数学人教版八年级上册最短路径.ppt

看图思考 为什么有这种现象发生 为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象 你能用数学知识解释这一现象吗 八年级上册 13 4课题学习最短路径问题 学习目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题 体会图形的变化在解决最值问题中的作用 感悟转化思想 学习重点 利用轴对称将最短路径问题转化为 两点之间 线段最短 问题 课件说明 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 你会选择哪条路距离最短 你的理由是什么 两点之间线段最短 如图 要在燃气管道L上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 P 所以泵站建在点P可使输气管线最短 引言 前面我们研究过一些关于 两点的所有连线中 线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题 我们称它们为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 本节将利用数学知识探究数学史中著名的 将军饮马问题 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 探索新知 追问1这是一个实际问题 你打算首先做什么 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 探索新知 1 从A地出发 到河边l饮马 然后到B地 2 在河边饮马的地点有无穷多处 把这些地点与A B连接起来的两条线段的长度之和 就是从A地到饮马地点 再回到B地的路程之和 探索新知 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 探索新知 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 3 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点 设C为直线上的一个动点 上面的问题就转化为 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 如图 追问1对于问题2 如何将点B 移 到l的另一侧B 处 满足直线l上的任意一点C 都保持CB与CB 的长度相等 探索新知 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 追问2你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点B 吗 探索新知 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 探索新知 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 探索新知 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 如图 在直线l上任取一点C 与点C不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 探索新知 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 探索新知 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 若直线l上任意一点 与点C不重合 与A B两点的距离和都大于AC BC 就说明AC BC最小 探索新知 追问1证明AC BC最短时 为什么要在直线l上任取一点C 与点C不重合 证明AC BC AC BC 这里的 C 的作用是什么 探索新知 追问2回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 运用新知 练习如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 运用新知 基本思路 由于两点之间线段最短 所以首先可连接PQ 线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路 将河岸抽象为一条直线BC 这样问题就转化为 点P Q在直线BC的同侧 如何在BC上找到一点R 使PR与QR的和最小 1 建立模型 1 两点在直线l的异侧 2 两点在直线l的同侧 归纳总结 A l l 2 转化的关键1 实际生活问题数学问题2 两点在直线同侧问题两点在直线异侧问题 转化 转化 问题4 如图A B两地在一条河的两岸 将军现要在河上造一座桥MN 1 要使得从A到B的距离最短 桥应该造在何处 最强大脑 造桥选址问题 2 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直且点B在岸边 桥造在何处可使从A到B的路径最短 最强大脑 造桥选址问题 3 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 A B都离岸边有一定的距离 桥造在何处可使从A到B