线性代数考试卷及答案.pdf

南京工业大学线 性 代 数试题 A 卷 闭 2008 2009 学年第 二 学期使用班级 计软 0801 3 班级学号姓名 题号一二三四五六七八总分 得分 符号说明 E表示单位矩阵 R表示矩阵的秩 表示行列式 T表示矩阵的转置 trace A 表示矩阵 A 的足迹 一 填空题 每题 3 分 共 15 分 1 已知2 111 320 zyx 则 111 542 653zyx 2 u为 n 维非零单位列向量 则矩阵 T uu的 n 个特征值分别为 3 设矩阵 210 120 001 A 矩阵B满足 2ABABAE 其中 A为A的伴随矩阵 则 B 4 方程组 121 232 313 xxa xxa xxa 有解的充要条件为 5 已知02 2 EAA 则 1 AE 二 选择题 每题 3 分 共 15 分 1 设CBA 是三个同阶方阵 E为同阶单位矩阵 且EABC 下列等式 EACB EBAC EBCA ECAB ECBA 其中正确的个数有 A 2 个 B 1 个 C 3 个 D 4 个 2 设 n 21 线性无关 211 111322 nnnnn 则关于向量组 n 21 的论述正确的是 A 一定线性无关 B 一定线性相关 C 相关与否与 n 有关 D 以上均不正确 3 设三阶方矩A的三个特征值分别为 1 2 4 又矩阵 2 3BAAE 则如下正确的是 A 矩阵 不可逆 B 矩阵 三个特征值为 1 3 17 C 矩阵B不可以对角化 D 18trace B 4 设nm 阶矩阵 R Ar 则如下结论正确的是 A TT R A AR A B TT R A AR A C T R A AR A D T R A AR A 5 如 21321 都 是 四 维 列 向 量 且 4 阶 行 列 式m 1321 n 3221 则 4 阶行列式 21123 等于 A nm B nm C nm D mn 三 10分 计算n阶行列式 mxxx xmxx xxmx n n n 21 21 21 四 12 分 设四阶矩阵 7600 0540 0032 0001 A 方阵B满足矩阵方程BEAAB 试给出 1 EB 五 12 分 求向量组 1234 1 1 0 1 2 0 1 3 0 2 1 1 0 1 1 1 5 6 1 3 9 的秩和它的一个极大线性无关组 并把其余向量表示为所求的极大线 性无关组的线性组合 六 13分 当 a b为何值时 线性非齐次方程组 1234 1234 234 1234 0 23441 3 2 321 xxxx xxxx xaxxb xxxax 无解 有唯一解 或有无穷多组解 在有无穷多解时 求出其通解 七 16分 已知二次型 222 12312312 22f x x xxxxx x 试回答下列问题 1 写出此二次型的矩阵A 2 利用正交变换QYX 该二次型化为标准型 并给出所使用的正交变换和标准型 3 判断该二次型是何种二次型 八 7分 设矩阵 A B均为实正交矩阵且1 A 1B 试证明 0AB 南京工业大学线 性 代 数试题 A 卷 试 题 标 准 答 案 2008 2009 学年第一学期使用班级计软 0801 3 一 填空题 每题 3 分 共 15 分 1 2 2 1 0 n 1 重 3 1 9 4 123 0aaa 5 1 2 A 二 选择题 每题 3 分 共 15 分 1 A2 C3 B4 B5 D 三 10分 第n 3 2 列加到第1列 2 2 12 2 1 1 1 n n n n xx xmx Dxxxm xxm 4 分 2 12 1 0 00 n n n xx mx xxxm m 8 分 11 12 1 nn n mxxxm 10 分 四 12 分 解 由方阵B满足矩阵方程BEAAB 可得 EEBAAB2 即 EEBEBA2 6 分 EEBEA2 由 7600 0540 0032 0001 A 故 4300 0320 0021 0001 2 1 1 EAEB 12 分 五 12 分 解 以 521 为列 构成矩阵A并进行初等行变换 12345 1200612006 1021101102 0111300011 1311900000 TTTTT A 6 分 秩为 3 8 分 极大线性无关组为 134 10 分 2135134 2 62 12 分 六 13 分 对方程组的增广矩阵进行初等行变换 11110 23441 0132 3211 A b ab a 21 31 2 3 rr rr 11110 01221 0132 01231 ab a 32 42 rr rr 11110 01221 00101 00010 B ab a 5 分 显然可见 当1 1ab 时方程组无解 当1a 时方程组有唯一解 当1 1ab 时 方程组有无穷多组解 8 分 当1 1ab 时继续将矩阵B化为行最简形得 B 11110 01221 00000 00000 12 rr 10111 01221 00000 00000 与原方程组等价的方程组为 134 234 1 122 xxx xxx 令 3 4 0 0 x x 得原方程组的一个特解为 1 1 0 0 11 分 与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为 134 234 22 xxx xxx 令 3 4 10 01 x x 得齐次方程组的一个基础解系为 12 11 22 10 01 故原方程组有无穷多组解时的通解为 1 122 Xkk 12 k k为任意常数 13 分 七 16 分 解 1 此二次型的矩阵 110 110 002 A 4 分 2 矩阵的特征多项式为 2 110 110 2 002 A fAE 故矩阵 A 的三个特征值为 0 2 二重 当2 时 求 解 方 程 组 0 AE X 得 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 12 1 1 1 0 0 0 1 2 TT 当0 时 求解方程组 0 AE X 得特征向量 3 1 1 1 0 2 T 令 123 Q 作 变 换XQY 即 为 正 交 变 换 可 将 二 次 型 化 为 标 准 型 222 1