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文档简介
2007年全国高中数学联赛模拟试题湖北省宜昌市夷陵中学 张欣然一,选择题1,设,则的最大值为 ( ) 5 6 7 82,下面给出四个命题:,在中, 恒为正值.,在中恒为正值.,在中, ,恒为正值.,在非直角中, 恒为正值.其中正确的命题个数为 ( ) 4 3 2 13,已知数列是正整数组成的递增数列,且满足,若则 ( ) 102 152 212 不能唯一确定4,方程所表示的曲线为 ( ) 双曲线 焦点在轴上的椭圆 焦点在轴上的椭圆 以上答案均错5,在三棱椎中, ,若三侧面与底面所成二面角均为,则三棱椎的体积为 ( ) 1 2 3 46,某人投两次骰子,先后得到点数,用来作为一元二次方程的系数,则使方程有实根的概率为 ( ) 二,填充题7,数列满足,(分别表示的整数部分和小数部分),则=_8,如图, 分别为正六边形ABCDEF的对角线AC,CE的内分点,且若B,M,N三点共线,则=_ CABDEFMN9,对于给定的正整数,则由直线与抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为_10,有一道数学竞赛题,甲,乙,丙单独解出的概率分别为,其中都是一位正整数,现甲,乙,丙同时独立解答此题,若他们中恰有一人解出此题的概率为,那么,他们三人都未解出此题的概率为_11,设为复数,其中,若,则当的辐角主值最小时, 的值为_12,设都是正整数,且,则的个位数字是_三,解答题13,已知是实数,二次函数满足求证: 1与1中至少有一个是的根.14,已知椭圆经过定点,(为实数,且)求的最小值.15,求内接于抛物线的正三角形的中心的轨迹方程第二试.一,如图O切的边AB于D,切边AC于C,M是BC上一点,AM交DC于点N,求证:M是BC中点的充要条件是ANMDBOC二,已知,求证数列中无完全平方数。三,给定正整数,集合,且,其中,满足是7的倍数,求。 答案部分第一试1,答(C), 当时, 2, 答(B),正确,由正弦定理知: 正确,当为锐角或直角三角形时,显然为正值。当为钝角三角形时,不妨设为钝角,则,即又,故。正确,同。错误,由,知为钝角三角形时,其值为负。3,答(C), ,方程的正整数解为或,又,故4,答(C), , ,故选(C)5,作,OECA于E,OFAB于F,设OP=h,则,于是,在中,即:,所以6,答(D),由题意知,则事件总数为36,而方程有实根等价于即:,据此可列出的值:1,2,3,4,5,6。的个数为:5,4,3,3,2,2。5+4+3+3+2+2=19,故概率为。7,由已知得:, ,易得:所以 。8,延长EA,CB交于P,设正方形边长为1,易知PB=2,A为EP的中点,EA=AP= 由,可得:,又,CA是边上的中线,则有,即:,整理得:,因为当B,M,N三点共线时,存在实数使得,故,解得。9,直线与抛物线的交点,设直线上位于区域内的线段为CD,其端点坐标为,则线段CD上的整点数为,故区域内的整点数为:10,依题意:即:所以: 5,不妨设 5,于是=5。即:,所以3,不妨设 3,于是当时,;时,无整数解。时,无整数解。所以, , ,于是三人都未解出的概率为。11,因为,所以,于是对应的点P在以对应的点M为圆心,3为半经的圆C上,当的辐角主值最小时,OP与圆C相切,而,则,于是,又的辐角主值,所以,故。12,由二项式定理:,故,设,则,由恒等式得:,的个位数字依次为1,6,5,4,9,0,1,6,5,4,9,0,所以,13,由知二次函数有零点,若二次函数只有唯一的零点,则这个零点就是抛物线的顶点,有,解得,由,有,则,故抛物线的顶点横坐标为,所以与1中至少有一个是的根。若二次函数有两个不同的零点,因为: ,所以或故与1中至少有一个是的根。14,由题设得:,由对称性不妨设,设,再令,则有:,当且仅当,即:时,上式等号成立,所以。15,设抛物线内接正三角形三顶点坐标为,三角形的中心M的坐标为,则有不妨设为逆时针方向,则有:,从而由实部相等得:,即:(3)同理由虚部相等得:(4)由(3)(4)得即:(5)(1)(2)代入(5)得同理有:,所以为方程的根由韦达定理:又因为从而得:第二试.一, 证明:充分性:过点N作EFBC,分别交AB,AC于E,F。连结OC,OD,OE,OF,因为ONBC,则ONEF,又OCAC,则N,O,C,F四点共圆,故NFO=NCO,同理由N,O,E,D四点共圆,NDO=NEO,因NCO=NDO,则NFO=NEO,故OE=OF,从而EN=FN,所以BM=CM必要性:用同一法,作交CD于,连并延长交BC于,类似充分性的证明可得B=C,而BM=CM,则点与M重合,因此,点是CD与AM的交点,故点与N重合,ANMDBOCFE二, 解:易得数列的通项公式为,设,则且易得因此欲证为非完全平方数,只需证明(1)无正整数解,其中,由(1)式知为奇数,则,故为偶数,不妨设,则(2)又,由式(2)及有关数论知识得:或,若为前者,则,矛盾。若为后者,则,有,于是 解得: 矛盾。故不是完全平方数。三, 设,先考虑满足的
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