全国高考广东数学卷的命题特点及对高三复习的启示.doc

全国高考广东数学卷的命题特点及其对高三复习的启示广州七中 陈世明摘要：高考试题是中学教学的“指挥棒”，是高三复习的“方向标”对高考试卷命题特点的研究既可揣摩命题者的命题意图和命题技术，又可从中收获对高三复习的启示，从而使高三复习少走弯路，促进“复习与考试”更加“同频”，提高高三复习益关键词：高考试题；命题特点；高三复习高考试题是中学教学的“指挥棒”，也是高三复习的“方向标”，因而每年的高考试题历来是中学教师关注的焦点尽管数学试题不计其数，全国各地有份量的模拟试题也层出无穷，但惟有每年的高考试题独好，尤其是全国高考实施各省、市自主命题以来，“高考好题”大量涌现，因而每年高考结束后总会吸引许多老师对高考试题进行研究，在感悟“高考好题”的同时，这些“高考好题”是如何命制出来的？有什么特点？对高三复习又有何启示？是广大教师又一关心的热点问题下面就这一热点问题，本人谈一点粗浅的发现和体会，供大家参考，并请指教！一、全国高考广东数学卷的命题特点本人研究发现，自从实施各省自主命题以来，广东卷的命题主要呈现出下列三大特点（一）从陈题改造中命制高考题所谓陈题改造，就是对一些已知的典型题目,从结构上实施改造(如交换条件和结论或对条件和结论作等价转换或减弱条件或加强结论等)使之以一种新的面貌呈现的命题方法在高考命题中，命题专家常用这一方法来命制高考试题1将教辅资料中的一些典型例、习题改造成高考题例如文1上的例4为：题1 是我方三个炮兵阵地，在正东6千米，在的北偏西，相距4千米为敌炮阵地，某时刻处发现敌炮阵地的某种信号，由于两地比距地远，因此4秒后，才同时发现这一信号，该信号的传播速度为1千米秒，若炮击地，求炮击的方位角将题1的条件与结论作等价转换，以一种新的面貌出现，即得：例1(2004年广东卷)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s已知各观测点到该中心的距离都是1020m 试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340m/ s，相关各点均在同一平面上)又如文1上的为：题2已知直线与园交于，与双曲线交于，如果两点把线段三等分，求直线的方程将题2中的条件稍加改造（将设定的直线方程去掉、圆改为椭圆）就得：例2(2004年广东卷)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线相交于C、D两点，C、D三等分线段A、B. 求直线的方程【点评】一套高考试题中，出现两道解析几何的解答题，并且还出自同一种教辅资料，“相似度”还这么高，这在高考历史上是十分罕见的！2将以往的高考题改造成新高考题例如1990年全国高考理科试题中的立几题为：题3 如图1,在三棱锥SABC中,SA底面ABC,ABBC，DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SAAB,SBBC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数将题3中的几何关系（SA底面ABC,ABBC，DE垂直平分SC）改造成数量关系，即得：例3（2005年广东卷）如图2所示，在四面体PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=，F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB （）证明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小【点评】将题3中的几何关系改造成数量关系，从而推出例3，的确很有创意！但增加了计算量在例3中为求二面角BCEF的大小，则先需证明PB平面CEF，这恰为第（I）问需证的结论，这也相当于给出了提示，从而也就减少了思维量；而在题3中为求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数，也需先证SC面BDE，但在题中没有提示，因而思维量较大比较两题，感觉题更符合“多考一些想，少考一些算”的高考命题理念又如1998年全国高考文科数学试题中的数列题为：题4 