湖南卷,高考文科数学试卷.pdf

2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 湖南卷湖南卷 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 2010 湖南 文 1 复数 i1 2 等于 A 1 iB 1 iC 1 iD 1 i 答案 A 2 2010 湖南 文 2 下列命题中的假命题 是 A x R R R R lgx 0B x R R R R tanx 1 C x R R R R x3 0D x R R R R 2x 0 答案 C 3 2010 湖南 文 3 某商品销售量y 件 与销售价格x 元 件 负相关 则其回归方程 可能是 A y 10 x 200B y 10 x 200 C y 10 x 200D y 10 x 200 答案 A 4 2010 湖南 文 4 极坐标方程 cos 和参数方程 ty tx 2 1 t为参数 所表示的图形 分别是 A 直线 直线B 直线 圆 C 圆 圆D 圆 直线 答案 D 5 2010 湖南 文 5 设抛物线y2 8x上一点P到y轴的距离是 4 则点P到该抛物线焦点 的距离是 A 4B 6C 8D 12 答案 B 6 2010 湖南 文 6 若非零向量a a a a b b b b满足 a a a a b b b b 2a a a a b b b b b b b b 0 则a a a a与b b b b的夹角为 A 30 B 60 C 120 D 150 答案 C 7 2010 湖南 文 7 在 ABC中 角A B C所对的边长分别为a b c 若 C 120 c 2a 则 A a bB a0 或x 0 或x 0 或x 0 13 2010 湖南 文 13 下图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3的几何体的三视图 则h cm 6 5 h 正视图 侧视图 俯视图 单位 cm 答案 4 14 2010 湖南 文 14 若不同两点P Q的坐标分别为 a b 3 b 3 a 则线段PQ的 垂直平分线l的斜率为 圆 x 2 2 y 3 2 1 关于直线l对称的圆的方程 为 答案 1x2 y 1 2 1 15 2010湖南 文15 若规定E a1 a2 a10 的子集 1 l a 2 l a n l a 为E的第k个子集 其中k 1 1 2 i 1 2 2 i 1 2 n i 则 1 a1 a3 是E的第 个子集 2 E的第 211 个子集是 答案 5 a1 a2 a5 a7 a8 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 2010 湖南 文 16 已知函数f x sin2x 2sin2x 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 的最大值及f x 取最大值时x的集合 解 1 因为f x sin2x 1 cos2x 2sin 2x 4 1 所以函数f x 的最小正周期为T 2 2 2 由 1 知 当 2x 4 2k 2 即x k 8 k Z Z Z Z 时 f x 取最大值2 1 因此函数f x 取最大值时x的集合为 x x k 8 k Z Z Z Z 17 2010 湖南 文 17 为了对某课题进行研究 用分层抽样方法从三所高校A B C的相 关人员中 抽取若干人组成研究小组 有关数据见下表 单位 人 高校相关人数抽取人数 A18x B362 C54y 1 求x y 2 若从高校B C抽取的人中选 2 人作专题发言 求这 2 人都来自高校C的概率 解 1 由题意可得 18 x 36 2 54 y 所以x 1 y 3 2 记从高校B抽取的 2 人为b1 b2 从高校C抽取的 3 人为c1 c2 c3 则从高校B C抽取 的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 b1 b2 b1 c1 b1 c2 b1 c3 b2 c1 b2 c2 b2 c3 c1 c2 c1 c3 c2 c3 共 10 种 设选中的 2 人都来自高校C的事件为X 则X包含的基本事件有 c1 c2 c1 c3 c2 c3 共 3 种 因此P X 10 3 故选中的 2 人都来自高校C的概率为 10 3 18 2010 湖南 文 18 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M 是棱CC1的中点 A1 B1 C1 D1 A B C D M 1 求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值 2 证明平面ABM 平面A1B1M 解 1 如题图 因为C1D1 B1A1 所以 MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角 因为A1B1 平面BCC1B1 所以 A1B1M 90 而A1B1 1 B1M 2 1 2 11 MCCB 2 故 tan MA1B1 11 1 BA MB 2 即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为2 2 证明 由A1B1 平面BCC1B1 BM 平面BCC1B1 得A1B1 BM 由 1 知 B1M 2 又BM 22 CMBC 2 B1B 2 所以B1M2 BM2 B1B2 从而BM B1M 又A1B1 B1M B1 再由 得BM 平面A1B1M 而BM 平面ABM 因此平面ABM 平面A1B1M 19 2010 湖南 文 19 