生的创新意识与应用意识,体现数学课程校本化以及数学在生活中的实际应用.基于本节课内容的地位及作用,制定本节课的教学重点为:利用轴对称、平移变换解决实际问题中的最短路径问题.基于以上的学情分析,制定本节课的教学难点为:建立模型思想,分析作图原理.【导入】复习回顾、引出新课评论两点的所有连线中,线段最短;连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.如图,点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离和最短?师生活动:学生自主完成,学科代表组织复习.教师电子白板展示,引出新课.教师关注:学生对已学知识的掌握,对于概念的误区加以纠正;加强学生的自主学习,体现学生的主体地位.设计意图:利用已学知识提出新的问题,从而引出新课,让学生体会数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣.探究一、牧人饮马最短路径问题如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?【问题1】你能从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型吗?师生活动: 学生板书数学模型、分析数学问题,师生共同反馈交流.教师关注: 学生能否独立建立数学模型.学生动手实践能力的培养.设计意图: 让学生经历从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型的过程,体会转化与化归思想的应用.【问题2】利用已学知识,你能确定牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短吗?在你的数学模型中画图说明.师生活动: 学生独立思考,发现作图方法及原理.展示学生画法,教师利用几何画板进行计算验证.教师点拨,学生运用电子白板展示并阐述作图过程.教师关注: 学生对数学语言的表达、运用,对转化与化归思想方法的理解及轴对称、两点之间线段最短等知识的运用.设计意图: 培养学生数学思想方法的运用和综合与实践的提升,经历观察、实验、猜测的过程.【追问】如果在直线上另外任取一点C ,连接AC,BC,BC 怎样说明AC+CBAC+CB ?师生活动: 教师运用几何画板展示,学生产生直观感受并叙述证明过程.学生简述证明过程,教师点拨分析.学生归纳总结探究1最短路径选择解题思路,教师点拨.教师关注: 学生对两点之间线段最短知识的理解.学生的逻辑推理能力及对数学语言的运用.设计意图: 加深学生对运用轴对称作图,将问题转化为两点之间线段最短问题的理解,让学生经历实验-猜想-验证的过程.师生活动: 学生先进行独立思考,再进行小组交流.观看微视频,在桥的位置变化过程中发现正确画法.分析作图原理,发现作图方法.学生完善作图过程,学生代表运用电子白板展示作图过程.教师关注: 学生对转化与化归思想方法的理解及平移、两点之间线段最短等知识的运用.设计意图: 培养学生数学思想方法的运用和综合与实践的提升,经历观察、实验、猜测的过程1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。2、能将实际问题中的”地点”“河”抽象为数学中的点和直线问题,使实际问题数学化。3、能利用平移解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用。学生已经有了一定的最短路径问题分析基础,但对于从实际问题抽象出数学问题还有一定的困难。解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零这一问题的分析有难度,怎样转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题存在一定的困惑。对于这一方法的直接应用问题不大,但灵活应用还有一定的挑战。1.了解最短路径问题在实际问题中的作用;2.利用轴对称解决直线同侧两点最短路径问题;3.通过问题解决培养学生转化问题能力最短路径问题 是生活中的实际问题,在修路、铺管道的时候,可以起到节约人力、物力,财力的作用,同时它又与我们的数学知识联系紧密。重 点: 利用轴对称解决直线同侧两点最短路径问题.难 点: 作对称点把问题转化为“两点之间,线段最短”.13.4 最短路径问题 导学案学习目标:1.了解最短路径问题在实际问题中的作用;2.利用轴对称解决直线同侧两点最短路径问题;3.通过问题解决培养学生转化问题能力重 点: 利用轴对称解决直线同侧两点最短路径问题.难 点: 作对称点把问题转化为“两点之间,线段最短”.学法指导: 体会转化的思想方法在解决问题中的作用1.目标( 1 ) 前置微视频学习目标:了解如何将实际问题抽象为数学的线段和最小问题会解决“将军饮马问题”,理解通过轴对称实现转化将线段和最小值问题转化为“两点之间,线段最短”问题,感悟转化思想.理解如何通过逻辑推理证明所求距离最短,体会“任意”的作用.( 2 ) 课堂基础目标:分析较复杂最短路径问题.( 3 ) 课堂拓展目标:在分析较复杂最短路径问题的基础上,总结解决这一类最短路径问题的基本方法与思路,学会举一反三.2.目标解析达成目标的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河边”抽象为数学中的“点”“线”,把实际问题抽象为数学的线段和最小问题;能利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间,线段最短”问题;能通过逻辑推理证明所求距离最短;在探索最短路径的过程中,体会到轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想.最短路径问题从本质上说是最值问题,作为初中学生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手.解答“当点A,B在直线l的同侧时,如何在l上找到点C,使AC与CB的和最小”,需要将其转化为“直线l异侧的两点,与l上的点的线段和最小”问题,为什么需要转化、怎样通过轴对称实现转化,一些学生会存在理解上和操作上的困难.在证明“最短”时,需要在直线上任取一点(与所求做的点不重合),证明所连线段和大于所求作的线段和,这种思路和方法,一些学生想不到.基于以上分析,教学前,教师先将学生的难点问题制作成微视屏,学生根据自己的学习情况,通过“微视屏”学习,理解怎样把实际问题抽象为数学的线段和最小问题;怎样通过轴对称实现转化将线段和最小值问题转化为“两点之间,线段最短”问题;怎样通过逻辑推理证明所求距离最短.在学生学习了视屏内容以后,课堂教学的重心就放在对于此类最短路径问题的理解和再应用.教学中先让学生复习视频学习的内容,并通过解决前测理解单的问题,总结视屏学习的内容。接着,通过小组学习解决同类变式,拓展提升的问题加强学生对解决最短路径问题的应用.最短路径问题在现实生活中经常遇到,初中阶段,主要以“两点之间,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”为知识基础,有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.基于以上分析,确定本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 本节课的教学难点是:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.七、教学反思评论最短路径问题是人教版数学八年级上册轴对称这章的课题学习,综合性较强,难度较大。教材要求分两课时教学,第一课时重点利用轴对称解决两点在一条直线同侧的问题,第二课时重点利用平移解决两点在两条直线异侧的问题。本人执教的是第二课时,解决这类最值问题,需要认真审题,不能只注意图形而忽略题意要求,审题不清将导致答非所问,无法找到解决问题的突破口。虽然学生已经有了一定的最短路径问题分析基础,但对于从实际问题中抽象出数学问题还有一定的困难。 因此,我先设计了两点在一条直线异侧确定最短路径的应用问题,帮助学生回顾旧知明确解决问题的方法,然后再出示选址造桥的问题。