已知数列是等差数列， （）求数列的能项；（）设数列的通项，记是数列的前项的和，试比较与的大小，并证明你的结论在题4中，比较与的大小，实为证不等式，将该不等式两边取倒数，就得下列例4中的不等式例4（2009年广东卷）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（）求数列的通项公式；（）证明：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【点评】例4的第（2）问等价于不等式和不等式同时成立；而题4的第（）问等价于证明不等式，易见不等式与不等式是一对“姊妹”不等式，因此，例4应是由题4改造而成从表面来看，例4不失为一道优美的试题，但“拼凑”的痕迹太明显了，作为全卷的压轴题，似乎还缺乏一定的深刻性虽然该题全省的平均得分很低（全省平均得分仅为分），但笔者认为，并不是该题有多难，而是前面的题耗时太多致使许多考生没有时间做到该题，若将它放到前面一点，相信平均分会高出很多又如2006年全国高考福建卷理科数学第12题为：题5 对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：AB=x x+y y给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则AC+CB=AB；在ABC中，若C=90，则AC+CB=AB；在ABC中，AC+CBAB其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3将题5的条件保持不变（只是将“距离”的符号改变），把其中的命题整合并加强，即得：例5（2010年广东卷（理）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为，对于平面上给定的不同的两点（1）若点是平面上的点，试证明：；（2）在平面上是否存在点，同时满足：； 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明【点评】改造后的例5虽然是压轴题，但难度并没有比题5的难度增大多少，从而影响了整卷的区分度，因此该题作为压轴题似乎欠妥！再如2006年全国高考江西卷理科数学第22题为：题6 已知数列满足：，且（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，不等式 通过引进参数，将题6的条件和结论实施改造，即得例6（2011年广东卷（理）设,数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数， 【点评】例6与题6的题型结构如出一辙，虽然例6的条件中引进了参数，但例6与题6的第一问的解法基本一致（例6需讨论的取值）；题6的第（2）问的背景为贝努利不等式：设且同号，则，考查的是数列的前项的一个整体性质，而例6的第（2）问的背景则为均值不等式，考查的是数列的通项所具有的共同性质，两题的证明都十分优美当然从考查思维的深刻性来说，若不给出公式提示，例6就更加完美了，尽管如此，对广东卷来说例6仍不失为难得一见的“高考好题”3将课本中的典型例、习题改造成高考题例如人教A版教材必修5第88页上的例5为：题7 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，食物A含有的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，花费元；而食物B含有的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，花费元为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少？该题是一道典型的线性规划的应用题，将题中的条件和结论“改头换面”，即得：例7（2010年广东卷（理）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是25元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【点评】将课本例、习题改造成高考题是广大中学数学教师的殷切期望，其功效也是不言而喻的！但在改造课本例、习题时要把握好“火候”、恰到好处，应给人一种“源于教材，但又高于教材”之感，否则易“弄巧成拙”对例7来说，感觉不像改造，更像“抄袭”！