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8 km 的A B 两点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过A B两点的直线为x轴 线段AB的垂直平 分线为y轴建立平面直角坐标系 如图 考察范围为到A B两点的距离之和不超过 10 km的区 域 1 求考察区域边界曲线的方程 2 如图所示 设线段P1P2是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融化时 边界线 沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2 km 以后每年移动的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点A恰好在冰川边界线上 x y O A 4 0 B 4 0 P 1 14 3 P 2 5 9 已 融 化 区 域 冰 川 解 1 设边界曲线上点P的坐标为 x y 则由 PA PB 10 知 点P在以A B为焦点 长轴长 为 2a 10 的椭圆上 此时短半轴长b 22 45 3 所以考察区域边界曲线 如图 的方程为 25 2 x 9 2 y 1 x y O A 4 0 B 4 0 P 1 14 3 P 2 5 9 2 易知过点P1 P2的直线方程为 4x 3y 47 0 因此点A到直线P1P2的距离为 d 22 3 4 4716 5 31 设经过n年 点A恰好在冰川边界线上 则利用等比数列求和公式可得 12 12 2 0 n 5 31 解得n 5 即经过 5 年 点A恰好在冰川边界线上 20 2010 湖南 文 20 给出下面的数表序列 表 1表 2表 3 113135 448 12 其中表n n 1 2 3 有n行 第 1 行的n个数是 1 3 5 2n 1 从第 2 行起 每行中的每个 数都等于它肩上的两数之和 1 写出表 4 验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 并将结论推 广到表n n 3 不要求证明 2 每个数表中最后一行都只有一个数 它们构成数列 1 4 12 记此数列为 bn 求 和 21 3 bb b 32 4 bb b 1 2 nn n bb b n N N N N 解 1 表 4 为 1357 4812 1220 32 它的第 1 2 3 4 行中的数的平均数分别是 4 8 16 32 它们构成首项为 4 公比为 2 的 等比数列 将这一结论推广到表n n 3 即表n n 3 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成 首项为n 公比为 2 的等比数列 简证如下 对考生不作要求 首先 表n n 3 的第 1 行 1 3 5 2n 1 是等差数列 其平均数为 n n 12 31 n 其次 若表n的第k 1 k n 1 行a1 a2 an k 1是等差数列 则它的第k 1 行 a1 a2 a2 a3 an k an k 1也是等差数列 由等差数列的性质知 表n的第k行中的数的平均数 与第k 1 行中的数的平均数分别是 2 11 kn aa 2 121 knkn aaaa a1 an k 1 由此可知 表n n 3 各行中的数都成等差数列 且各行中的数的平均数按从上到下的顺 序构成首项为n 公比为 2 的等比数列 2 表n的第 1 行是 1 3 5 2n 1 其平均数是 n n 12 531 n 由 1 知 它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n 公比为 2 的等比数列 从而它的第k行中的数的平均数是n 2k 1 于是 表 n中最后一行的唯一一个数为bn n 2n 1 因此 1 2 kk k bb b kk k kk k 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 k kk k 2 2 1 1 2 k kk kk 3 2 1 k k 2 2 1 1 k k k 1 2 3 n 故 21 3 bb b 32 4 bb b 1 2 nn n bb b 2 21 1 1 22 1 1 22 1 0 23 1 3 2 1 n n 2 2 1 1 n n 2 21 1 2 2 1 1 n n 4 2 2 1 1 n n 21 2010 湖南 文 21 已知函数f x x a x a 1 lnx 15a 其中a 1 e 1 e 64632 223 xxf xaaaxaxx x e是自然对数的底数 是否存 在a 使g x 在 a a 上为减函数 若存在 求a的取值范围 若不存在 请说明理由 解 1 f x 的定义域为 0 f x 2 x a 1 x a1 2 1 x xax 若 1 a 0 则当 0 x0 当 a x 1 时 f x 1 时 f x 0 故f x 分别在 0 a 1 上单调递增 在 a 1 上单调递减 若a0 因此m a 0 而m a a2 a 2 所以a 2 此时 显然有g x 在 a a 上为减函数 当且仅当f x 在 1 a 上为减函数 h x 在 a 1 上为减函数 且h 1 e f 1 由 1 知 当a 2 时 f x 在 1 a 上为减函数 又h 1 e f 1 4a2 13a 3 0 3 a 4 1 不难知道 x a 1 h x 0 x a 1 m x 0 因m x 6x2 6 a 2 x 12a 6 x 2 x a 令m x 0 则x a 或x 2 而a 2 于是 当a 2 时 若a x0 若 2 x 1 则m x 0 因而m x 在 a 2 上单调递增 在 2 1 上单调递减 当a 2 时