如何求数列通项公式.doc

数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要会灵活运用；求出后，要验算n=1时是否成立。一、公式法 等差型：；等比型：；复合=f(,)；=(或)，用作差法：例1已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项式.二、累加法 f(n)是等差或等比型 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。（）三、累乘法 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。（）评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求的通项公式。（）（2004年全国I）评注：本题关键是把递推关系式转化为，进而求出，可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。四、构造数列法 ； ；（p，q均为常数）。找系数 解法：把原递推公式转化为：，其中，得等比数列。例5 已知数列中，求.解：，令，则,且是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.解法：一般地，先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。例6 已知数列满足，求数列的通项公式。（）评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而知数列是等比数列，进而求的通项公式，再求出的通项公式。例7 已知数列满足，求数列的通项公式。（）评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例8已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。（）评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。解法倒数变换法 ；解法分别化为和开方变换法 ，得对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用）例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。五、迭代法例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。六、数学归纳法例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时， 由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。七、换元法例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即， 可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。八、作商法