因为例7与题7没有一点本质上的差别，假若将例7改造为“整数解”的问题，并将条件“如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是25元和4元”改成“如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是3元和5元”，则例7的立意要深刻得多，当然难度也增大不少，但对理科学生来说还是适宜的 5将竞赛题改造成高考题 第2届美国数学邀请赛有如下一题：函数定义在实数集上，且对一切实数满足等式：设是的一个根，记在区间中的根的个数为，求的最小值通过继承和改造原竞赛题的核心条件，增加和变换原竞赛题的结论即得：例8（2005年广东卷）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有 （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论【点评】数学竞赛的功能之一是：通过数学竞赛的传播，将一些“奥数”内容逐渐下移至中学数学之中纵观历年的各类竞赛，已有不少的竞赛题现已成为中学数学的例、习题，近年来，高考命题专家也常用“奥数”元素命制高考题例8中，继承和改造了原竞赛题的核心条件，增加和变换了原竞赛题的结论，因而减少了“竞赛味”，增加了“高考味”，使得题目更具“亲和力”，是一道考查能力的“高考好题”（二）、应用“高数”或“奥数”元素命制高考题近年来，将高等数学中的有关概念、结论及高等数学中的思想方法用来高考命题已屡见不鲜，而以竞赛题为背景或直接应用“奥数”内容进行命题也时有出现因此，应用“高数”或“奥数”元素命制高考题现已成为高考命题专家在命制高考题时常用的方法和手段 1应用数学分析中的闭区间上连续函数的“零点存在性定理”命制高考题 例9（2004年广东卷）设函数，其中常数为整数. (1) 当为何值时，； (2) 定理: 若函数在上连续,且与异号，则至少存在一点,使试用上述定理证明:当整数时,方程,在内有两个实根.【点评】“零点存在性定理”是闭区间上连续函数的重要性质之一当时这一定理还属“高数”内容，现已成为新课程高考的一个重要考点，以“零点存在性定理”为背景的高考题已常出现在新课程高考卷中 2应用数学分析中的“李普希慈（Lipschitz）条件”命制高考题 例10（2006年广东卷）是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意的，都有；存在常数，使得对任意的，都有(I)设，证明：； (II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；(III) 设，任取，令，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式【点评】题中条件即为函数在上满足的“李普希慈（Lipschitz）条件”，它是将“函数值的差”进行放缩的依据和技巧之一，对于给定的函数来说，常数的确定值得进一步探究3应用计算方法中的“牛顿法”命制高考题例11（2007年广东卷（理）已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数，都有；（3）记，求数列的前项和【点评】所谓“牛顿法”就是利用导数求方程近似解的一种方法若设方程的根的第次的近似值为，且，则满足递推公式（牛顿法公式）：不难看出，例11中的就是方程，的根的第次的近似值，由“牛顿法”的几何意义来看，第（2）问的结论是一个不证自明的事实，但对学生来说却是陌生的，将它用作高考题既新颖又不超纲，显示了命题专家的高超智慧，甚称应用“高数”元素命题的典范4应用近世代数中“代数运算”的概念命制高考题例12（2006年广东卷）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则A. B. C. D. 例13（2010年广东卷（文）在集合a，b，c，d上定义两种运算和如下：那么dA B C D【点评】在近世代数中，设为三个集合，一个到的映射叫做一个到的代数运算代数运算实质上就是一个映射，用它来命题技术难度不大，又能考查学生自主学习的潜能，因而在近年的高考中，不仅广东卷中有这种题型，而且在全国其它省、市的高考卷中也经常出现这种题型5直接以“奥数”内容命制高考题例14（2008年广东卷（理）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和 【点评】本题为“二阶常系数齐次线性递归数列”的问题，它是“奥数”的基本内容之一，其常用解法是“特征根法”自从1984年全国高考首次考查“递推数列”以来，上个世纪八十年代中后期曾掀起了一股“递推数列”的研究热潮，后因高考内容和理念的调整，上个世纪九十年代初期开始，这股热潮渐渐退去但随着例14的出现，再加上有关专家和老师在2008年广东卷的试卷分析中的“推波助澜”、，这股热潮再度升温，以致于在2009届、2010届、2011届高考复习中，“特征根法”、“不动点法”等求递推数列通项公式的“奥数”特技频频出现！在例14中，尽管对“特征根法”作了“初数化”处理，但对没有参加“奥数”培训的学生来说，仍感到难度很大；而对有参加“奥数”培训的学生来说，则感到该题很容易，因而该题有失“高考公平性”的嫌疑！