化工原理-量纲分析与相似理论

1 量纲分析与相似理论 流体力学 2 量纲、量纲和谐性原理 3 量纲分析和相似原理，为科学地组织实验及整理实验成果提供了理论指导。对于复杂的流动问题，还可借助量纲分析和相似原理来建立物理量之间的联系。显然，量纲分析与相似原理是发展流体力学理论，解决实际工程问题的有力工具。 4 在工程界至今还有一些由实验和观测资料整理成的经验公式，不满足量纲和谐 (既经验公式 )。这种情况表明，人们对这一部分流动的认识尚不充分。这样的公式将逐步被修正或被正确完整的公式 (即理论公式 )所代替。 由量纲和谐原理可引申出以下两点： (1)凡正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成由无 量项组成的无量纲方程。因为方程中各项的量纲相同，只需用其中的一项遍除各项。便得到一个由无量纲项组成的无量纲式，仍保持原方程的性质。 (2)量纲和谐原理规定了 个物理过程中有关物理量之间的关系。因为一个正确完整的物理方程中各物理量量纲之间的联系是确定的，按物理量量纲之间的这一确定性，就可建立该物理过程各物理量的关系式。量纲分析法就是根据这一原理发展起来的，它是本世纪初在力学上的重要发现之一。 5 什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？ 6 答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度的性质。 7 量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？ 答： （ 1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用 完整的物理方法来表示。 （ 2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。 8 题 目 凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。但是在曼宁公式 中，谢齐系数 ， ， 明显量纲是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。 1 / 619 解 ： 量纲和谐性原理是已被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。 10 瑞利法 11 题 目 试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量 q 的表达式。已知 q 与堰顶水头 H、水的密度 和重力加速度 g 有关。 . 分析影响因素，列出函数方程 解 ： 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量 q 与堰顶水头 H、水的密度 和重力加速度 g 有关，用函数关系式表示为 解题步骤 ( , , )q f H g2. 将 ， ， a b cq k H g13 3. 写出量纲表达式 解题步骤 4. 选 L、 T、 示各物理量的量纲为 d i m d i m ( )a b g2 1 3 2 a b L M L L T 5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数 L： 2=c T： 2c M： 0=b a=3/2 b=0 c=1/2 14 6. 代入指数乘积式，得 其中， 流量系数 m， 由实验来确定。 解题步骤 3 / 2 0 1 / 2 3 / 2q k H g k g H3 / 2 3 / 21 2q k g H m g H即 15 瑞利法 16 题 目 求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率 N 与单位体积水的重量 、流量 Q、扬程 g17 1. 分析影响因素，列出函数方程 解 ： 根据题意可知，水泵的输出功率 N 与单位体积水的重量 、流量 Q、扬程 H 有关 ,用函数关系式表示为 解题步骤 ( , , , ) 0f N Q H 2. 将 ， Q， a b cN k Q Hg18 3. 写出量纲表达式 解题步骤 4. 选 L、 T、 示各物理量的量纲为 d i m d i m ( )a b H2 3 2 2 3 1 a b M L T M L T L 5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数 L： 2=b+c T： 2M： 1=a a=1 b=1 c=1 19 6. 代入指数乘积式，得 其中， 过实验来确定。 解题步骤 N k Q H20 定理 21 题 目 简述布金汉 定理的运用步骤？ 答： 根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式。 12( , , , ) 0nf x x x 从 般取 m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量相互独立。 22 3. 确定基本物理量依次与其余物理量组成的 表达式。 解题步骤 1 2 3 ( 1 , 2 , )b x x x i n m 4. 满足 为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各 项基本物理量的指数 a、 b、 c。 5. 写出描述现象的关系式。 12( , , , ) 0 23 在用布金汉 定理时，要选取 3个相互基本物理量，如何合理的选择这 3个基本物理量呢？ 答： （ 1） 基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选（ M， L， T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （ 2） 选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （ 3） 为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动力学量中各选一个，即可满足要求。 24 文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图所示，已知 1，流体密度 ，液体粘度 以及大小直径 用 定律求出的压强降落 D 1D 22211Qh=25 1. 分析影响因素，列出函数方程 解 ： 根据题意可知，压强差 ，流体的密度 ，液体的粘度 以及大小直径 2有关，用函数关系式表示为： 0),( 21 可以看出函数中的变量个数 n 6 解题步骤 26 解题步骤 选取三个基本物理量，它们分别是几何学量 动学量 。 