线性代数2012-2013第二学期试卷A答案.pdf

浙浙 江江 工工 业业 大大 学学 线线 性性 代代 数数 期期 末末 试试 卷卷 A 答案答案 2012 2013 第 二 学 期 任课教师任课教师 学院学院 班级班级 编号编号 学号学号 姓名姓名 得分得分 题号题号 一一 二二 三三 四四 总分总分 得分得分 一一 填空题填空题 每每空空 3 3 分分 共共 30 30 分分 1 已知 80343 61002 1111 8751 D 则 44434241 AAAA 0 2 设 033 110 2 123 AAXAX 则X 011 321 330 3 已知 001 020 300 A 100 821 0010 B 则 1 A 003 020 100 6 1 BAB 140 4 设A为34 矩阵 B为46 矩阵 X为三维列向量 若齐次线性方程组 0BA X 与0AX 同解 且秩 2r A 则 r BA 2 5 设 n R 4321 又记112223334441 则 4321 线性 相关 6 设 1 1 2 3 2 1 1 2 t 3 1 3 当 t 8 时 则 321 线性相关 7 设 4 阶方阵A的特征值为2 2 1 1 则 A 4 A的特征值为 4 4 2 2 若B与A相似 则EBB43 2 的特征值分别为 0 6 6 6 二二 选择题选择题 每题每题 2 分分 共共 10 分分 1 设A B为 n 阶方阵 满足等式0AB 则必有 C A 0A 或0B B 0AB C 0 A或0 B D 0 BA 2 不是初等矩阵的是 B A 001 010 100 B 010 001 100 C 100 0 2 1 0 001 D 100 510 001 3 设向量组 321 线性无关 向量 1 可由 321 线性表示 而向量 2 不可由 321 线性表示 则对任意常数k必有 A A 21321 k 线性无关 B 21321 k 线性相关 C 21321 k 线性无关 D 21321 k 线性相关 4 设 n 元齐次线性方程组0AX 3r An 且 321 为其 3 个线性无关的解 向量 则 A 为其基础解系 A 321 B 133221 C 3213211 D 3123321 2 5 若 4 阶矩阵A和B相似 A的特征值为 5 1 4 1 3 1 2 1 则行列式 EB 1 B A 30 B 24 C 32 D 25 三三 计算题计算题 共 50 分 1 8 分 设有齐次线性方程组 12 12 12 1 0 2 2 20 0 n n n a xxx xa xx nxnxna x 其中 2 n试问a取何值时 该方程组有非零解 1 2 1 2222 1111 n a nn a annnn a a D 4 分 当 a 0 或 2 1 nn a时方程组有非零解 8 分 2 12 分 已知BA 为 3 阶矩阵 且满足EBBA42 1 其中E是 3 阶单位矩阵 1 证明矩阵EA2 可逆 2 若 200 021 021 B 求矩阵A 1 EEBEA8 4 2 EA2 可逆 且 8 4 2 1 EB EA 4 分 2 1 4 2 EBBA 8 分 200 011 020 4 2 1 EBBA 12 分 3 10 分 求下列向量组的秩及其一个极大无关组 并以之表示其余向量 0 2 1 1 6 5 1 2 14 7 0 3 2 1 3 0 4 2 1 1 54321 00000 11000 10110 10301 061424 25712 11031 12301 54321 秩 r 3 5 分 极大无关组 421 8 分 4215213 3 10 分 4 8 分 设 4 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 已知 321 是它的 3 个解向 量 且 123 2 3 4 5 1 2 3 4 TT 求该方程组的通解 R A 3 n 4 n R A 1 2fe 通解 3 2 1 0 4 3 2 1 kX Rk 8 分 5 12 分 设 020 212 022 A 1 求正交矩阵P及对角矩阵 使 APPT 2 若B与A相似 EBBC54 2 问C是否可以对角化 为什么 1 特征值4 1 2 321 3 分 特征向量 1 2 2 2 1 2 2 2 1 321 ppp 6 分 正交阵 122 212 221 3 1 P 对角阵 400 010 002 8 分 2 可以对角化 因为三阶方阵 C 有 3 个互不相同的特征值 9 0 27 12 分 四四 证明题证明题 10 10 分分 1 5 分 设 321 是 n 阶方阵A的 3 个互不相同的特征值 321 ppp是与之对应的 A的特征向量 求证 321 ppp线性无关 证 333222111 pAppAppAp 设 0 332211 pkpkpk 2 分 则有 0 333222111 pkpkpk 0 33 2 322 2 211 2 1 pkpkpk 所以 0 0 0 1 1 1 2 33 2 22 2 11 332211 pkpkpk 因为 0 1 1 1 2 33 2 22 2 11 所以 0 0 0 332211 pkpkpk 又因为 0 0 0 321 ppp 所以0 0 0 321 kkk 所以 321 ppp线性无关 5 分 2 5 分 设 3 阶方阵 abb bab bba A 若A的伴随矩阵的秩等于 1 问ba 满足何种关 系 并给出证明 证 因为1 AR 所以2 AR 2 分 所以 0 2 01 01 001 2 2