（三）、在知识网络的交汇点处命制高考题在知识网络的交汇点处命制高考题就是：将中学数学中不同模块或不同学科的相关联的知识点进行综合、加工来命制试题，其常用手段有：嵌套、嫁接、移植、叠加、穿插、拼凑及包装等1将三角函数与数列实施“嵌套”来命制高考题例15(2004年广东)已知成公比为2的等比数列，且，也成等比数列，求的值【点评】在传统的题库里，三角函数与数列的交汇题似不多见，而例15将正弦函数与等比数列实施“嵌套”，构成三角函数与数列的交汇题，确实给人耳目一新之感，该题无疑是一道优美的“高考好题”2将概率统计中的“数学期望”与“错位相减求和”进行“嫁接”来命制高考题例16（2005年广东）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为：现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数 （）求的分布列； （）求的数学期望【点评】求离散型随机变量的数学期望和方差其本质就是求数列的和命题专家敏锐的抓住这一可“嫁接点”，在本题中，将随机变量的取值设计为等差数列，而将随机变量取这些值的概率设计为等比数列，从而求的数学期望就成为了用“错位相减法”求数列的和，将概率统计与数列求和“嫁接”得 “天衣无缝”，充分展现了高考命题专家过人的命题智慧和高超的命题技术，是一道不可多得的“高考好题”3在传统的立几题中“移植”平几元素来命制高考题例17(2006年广东)如图3所示，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角例18（2008广东理）如图4所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积 例19（2010年广东理）如图5，弧是半径为的半圆，为直径，点E为弧的中点，点B和点C为线段AD的三等分点平面AEC外一点F满足，（1）证明：EBFD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值图3 FCPGEAB图4D 图5【点评】“删减平面几何内容、降低平面几何难度”是历次初中数学教材改革的焦点尽管这一焦点遭到了如姜伯驹等众多资深数学家的反对，但至今仍成为了现实！虽然将删减的平面几何内容作为选修课程出现在高中数学新课程选修教材中，但由于高中数学新课程教材的内容多、课时紧，因而很少有学校选修该内容为了弥补这一损失，也为了引起广大中学师生对这一内容的重视，全国高考广东数学卷在命制立几题时，常常移植平面几何的元素，上述三题就是这种命题思想的典型范例有趣的是，不知是巧合还是有意为之，上述三题出现的年份恰为等差数列，而图中出现的圆的个数则为等比数列另外，上述三个图形既不是旋转体也不像常见的多面体，构成了全国高考广东数学卷立几题的独有特色！4将立几、函数、导数等知识进行“叠加”来命制高考题PEDFBCA例20（2007年广东理）如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积（1）求的表达式；图6（2）当为何值时，取得最大值？（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值 【点评】空间直线与平面位置关系的定义、公理及有关的定理是构建立体几何这一学科的理论基础，也是培养空间想象能力和推理能力的重要载体，因此，在历年全国高考各省、市数学试卷的立几题中，一般设有23问，且其中必有一问考查空间直线与平面位置关系的判定或证明上述例20别具一格，将立几、函数、导数等内容进行“叠加”，构成递进式的设问方式，充分体现了在“知识网络交汇点处设计试题”的高考命题理念，但感觉到该题的“立体几何味”欠浓，证明成分少，让计算抢尽了“风头”，有偏离立体几何教学轨道的嫌疑，也是当年高考后引起议论最多的试题之一，预计这种题型在今后的高考中或许会“一去不复返了”！5将函数、导数、平面向量与解析几何等内容互相“穿插”来命制高考题例21(2006年广东理)设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点求(I)求点的坐标； (II)求动点的轨迹方程AyxOBGFF1图7例22（2008年广东理）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图7所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）例23（2009年广东理）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（）如何取值时，函数存在零点，并求出零点【点评】解析几何就是用代数方法研究几何问题的一门学科，向量是一种重要的数学工具，用向量处理解析几何的一些问题，是近年来国际上的一种尝试函数是中学数学的主干内容之一，函数思想和方法贯穿于整个高中数学的全过程，导数是解决函数问题不可或缺的工具，自从导数进入中学数学以来，就一直为每年高考的必考点. 