数学人教版八年级上册《最短路径问题》.doc

“水 管 最 短 问 题”探 索 性 活 动 的 设 计课题“水 管 最 短 问 题”探 索 性 活 动 的 设 计 （两 课 时 完 成）教材简介例三是在学习了轴对称及轴对称图形之后的例题，意在应用轴对称的有关性质解决“水管何时最短”这个实际问题，一方面回答了引言中提出的问题六，另一方面使学生感受一下几何最值问题。教学目标1. 使学生通过讨论、探究、发现水管的铺设按要求不仅仅可以向教材中那样修建，还可以另有其它的设计方案，并且符合一定条件下水管的长度比教材中的“设计”更短。2. 通过鼓励学生大胆猜想，鼓励学生大胆实践，逐步培养学生的创新精神及创新能力。教学重点：分析各种可能，如何铺设水管最短。教学难点：水管最短的证明。教学方法：探究发现、启发引导教学用具：教学多媒体教 学 内 容设 计 意 图教学过程一、 创设问题情境，鼓励学生大胆实践例3.如图1，要在河边修建一个水泵站，向张庄、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？问题1：如图1，要在河边修建一个水泵站，向张庄、李庄送水，请你设计施工方案。（注明泵站位置及如何铺设水管，并说明理由。）启发与思考：1.可将“河”、“村庄”抽象为“直线”和“两点”。2.所设计的方案只要能将河里的水送到两村庄即可，没有其它任何条件。 可将学生分成小组（四人），教师巡视、引导，并与学生一起讨论。鼓励学生大胆设计，比一比哪个小组设计的方案最多。例3及问题1由教学多媒体集成。起到创设问题情景的作用。出示例3的目的：1.是为了引入新课。2.是诱发学生的直觉思维，使学生对问题产生初步的形象认识。教学过程二、 分析方案，深入探究学生的设计大至可分为三大类，共8种方案。第一类设计方案：在直线a上寻找一点C,点C就是泵站，连结AC、CB，AC、CB就是铺设的水管。(图2)1.过点A作直线a的垂线段AC，垂足是点C,连结CB。（图3）2.过点B作直线a的垂线段BC，垂足是点C,连结CB。（图4）3.作点A关于直线a的对称点A，连接AB交直线a于点C，点C就是泵站，连结CA、CB。(图 5)4.在直线a上，除了图3、图4、图5中的C点外，任意选取一点作为泵站。（图2、图6）第二类设计方案：在直线a上选取一点C,点C就是泵站，连结CA、AB。1.过点A作直线a的垂线段AC，垂足是点C，连结CA、AB。（图7）问题1的设计目的：1是对所要研究的问题进行开放性设计，以便促使学生的思维开放，达到培养发散思维的目的。2是激发学生的求知欲，促使学生主动的对知识进行探究和发现。启发与思考的目的：是为学生提供必要的思想方法，并强调没有条件限制，突出问题的开放性。将学生分组是使学生学会合作学习。事先将学生可能的设计方案做成幻灯片，以便一步步出示。这样做的目的是：1.是使问题开放的同时，使问题具体化、形象化，以便学生经过探索、归纳、证明，最后形成形象思维，教学过程2在直线a除图7中点C以外任选一点作为点C，连接CA、AB。（图8）第三类设计方案：在直线a上选取一点C,连结CB、BA,点C就是泵站。1. 过点B作直线a的垂线段BC,垂足为点C，连结BA。（图9）2.在直线a上，除图9中点C以外，任选一点作为c点，连结CB、BA。（图10） 以上各种情况学生没有设计出来的，教师补充。问题2：在这些设计方案中，哪一种方案所用水管最短？(板书：“水管最短问题”探索性活动)启发与思考：教师启发引导学生分类比较。即先比较每一类中的各种情况的大小，再比较不同类的大小。同时引导学生与物理中的电路知识相联系，以便分类较。从而发现解决例3所提出的问题的方法。2.是使开放的问题、探索的结果进行科学的分类和归纳，进行科学的界定，使学生由问题产生的“直觉”，经过再发现，再探索，形成科学的“形象”。即由直觉思维向形象思维过渡，也就是使学生由表象的、感性的认识向初步的理性认识过渡。问题2、问题3提出了水管最短问题，实质是例3提出的问题。这是使学生由“发散”的“方案设计”转向教学过程第一类设计的实质是将A、B两点的连结象物理电路中的“并联”。第一类第三种的作法就是教材中的方案，是“并联”中最短的，也就是：如图11，作点A关于直线a的对称点A,连结AB交直线a于点C,连结CA、CB,点C就是所求的泵站. 