2. 选取基本物理量 1030130011d 331 010 01100量纲指数行列式 由量纲公式： 故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。 27 解题步骤 3363 111a b 2 2 2221a b 3. 列出无量纲 值 列出 个无量纲的 值。 其中 为待定指数。 i i ia b c、 、3 3 331a b 28 4. 根据量纲和谐性原理，确定各 项的指数 1 1 11 1 3 1 3( ) ( )a b M L L T L M 对于 1，其量纲式为： 1 1 111: 1 3 3:1:1L a b 111111所以 ： 11 解题步骤 29 解题步骤 2 2 23 1 3( ) ( )a b L T L M 3 3 31 2 3 1 3( ) ( )a b M L L T L M 对于 2，其量纲式为： 对于 3 ，其量纲式为： 222100333421122 2413 30 解题步骤 5. 写出无量纲量方程 0),(),( 2411211321 (1211241 )( R e ,12121上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它的无量纲性质。即： 31 题 目 流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为 D，由于阻力的作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为 l 的断面间的压强差 ，流体密度 ，动力粘性系数 以及管壁表面的平均粗糙度 等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用布金汉 定理求 p 的一般表达式。 32 1. 列出上述影响因素的函数关系式 解 ： 解题步骤 0),( 1 0 0d i m D L T M 011di m 103d 2. 在函数式中 n 7；选取 3个基本物理量，依次为几何学量 D、运动学量 ，三个基本物理量的量纲是 33 解题步骤 其量纲指数行列式为 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出 n 3 7 3 4个无量纲 项。 1 0 01 1 0 1 03 0 1 34 解题步骤 3. 列出无量纲 值 其中， 为待定指数。 i i ia b c、 、1111 a b 2222 a b 3333 a b 4444 a b 35 4. 根据量纲和谐性原理，各 项中的指数分别确定如下（以 1为例） 1 1 111: 1 3:0:0L a b 111100所以 ： 1解题步骤 1 1 113( ) ( )a b L T L M36 解题步骤 同理可得 D 3 24 5. 写出无量纲量方程，其中 2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以 0),( 2 题步骤 求压差 p 时，以 ， 代入，可得 / , R e / /g D V v D V v R e ,21令 ，最后可得沿程水头损失公式为 )( R e ,1 上式就是沿程损失的一般表达式。 38 题 目 试用瑞利法和 定理（布金汉定理）推导圆柱绕流的阻力 说明瑞利法和布金汉 定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流阻力 、流体的流速 V、流体的密度和流体的动力粘滞系数有关。 . 已知与阻力 d， V， ， ，即 解 ： 一、瑞利法求解 解题步骤 2. 将阻力写成 d， V， ， 的指数乘积形式，即 ( , , , )DF f D V a b c k D V 3. 写出量纲表达式 ()a b c i m F k D i m D V 40 解题步骤 因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以不能全部解出。我们保留其中的 e，待实验中去确定，并用它表示其余的指数 4. 选 L、 T、 示各物理量的量纲 23 a b c e c e b T L M T 5. 由量纲和谐性原理，求各量纲的指数 L： 1= a+M： 1= c+e T： a=2b=2c=11 解题步骤 6. 带入指数乘积式，得 2 2 1e e e k D V 2 2 2 2( ) ( ) V k D D V即 22 Re k D V如果令绕流阻力系数 ， 得阻力公式 2222D D l D C A其中，绕流阻力系数 后由实验确定。 42 1. 根据题意，本题共有 5个物理量，即 n = 5，这些物理量之间存在下述关系式 解题步骤 2. 选取 3个基本物理量，依次为几何学量 D、运动学量 ，三个基本物理量的量纲是 二、 定理求解 ( , , , , ) 0 D V 1 0 0d i m D L T M 011di m 103d 43 解题步骤 其量纲指数行列式为 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出 n 3 5 3 2个无量纲 项。 1 0 01 1 0 1 03 0 1 44 解题步骤 3. 列出无量纲 值 其中， 为待定指数。 i i ia b c、 、1111da b 2222 a b 4. 根据量纲和谐性原理，各 项中的指数分别确定如下 对于 1，其量纲式为 1 1 12 1 3( ) ( )a b M L L T L M 45 1 1 111: 1 3:2:1L a b 111221解题步骤 1 22对于 1，其量纲式为 2 2 21 1 1 3( ) ( )a b M L L T L M 2 2 222: 1 3:1:1L a b 22211112 D V 46 解题步骤 5. 写出无量纲量方程，其中 2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以 22 ( R e )dF 2222 2 ( R e )( R e ) ( )22f V VF f D V l D C 式中： ，称为绕流阻力系数，与物体的形状和雷诺数有关，由实验确定。 2 ( R e )以上可以看出，用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。一般，瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数 n45个，而布金汉 定理是具有普遍性的方法。 47 式中无量纲项 为阻力系数； 为雷诺数。 由上面分析可知，实验研究对光滑球形潜体的作用力，归结为实验测定阻力系数 样一来，实 施这项实验研究只需用一个 球，在一个温度的水流中实 验，通过改变水流速度，整 理成不同 如图 5 1所示。