将函数、导数与解几、平面向量等内容互相“穿插”，在其交汇点处命题，是高考命题专家在命制高考题时常用的一种方法，这种题型更是近年高考的热点，且常考常新，是考查学生基础素质与综合能力的重要平台. 全国高考广东数学卷也不例外，比如：上述例21很难把它归为函数问题还是解几问题，而是在函数与导数问题中，既“穿插”了解几问题，又“穿插”了平面向量的一道典型综合题；例22表面看来为解几问题，但在求解的过程中既要用到导数工具又要用到向量工具；而在例23中，表面看来则为函数问题，但在求解过程中既要用到解几知识又要用到不等式因此，在这种命题方法上也具有鲜明的广东特色6将数列、不等式与解几（或函数）进行“拼凑”来命制高考题例24（2009年广东理）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（）求数列的通项公式；（）证明：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例25（2010年广东文）已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：w 【点评】数列与不等式的交汇题常出现在全国其它各省、市的高考试题中，且一般还处在压轴题的位置上全国高考广东数学卷在命制这种题型时，还加进了解析几何（或函数）的元素，因而不得不说这又是全国高考广东数学卷在这种题型上的一大特色从上述例24、例25不难看出，这两题就是将数列、不等式与解几（或函数）进行“拼凑”而成的虽然在2010、2011年广东卷理科试题中有意回避了这种题型（2011年回到了原点，只是数列与不等式的交汇题），但笔者认为这种题型在今后的高考中还会“卷土重来”，而且数列与不等式仍是其基本构件，至于还加进其它什么元素，我们将拭目以待！7将二次函数、二次方程、解几、导数与不等式等知识实施“包装”来命制高考题例26（2011年广东理）在平面直角坐标系上，给定抛物线:实数满足，是方程的两根，记 （1）过点作的切线交轴于点. 证明：对线段上任一点有； （2）设是定点，其中满足. 过作的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与线段上异于两端点的点集记为.证明：；（3）设.当点取遍时，求的最小值（记为）和最大值（记为）.【点评】该题是在多个学科知识交汇处与集多种数学思想方法于一身，并经过一系列“包装”而成的一道压轴题，考查的主要内容为：二次函数、二次方程、解几、导数与不等式等学科的最基本的知识，但经过命题专家的精心“包装”使一个本来很简单的问题变成了一道高考“难题”若揭去“包装”的神秘面纱，则其本来面目为：第（1）问就是证明二次方程（）的绝对值最大的根为；第（2）问是第（1）问的一种变式；第（3）问就是求二次方程（）的最大根的取值范围但作为命制高考压轴题的技术来说，仅有“包装”是远远不够的，还应有思维的深刻性和灵活性作支撑，从考查学科知识和思维能力上去建构从陈题改造中推出新题是中学数学命题的基本方法和技术，也是高考命题专家命制高考题时的常用方法和手段，而利用 “高数”或“奥数”元素命制高考题是近年来高考命题专家的杰作，尽管命题专家在命题时作了种种“伪装”，但仍背景明显全国高考考试大纲指出：“对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”因此，在知识网络的交汇点处命题既是全国高考考试大纲对数学基础知识的考查要求，也是新课程高考的命题理念之一，全国高考广东数学卷的命题不仅充分体现了这一命题要求和理念，而且极具广东特色，这种命题方法涉及到的学科知识主要是：函数、导数、三角函数、平面向量、概率统计、解几、立几、数列、不等式等支撑高中数学知识体系的重点内容，虽然用这种方法命出来的题定为综合题，但从历年广东卷的试题来看，难度都不太大，技巧性也不太强面对广东卷的这些命题特点，它给我们的高三复习有什么启示呢？ 