复变函数题库.doc

1. 设，求在内的罗朗展式.解 因为 所以 .2.解 因为,.所以.3. 设，其中，试求 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内, .所以.4. 求复数的实部与虚部.解 令, 则. 四. 证明题.1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .若, 则 为常数.若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.解 令.则.又因为在正实轴取正实值，所以.所以.3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆的右半圆.单位圆的右半圆周为（ ），所以.4. 求 .解 =0.四. 证明题1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.证明 (必要性) 令,则. (为实常数). 令. 则. 即满足, 且连续, 故在内解析.(充分性) 令, 则 ,因为与在内解析, 所以, 且.比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.即证“任一 次方程 有且只有个根”. 证明 令, 取, 当在上时, 有由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.所以收敛半径为.3. 算下列积分：，其中是. 令, 则 .故原式.4. 求在|z|1内根的个数. 令 , . 则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有. 即在 内, 方程只有一个根.四. 证明题设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数.1. 解方程.2. 设，求解 , .故原式.3. . 解 原式.4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.解 =，令，得，而 为可去奇点 当时， 而 为一阶极点.四. 证明题1.证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑 .而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.2.证明方程在内仅有3个根.证明 令, , 则与在全平面解析, 且在上, ,故在内.在上, , 故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.1. 计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.解 连接原点及的直线段的参数方程为 , 故.2.求积分：，其中0a1.令, 则. 当时, 故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有.4. 应用儒歇定理求方程，在|z|1内根的个数，在这里在上解析，并且.解 令 则在内解析, 且在上, , 所以在内, , 即原方程在 内只有一个根.四. 证明题1. 证明函数除去在外，处处不可微.证明 因为, 故. 这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.1、.解 因为故.2、设，其中，试求.解 因此 故.3、设，求.解 4、求函数在内的罗朗展式.5、求的值.解：四、证明题（20分）1. 方程在单位圆内的根的个数为6.证明：设则在上， 即有.根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.2. 若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.证明：设，则, 由于在内解析，因此有 , .于是故，即在内恒为常数.3. 若是的阶零点，则是的阶极点.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.1、设，求.解：因此2、利用留数定理计算积分：，.解：设，则，故奇点为.四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为7.证明：设则在上， 即有.根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7.五、计算题（10分）1、若函数在区域内连续，则二元函数与都在内连续.证明：因为，在内连续, 所以, 当时有 从而有，即u、v在D连续，由的任意性知与都在内连续.3、求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘.解：设，则将区域保形映射为区域设, 则将上半平面保形变换为单位圆.因此所求的单叶函数为 . 4、利用留数定理计算积分.解：设则在内有两个一级极点，因此，根据留数定理有五、计算题（10分）1、求一个单叶函数，去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位圆盘.解：设则将区域保形变换为区域.设,则将区域保形变换为区域设则将保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为1 设。求，使得为解析函数，且满足.其中（为复平面内的区域）.（15分）解： .又 .故.2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分） （1） ； （5分） （2）. （5分）解: (1) 奇点为对任意整数, 为二阶极点, 为本性奇点. (2) 奇点为为本性奇点,对任意整数,为一级极点,为本性奇点.3 计算下列积分.（15分）(1) （8分），解: 共有六个有限奇点, 且均在内,由留数定理,有将在的去心邻域内作展开 所以，.(2)解: 令,则再令则,故由留数定理,有4、叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数.（10分）解：儒歇定理：设为一条围线，若函数与均在内部及上解析且，则与在内部的零点个数相同.令, 则在内解析且当时 ,由儒歇定理的根个数与根个数相同故在内有4个根.5、讨论方程在内根的个数。（10分），有，由定理知在没有根。四、证明题（20分）1设函数在内解析，令。证明：在区间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则常数.（10分）证明: (1) 则，故,即在上为的上升函数.(2)如果存在及使得，则有 于是在内恒为常数,从而在内恒为常数.1 设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值连续解析分支在处之值。 （10分）解： 由 得 从而有2（1）求的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分） 解：（1）的各解析分支为，. 为的可去奇点，为的一阶极点。 （2）求。