按式 (5 4)及图 5 1计算流体对光滑球形潜体的 作用力，对不同尺寸的 球和不同粘度的流体都是适用的。 5 4） 图 5 1 圆球阻力系数图 2222 2 ( R e )( R e ) ( )22f V VF f D V l D C 2 ( R e )8 流体相似概念 49 何为模型试验的力学相似，它包括那几个方面的内容？ 答：所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对应物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之间应互相平行，并保持一定的比例关系（指矢量与标量物理量的数值，如力的数值、时间与压强的数值等）。 流体力学相似包括以下四个方面： 1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似 50 为什么每个相似准则都要表征惯性力？ 答：作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力（如重力、粘滞力、流体动压力、表面张力和弹性力）都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律 。流动的变化就是惯性力与其它上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。 F m a r 目 2分别写出欧拉数与韦伯数的表达式，其各自的物理意义是什么？ 欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似 。 答： 252 列表各相似准则及其比尺 53 题 目 原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？ 答： 当采用同一种流体，不可能同时满足两种相似。 因为：当重力相似时 21 / 21 而粘滞力相似时 11 可知速度比尺不同，也即不能同时满足两种相似。 54 解题步骤 若采用不同流体时，在理论上是可能的。因为：当重力相似时 21 / 21 而粘滞力相似时 11l 联立以上两式，可得当时 ，能够同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则，但是在实际中是不可能的。 3 / 255 相似理论的应用 56 题 目 有一直径 d=50道长 l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用 10 的水和管径 5 求模型管道的长度和通过的流量。 420 1 . 3 1 1 0 /v m s30 . 1 /Q m s57 解 ： 该管道模型的几何比尺为 解题步骤 05 所以模型管道的长度 0 /40 . 1 0 . 5 1 m / 1 4 0 . 5 判别原型管道中的流态： 00 . 5 1 0 . 5 1 9 4 7 2 0 0 041 . 3 1 1 0 58 解题步骤 所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则（雷诺相似准则）计算模型中流量 10 水的运动粘滞系数为 ，模型运动粘滞系数比尺为 420 1 . 3 1 1 0 /v m s041 . 3 1 1 010040 . 0 1 3 1 1 0 流量比尺 1 0 0 1 0 1 0 0 0Q v l 30 . 1 0 . 0 0 0 1 m / 0 . 1 / s 故模型管道中的流量 为 59 题 目 渠道上设一平底单孔平板闸门泄流，上游水深H=3m，闸前水流行近流速 s，闸孔宽度 b = 6m，下游为自由出流，闸门开度 e =欲按长度比尺 l =10 设计模型，来研究平板闸门的流量系数 ，试求：（ 1）模型的尺寸和闸前行进流速 2）如果在模型上测得某点的流量为 81.5 l / s，则原型上对应点的流量 3）闸门出流的流量系数 为多少？ 60 解： （ 1）模型尺寸设计和闸前行近流速 解题步骤 因为闸孔出流主要作用力是重力，所以按重力相似准则设计模型。模型的长度比尺为 l =10，则模型中的尺寸为 上游水深 30 . 310 闸孔宽度 6 0 . 610 1 . 0 0 . 110 闸门开度 61 重力相似准则条件下的流速比尺 1 / 2解题步骤 0 1 / 200 0 . 6 0 . 1 9 /10 v 所以 （ 2）原型流量 Q 的计算 重力相似准则条件下的流量比尺 2 / 5Q l2 / 5 2 . 5 30 . 0 8 1 5 1 0 2 5 . 7 6 /m Q m Q m s 即原型上的流量为 32 5 . 7 6 /题步骤 （ 3）计算流量系数 02SQ b e g H 流量系数 是常数，在原型和模型上都相同。 根据平板闸门自由出流计算公式： 由于行近流速很小，可以忽略不计 H，自由出流 。 1S 即平板闸门闸孔出流的流量系数为 2 5 . 7 60 . 5 62 6 1 1 9 . 6 3Qb e g H 63 题 目 设有油罐，直径 m，油温 20 ，已知油的运动粘度 p=s ，长度比 左右，试进行下面各项研究：（ 1）选定何种相似准则？（ 2）模型流体的选定？（ 3）各项比例的计算。 2 64 解： （ 1） 油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。 因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗汝德数。 解题步骤 （ 2） 模型流体的选定 1 / 2 1 / 2r3 / 2 3 / 248 65 由于运动粘度 的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。现在选用 20 的 59%的甘油溶液， ，与计算值很接近，但在试验过程中要保持 20 的温度。于是模型液体的运动粘度应为 ,而不再是 了。 解题步骤 20 . 7 4 0 . 0 9 2 5 /8c m s 2 /c m c m c m c m 题步骤 （ 3） 模型流体选好后，由于所选择的 ，所以对长度比 l 应进行修正 2 /cm 3 2 / 3 2 / 30 . 7 4( ) ( ) 4 . 10 . 0 8 9 2 即长度比 不是 4。因此模型油罐的直径为 4 0 . 9 7 64 . 1 67 解题步骤 流速比 v 按弗汝德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果） 1 / 2 2 / 3 1 / 2( ) 4 . 1 2 . 0 2 5 可知模型油管内的流速大致为原