二、对高三复习的启示（一）讲透陈题，变式向前众所周知，高三复习主要是讲题，可以说讲题的好坏，对讲的题讲透了没有，将直接关系到复习备考的质量那种只满足“就题论题”、“套题型”及“题海战术”（讲完一题，紧接着就讲下一题）的讲题方式已越来越难以适应当今的高考了，尤其像今年的高考，大家都认为今年广东题很难，文科题像理科题，而理科题像竞赛题但我个人认为，今年的广东高考试题还不是真正意义上的“难题”，只是比较“活”一点而已，其实今年的理科题不仅不难，而且是近年来计算量最小的一套题这里请注意，“难”与“活”并不完全等同，从心理学上来看，“难”主要体现在思维的深度上，而“活”主要体现在思维的灵活性上例如今年广东的文科立几题，据说全省平均得分只有分，显然为“难题”，不过与其说该题为“难题”，倒不如说该题比较“活”更合适，尤其是该题的第（）问，许多同学能证出，但就是想不到也证不出，导致该题失分为什么想不到也证不出呢？这一点并不是有多难，而是他们的思维太呆板了，不够灵活，事实上，题目告诉我们图中的几何体“是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的”，解题时为什么不把“移出去的一半”移回来呢？移回来不是很容易证出吗？更何况他们还经常玩这种模型呢，他们前段时间使用的手机不都是那种“滑盖式”吗，经常移来移去的，可解题时就是想不到，因此该题并不是有多“难”，而是学生的思维不够灵活又如今年广东的理科数列题的第（）问，其实也并不难，因为在最“难”的地方（将分解因式）已给出了公式，套一下公式就成了，还有什么难的呢？假如不给出这一公式，该题才称得上真正的“难题”，难在思维的深度上，因为这一公式从没学过，但可通过等比数列求和公式的逆用而得出，能想到这样去做，就需要思维有相当的深度才行由以上两例不难看出，学生之所以普遍认为今年广东的高考题“难”，主要是他们对今年的题不适应，与平时训练的题不“同型”出现这现象的原因当然是多方面的，但我个人认为与我们老师平时在解题教学中“讲题不透、缺少应有的变式”不无关系，因为那种“就题论题”、“套题型”及“题海战术”的讲题方式只能提高熟练程度，不能提高思维能力，更谈不上培养学生思维的深刻性和灵活性了这样一来，学生在考试中遇到平时练过的“同型”题时尚能应付，一旦碰到比较“活”一点的题时往往就束手无策遗憾的是，在解题教学中那种“就题论题”、“套题型”及“题海战术”的讲题方式至今还相当普遍，因此，我个人认为这也是目前中学数学教学中存在的一个主要问题讲题时，怎样做才称得上将该题讲得比较透了呢？根据我的解题经验，我认为要做好以下几点：1讲透“审题”在平时的教学中，我们老师常常告诫学生在解题时先要审清题意，然后再动手解题然而在解题教学中，我们常常发现，有的老师匆匆将题目读一遍就开始讲解解题过程，也有的教师连题目读也不读就直接讲解解题过程，他们既不讲如何审题也不讲怎样才叫做审清了题意，因而许多同学在解题时不知道如何审题，往往是将题读一遍后或连题都没看完整就开始解题，这样的解题结果可想而知那么怎样才算把题审清了呢？第一：模式识别把题读完一遍后，应识别以前做过此类题没有，是如何求解的，或者该题是哪一学科、哪一章节的问题，随后在头脑里快速搜索该学科、该章节里有哪些概念、定理、公式、 法则等，同时回顾这些概念、定理、公式、 法则等是否记得；第二：弄清条件和结论题中给出了哪些已知条件，要求的结论是什么；第三：从这些已知条件出发，能得出哪些结论（尽量得出），再将这些结论作为新的已知条件就能得出什么结论，这样下去看能否直接得出所要求的结论，若不能，第四：从结论入手，将结论进行等价转化，将所求的结论转化为一个更简单或更易懂或就是平时做过的问题有了这四点，我想题意应弄得比较清了2寻找解题思路在高三复习过程中，老师、学生都曾可能碰到过“不知何从下手”的“难题”诚然，有些“难题”的确很难，常人难以想到，但另有许多所谓的“难题”，并非想象的那样“难”，关键在于你是如何思考的，应从哪里入手其实对一般的“难题”而言，其解题思路还是有一定的规律可循的：解题就好像在一条河流上架设一座桥梁，题目的已知条件即为河的一岸，而题目的结论则是河的另一岸，由已知求出结论，也就是在已知和结论之间架起一座桥梁，当河面较宽时，不能“一桥飞架南北”，这时需在河流的中间架设一些桥墩，然后再一桥一桥架设过去，为了加快架桥的进度，则两边同时开工，当两边的架桥合拢后整座桥也就架通了我们在解“难题”时，一方面从已知条件出发，看能得出什么结论（尽可能的得出），然后再将得出的结论作为新的条件，看又能得出什么结论，这样一步一步直奔结论而去；另一方面从结论入手，看看要得到这一结论，只需要什么条件即可，又只需要什么条件即可，这样下去，当从已知出发得出的结论与从结论入手需要的条件“合二为一”时，解题思路也就找到了，我们把这种寻找解题思路的方法称为“双向分析法”3解决关联点所谓关联点就是从已知条件出发得出的最后结论与从结论入手所需要的必要条件解决关联点就是将从已知条件出发得出的最后结论与从结论入手所需要的必要条件“合二为一”起来解决关联点常常需要“观察、猜想、类比”等合情推理的参与，联想过去是否曾做过类似的题，有哪些已知的解题方法可用等，这一步是整个解题的又一关键所在4解题后的反思解题后的反思的过程就是解题经验积累的过程，正如波利亚所指出的：“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”解题后到底该反思些什么呢？