证明：如图11，在直线a上另取一点C,连结AC、AC、AC、CB。因为直线a是点A、A的对称轴，点C、C在对称轴上，AC=AC, AC=ACAC+CB=AC+CB=AB在ACB中，ABAC+CB,AC+CBAC+CB,即 AC+CB最小。第二类、第三类的设计的实质是将A、B两点的连结象物理电路中的“串联”。比较第二类、第三类“串联”的各种情况，显然第二类中的第一种是“串联”中最短的。三、 合作讨论、寻求证明方法到此学生会发现新的问题了：问题3：“并联”中的最短的与“串联”中最短的，哪种设计更短?哪一个更符合“最短”的要求。分析与思考：如图12，欲比较“并联”的(CA+CB)与“串联”的（DA+AB）的大小，只需比较AB与(DA+AB)的大小。又因为AB、DA、AB均是线段，所以只需比较AB2 与（DA+AB）2的大小。证明：（如图12）过点A作AEAD，A为垂足，设BAE=，则00900.设AD=a,AB=b.则 AB2=AA2 + AB2 - 2AAABCOSBAA=(2a)2+b2-2(2a)bcos(900+)=4a2+b2+4absin另设K=AB2-(DA+AB)2=3a2+4ab(sin-)、当00 0,由3a2-2ab0 ,得bDA+AB, 所以此时泵站建在点D（或点D）,所用水管最短.若K=0,由3a2=2ab,得b=a时,AB=DA+AB ,所以此时泵站应建在点C、D、D均可,所用水管最短.若K0,由3a2-2aba 时,ABDA+AB,所以此时泵站应建在点C,所用水管最短.II、当000，由3a2-4ab(-sin)0，得bDA+AB,所以此时泵站建在点D,水管最短。若K=0，由3a2 -4ab（-sin）=0，得b=时，AB=DA+AB，所以此时泵站建在点D、C均可。若K0，由3a2 -4ab(-sin)时，AB0 即ABDA+AB故此时泵站应建在点D,水管最短。四、 对比分析，揭示规律：从上述证明可以看出：泵站建在何处，所用水管最短，必须注意A、B两点相对河岸的位置关系。请同学们再看下面问题：问题四：任画一条直线PQ及PQ同旁的两点M、N，问题2中的“证明”的实质是将证明“两线段的和最短”转化为证明“两点间线段距离最短”。目的：1.是证明第一类的第三种是第一类中最短的。2.是为后面的探索铺平道路。问题3中的证明的实质是用作差的方法比较两线段和的大小。目的：是为了证明开放的问题中所探索出的多个结果，哪一个符合“最短”的要求。使开放的问题得到科学的界定，最终使探索的问题有一个正确的结论。为了深化对例3的认识又提出问题4。问题4的实质是在例3的基础上附加了一教学过程画出从点M出发经过PQ上一点O，到达点N的最短路线。（如图14）分析与思考：1.此题与例三比较有何不同之处？有何相同之处？2.此题相当于例三的那一种情况？不同点：此题与例三的要求不同。此题要求必须从点M到O再到N，而例三没有方向的要求。相同点：都是求“最短”的问题。此题相当于例三的第一类第三种设计情况。解：如图15，作点M关于直线PQ的对称点M,连结MM交PQ于点O，点O就是所求的点，MO、ON就是所求的最短路线。总结：（师生共同完成）1. 象例三那样不要求方向时，所给的两点可“并联”、可“串联”，考虑的情况比较复杂，具体的方案可以参照例三的证明。2. 象问题四要求方向时，所给的两点只能“并联”，答案只能是例三中的第一类第三种方案。五、 运用规律，编制新题：（课后作业）要求运用上述规律，编制一道求“最短”的问题并简要说明设计方案，画出图形。 （例如教材：第31页第7题）个强制性的条件-方向。因此，问题4与例3有着本质的不同。目的是从不同的角度提出问题，使学生更好的、深刻的理解例3，促使知识内化，从而使学生上升为理性认识。总结的目的是为了突出结论、明确结论，使学生具有成功的感受。作业的目的是促使知识的正迁移。设计说明1 1本节教学内容约二课时，第一课时的教学内容是问题1、2，第二课时的教学内容是问题3、4。第一课时是利用教材的例3进行开放性问题设计，促使学生思维开放，以激发学生积极探索的欲望，第二课时是将探索的结果运用科学的方法进行证明，促使学生形成理性认识。2本节课案的教学设计立足于“探究发现式”教学模式。3本课案力求突出三