数学人教版九年级上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系.doc

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊一般特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.【学习重点】根与系数的关系及推导【学习难点】正确理解根与系数的关系【学习过程】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1+x2x1x2 +6x-16=0-2x-5=02-3x+1=05+4x-1=0尝试探索，发现规律：1若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1x2与a、b、c有何关系？请你写出关系式2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？小结： 1如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_，x1x2=_ 2如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p240）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_，x1x2=_；以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是_注意：根与系数的关系使用的前提条件_通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空:(1)已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2，则x1+x2=_, x1x2=_ ;(2)已知方程x2+3x-5=0的两根为x1,x2，则x1+x2=_ , x1x2=_ .思考1：（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1,x2，你能说说x1+x2和x1x2的值吗？（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由. 【归纳结论】根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1x2= .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.思考2：在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式=b2-4ac0呢？为什么？精讲点拨，释疑解惑：例1：不解方程，求出下列方程两根的和与两根的积： x2 + 3x -1= 0x2 + 6x +2= 0 3x2 4x+1= 0 4x2 -2x -7= 0例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.分析：设方程的另一根为x1，可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c，也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值.例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1,x2，求下列式子的值：（1）x12+x22; （2） .分析：将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.分析：将x1+x2=6，x1x2=k，代入x12x22-x1-x2=115可求出k值.此时需用=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.运用新知，深化理解：1.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个实数根，则x1+x2= ,x1x2= ;2.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m= ;3.若方程x2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ,b= ；4.已知a,b是方程x2-3x-1=0的两根，求ba+ab的值.归纳总结，反思收获：通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.达标检测，巩固成果：1如果一元二次方程的两个根为的值为 。2.设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值是 。3一元二次方程的两根为，则=_。4.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为 .5已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则（x1x2）2 6已知一元二次方程的一个根 2，则另一个根是 .7.若实数a、b满足a2-7a+2=0和b2-7b+2=0,则式子的值是 .8方程，当m=_时，此方程两个根互为相反数；当m=_时，两根互为倒数。9.下列一元二次方程中，两根分别为的是（ ）A、 B、 C、 D、10关于x的方程有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实