我个人认为：（1）反思该题考查了哪些知识点解完一道题后，应列举一下该题考查的知识点，通过列举所考查的知识点，一方面可加深理解所考查的知识，另一方面可摸清命题者的命题意图，以提高应试技能（2）反思解题过程的合理性及严谨性可能由于审题不清等原因，会导致解题方法错误或解题过程不严谨或解题过程繁复等情况的出现，通过对解题过程的合理性及严谨性的反思，既可以及时修补错误，又可以优化解题过程，克服“会而不对，对而不全”的现象（3）反思解题方法的灵活性很多数学问题（特别是高考试题）入口宽、方法多，解题后应从多角度思考看是否还有更好的解法，通过寻找新的解法，可以开拓思路，防止思维定势，及时总结出各类题的解题技巧，以养成“从快、从优”的解题方式（4）反思解题思维的深刻性 在平时的考试或练习中都将会遇到一些不同程度的“难题”，在解完这些“难题”后，应思考该题究竟“难”在哪里？为何一时想不到？最后用什么方法和手段去突破的？有什么经验教训可吸取？以提高解题思维的深刻性 （5）反思书写是否规范 在考试中因书写不规范（如说理不充分、缺少必要步骤、乱引用书上未证结论等）而失分的现象很普遍，通过解题后对书面表达的反思，既可避免不必要的失分，又能培养良好的思维品质5解题后的变式对于一些典型的题目，当该题被解决后，还应考虑一下看能否将该题再往前推进一步，一方面考虑用此法还可以解决哪些相似或相近的问题，另一方面考虑从该题出发能否变出一些新的题或将在解题过程中用到的公式、定理再向前迈一小步等通过这样的反思，也许你所变出的新题就是将来的高考题，或你所用的解题方法就是将来解高考题的方法，或你将公式、定理向前迈出的一小步就是将来解高考题时要用的结论例如今年广东高考理科卷的立几题，第（）问想不到如何做辅助线又不好建立坐标系，因而在平时考试中稳拿满分的立几题也变成了“难题”（据说全省平均分只有5.85分）其实该问的证明不用标准答案中作辅助线的方法，而用“双向分析法”也不难找到另一种自然的解法，事实上，如下图所示，欲证平面，只须证平面，只须证，只须证，只须求的长，只须求，只须求的长要求的长则需用三角形中线长公式，而三角形中线长公式在中学并没有学，但在中学学了平行四边形的一个性质：“平行四边形的对角线的平方和等于一组邻边平方和的两倍”，教学中，只要将这一结论向前迈一小步就得三角形中线长公式，有了这一公式该题也就不难了当然，解答该题时，若第（）问一时做不出，可先做第（）问，这时就容易想到作标准答案中的辅助线了，但这需要思维的灵活性这里需要指出是：“讲透陈题，变式向前”并不是在讲解每一题时都须去做上述五点，这样的话时间肯定不够用，因为在目前的高考题型和学情下，还是很有必要尽量多讲一些题，“题海战术”也绝不能完全弃之不用，但对一些典型问题应讲清讲透，它既可促进“三基”的掌握，又能加强知识的有效迁移，是提高学生解题能力的本质途径 （二）遵循大纲、但又要适当的超越大纲 长期以来，我们老师对高三复习遵循的一个基本原则就是“依纲靠本”在大大小小的各种高三复习备考会上，领导、专家也一再强调高三复习要研讨大纲、回归课本，而且还有专家对每年的考试大纲作详细解读，甚至细到今年的大纲比去年的大纲增加了哪几个字，又删除了那几个字，将大纲当“圣经”一样来对待，搞得很多老师在高三复习中不敢越雷池一步然而在高考命题时，命题专家严格按大纲去命题了吗？显然没有！不仅现在没有，其实早在全国统一命题的时候就已经没有，不是很早以前就听说过这样一个词吗？“遵循大纲，但不拘泥于大纲”“不拘泥于大纲”是什么意思？不就是“超纲”吗？事实上，自从实施各省自主命题以来，广东卷的命题也时有“超纲”，例如08年的“二阶线性递推数列通项公式”的问题，属“奥数”内容，尽管在命题时作了“初数化”处理，但仍无法消除“超纲”的嫌疑又如今年的数列题的第（）问，若用“元的均值不等式”去证还难什么呀！但“元的均值不等式”大纲根本就不作要求的另外，考试大纲对知识的考查分为“了解、理解和掌握”三个层次，其中“了解”属最低层次，以前许多老师会认为处在“了解”层次的知识高考时不太可能出大题，然而偏偏有省在处于这一层次的知识出了大题（2006年湖北，正态分布），广东也不例外，比如双曲线也是处在这一层次的知识，2010、2011年高考连续考了双曲线的大题又如定积分在大纲中也是处在“了解”层次的知识，广东的高考还从没考过大题，能否保证今后的高考也不考？