09嵌入不等式_数学竞赛命题的一个宝藏.pdf

命题与解题 嵌入不等式 数学竞赛命题的一个宝藏 朱 华 伟 广州大学教育软件研究所 510006 中图分类号 O122 3 文献标识码 A 文章编号 1005 6416 2010 01 0014 03 收稿日期 2009 08 31 1 关于嵌入不等式 定理1 对 ABC和任意的实数x y z 均有 x 2 y 2 z 2 2yzcosA 2zxcosB 2xycosC 其中 当且仅当x y z sinA sinB sinC时 式 等号成立 不等式 称为嵌入不等式 显然 嵌入不 等式中的条件A B C 可推广 到A B C 2k 1 嵌入不等式还有一个形象的几何解释 如果0 A B C0 求证 u 1 a 2 v 1 b 2 w 1 c 2 vw u wu v uv w 2 题6 设 ABC为锐角三角形 求证 cosA cosB 2 cosB cosC 2 cosC cosA 2 8cosA cosB cosC 4 MOSP2000 证明 将所证不等式写成关于cos 2A cos 2B cos 2 C的形式 由恒等式 得 4 8cosA cosB cosC 4 cos 2A cos 2B cos 2 C 故只要证明 cosA cosB 2 cosB cosC 2 cosC cosA 2 4 cos 2A cos 2B cos 2 C 设x cosB cosC y cosC cosA z cosA cosB 由嵌入不等式得 cosA cosB 2 cosB cosC 2 cosC cosA 2 x 2 y 2 z 2 2 yz cosA zxcosB xycos C 2 cosC cosA cosB cosA cosB cosC cosB cosC cosA 再设x cosB cosC cosA y cosC cosA cosB z cosA cosB cosC 由嵌入不等式得 2 cosC cosA cosB cosA cosB cosC cosB cosC cosA 2 x 2 y 2 z 2 4 yz cosA zxcosB xycos C 4 cos 2A cos 2B cos 2 C 题7 设 i 0 i 0 1 i n n 1 且 n i 1 i n i 1 i 则 n i 1 cos i sin i n i 1 cot i 第29届I MO预选题 证明 当n 2时 cos 1 sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 0 cot 1 cot 2 当n 3时 即要证 已知两个三角形的 内角分别为 和 1 1 1 则 cos 1 sin cos 1 sin cos 1 sin cot cot cot 由cot b 2 c 2 a 2 4S S 表示三角形的 面积 知上式等价于 4Scos 1 sin 4Scos 1 sin 4Scos 1 sin a 2 b 2 c 2 又由S 1 2 absin 知上式等价于 512010年第1期 2bccos 1 2cacos 1 2abcos 1 a 2 b 2 c 2 此即为不等式 假设所证不等式对于n 1 3 成立 则对于n有 n i 1 cos i sin i cos 1 sin 1 cos 2 sin 2 n i 3 cos i sin i cos 1 sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 2 sin 1 2 n i 3 cos i sin i cos 1 2 sin 1 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 2 sin 1 2 n i 3 cos i sin i cos 1 2 sin 1 2 cot 1 cot 2 cot 1 2 n i 3 cot i cot 1 2 n i 1 cot i 因此 对一切n 2 所证不等式成立 题8 设a b c是给定的正实数 求所有 的正实数x y z 满足方程组 x y z a b c 4xyz a 2 x b 2 y c 2 z abc 第36届I MO预选题 解 首先证明如下引理 引理 方程 x 2 y 2 z 2 xyz 4 有正实数解x y z当且仅当存在一个锐角 ABC 使得x 2cosA y 2cosB z 2cosC 引理的证明 首先 由恒等式 知 所有 的三元数组 2cosA 2cosB 2cos C 均是方 程 的解 反之 易看出0 x y z 2 故存在A B0 2 使得x 2cosA y 2cosB 解关于z的方程 z 0 2 得 z 2cos A B 令C A B 则 x y z 2cosA 2cosB 2cosC 回到原题 将第二个方程变形为 a 2 yz b 2 zx c 2 xy abc xyz 4 令u a yz v b zx w c xy 则 u 2 v 2 w 2 uvw 4 根据引理 存在一个锐角 ABC满足 u 2cosA v 2cosB w 2cosC 于是 由第一个方程推出 x y z 2xycosC 2yzcosA 2zxcosB 即 x 2 y 2 z 2 2xycosC 2yzcosA 2zxcosB 上式即为不等式 中等号成立的情形 所以 x sinA y sinB z sinC 再利用cosA a 2yz cosB b 2zx cosC c 2xy 及余弦定理可解出 x b c 2 y c a 2 z a b 2 容易验证这个三元数组满足原方程组 题9 已知x y z为正实数 xy yz zx xyz 4 求证 x y z xy yz zx 1998 印度数学竞赛 证明 将已知等式变形为 xy 2 yz 2 zx 2 xy yz zx 4 由题8的引理知 存在一个锐角 ABC 使得 yz 2cosA zx 2cosB xy 2cosC 联立解得 x y z 2cosB cosC cosA 2cosA cosC cosB 2cosA cosB cosC 因此 只要证明 2cosB cosC cosA 2cos A cosC cosB 2cosA cosB cosC 4 cos 2A cos 2B cos 2 C 在不等式 中 取 x 2cosB cosC cosA y 2cosA cosC cosB 61中 等 数 学 z 2cosA cosB cosC 即得证 把此题稍加改造 即为 题10 设正数u v w满足 u v w uvw 4 求证 vw u uw v uv w u v w 2007 中国国家集训队测试题 顺便指出 在大学自主招生试题中也有 嵌入不等式的影子 如 题11 已知 180 0 求3cos 4cos 5cos 的最大值 解 在不等式 中 令 2yz 3 2zx 4 2xy 5 即 x 4 5 2 3 y 3 5 2 4 z 3 4 2 5 且 A B C 则 3cos 4cos 5cos 769 120 当且仅当sin sin sin 1 3 1 4 1 5 时 上式等号成立 由正弦定理知要确定 只要构造 一个三边长分别为 1 3 1 4 1 5的三角形即可 故所求的最大值为 769 120 当然 有兴趣的读者还可以找出更多的 以嵌入不等式为背景的数学竞赛题 也可以 编拟以嵌入不等式为背景的问题 由于版面 的原因 不赘述 两种拆分方法在解不等式问题中的应用 李 涛 天津师范大学数学科学学院07级研究生 300387 中图分类号 O122 3 文献标识码 A 文章编号 1005 6416 2010 01 0017 03 收稿日期 2009 03 17 1 差项比较法 定理1 对于数列 xn yn 有 xn x1 x 2 x1 x 3 x2 x n xn 1 yn y1 y 2 y1 y 3 y2 y n yn 1 若x1 y1 且xk xk 1 yk yk 1 k 2 则xn yn 例1 求证 n 2 1 1 2 1 3 1 2 n 1 y2 又xk xk 1 1 yk yk 1 1 2 k 1 1 2 k