还有现在广东的考纲中对柯西不等式已不作要求，但在高考中是否有可能用它去解题？从全国的考试题来看，自从08年以来，已有许多省的高考试题均可用柯西不等式去求解的，它们中既有客观题，也有主观题甚至压轴题，而且用柯西不等式去求解显得尤为简单当然这些题不用它们去求解也是可以求解的，但难度会更大，例如今年广东的数列题的第（）问不用“元的均值不等式”去证，而用“二元均值不等式”当然可解，但技巧性更强（须倒序相加，再两两配对），更难以让人想到所有这些无不在提醒我们在高三复习中，既要遵循大纲，但同时也要适当超越大纲，以降低高考“难题”的难度当然，“超纲”要适度，要把握好“火候”，否则不仅会加重学生负担，而且还会适得其反，这就要求我们老师要去研究高考命题规律，关注高考动向，同时还应加强“高数”、“奥数”与“初数”关联点的研究与探索，促使“复习与考试”更加“同频”，最大限度地提高复习效率 （三）认清难题本质，加强有效训练高考是选拔性考试，因此每年的高考试题中必然会出现一些以考查学生能力为主的“难题”，那么对学生来说，这些高考难题，究竟难在哪里？我个人认为主要有：（1）难在平时训练中留下的心理阴影；（2）难在对题意不理解；（3）难在不能及时调整解题思维；（4）难在不会化归转化；（5）难在运算不过关从历年广东卷的命题特点和目前的学情来看，主要难在“对题意不理解”和“不会化归转化”上解题时若能弄透题意，揭开包装的“神秘面纱”，还“庐山”真面目，“难题”也就不再难了例如今年广东理科卷的第8题为：设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是A. 中至少有一个关于乘法是封闭的B. 中至多有一个关于乘法是封闭的C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. 中每一个关于乘法都是封闭的该题无疑为一道难题，而且很明显是难在“对题意不理解”上，如何弄透该题呢？在教学中，我是这样去做的，理解层次一：把它设计为下列七个小问题去理解（1）一个数集S关于数的乘法是封闭的是什么意思？（2）能否用自己的话把它讲出来？（3）能否举出一个这样的数集S的例子来？（4）能否再举出一个反例？（5）T,V是怎样的两个集合？（6）它们满足的条件有哪些？（7）你能举出满足上述条件的T和V吗？当做好了上述几项工作后，对该题的理解应比较透了，再用排除法去求解就不难选出正确答案据说华师的一位老师做该题时花费了十多分钟才举出例子并用排除法选出正确答案的当然，对本题来说通过举例用排除法求解不失为一种好方法，但花费了十多分钟说明一时还没有看透该题本质，那么该题的本质是什么呢？理解层次二：该题的本质其实就是将整数分成两类T和V，并且对于每类中的任意三个数其乘积仍为该类中的一个数，问这样的一种分类得到的T和V中有几个是关于数的乘法是封闭的.看透该题的本质后，举例就变得非常容易了，事实上，我们在初中就已知道，整数既可按奇、偶性来分类，也可按正、负、零来分类，若按奇、偶性来分类：整数分成奇数和偶数两类；若按正、负、零来分类：整数分成负整数和非负整数两类，不难看出这两种分类都符合题意的.由此看来，要看透一个问题哪怕是一个看起来很简单的问题的本质也是不那么容易的，在高三复习中需要加强这方面的训练又如今年广东理科卷的压轴题大家也认为是一道难题，前面说了，今年高考广东理科题像竞赛题，大概该题就像竞赛题吧！尤其是经过一些“高数化”语言的精心包装，使题目生涩难懂，但在理清题意以后，随着“神秘面纱”的逐步揭开（见前面例26的点评），发现该题不仅不像竞赛题，而且该题所考查的知识竟然没有超过高一第一学期的内容，还难什么呢！事实上，（1）不妨设，切线的方程为（其实该切线方程不用导数，而用判别式法也可简单求得），即，令，则，又线段，所以，即，又，所以，所以是方程的一个根，设其另一根为，则，所以，故 （2）由（1）知，的方程为，的方程为，因为，所以， 又，所以，是方程的两个不相等的实根，所以，所以又，所以故 （3）联立，得交点，因为，所以由得：，所以又，所以，从而，即，所以又令，则，所以当，即时，从而因此教会学生如何去弄透题意，怎样揭开包装的“神秘面纱”（其实就是化归转化），是整个高三复习过程中面临的一项艰巨而重要的任务（四）加强解题研究，暴露思维过程 高效、优质的数学教学一定是数学思维活动的教学，所以教师在教学过程中要充分暴露自己思维的真实过程，“没有过程就等于没有思想”为此，一方面教师必须养成独立解题的好习惯，另一方面还应加强解题方法的研究，毕竟只有讲自己的解题经历，才能充分暴露自己思维的真实过程，使学生对解题过程产生亲近感；只有对解题方法有所研究，才能在解题教学中既有不同于标准答案又有出乎学生意外的巧妙解法，从而