01 集合和命题.pdf

设计学习单的目的 检测学生已有的学习基础 给学生一个学习的方向和目标 学生自己简单的自学检测 作为学生学习状况的一个检测 检测要求一周整理检查使用一次 典型例题要求解答要详细 要求一题多解的 设计的原则 依据教学大纲 简单 试用 课程标准 1 学习主题 学习集合的有关概念和表示方法 以及集合之间的关系和基本运算 初步掌握 基本的集合语言 了解集合的思想方法 集合作为一种语言 将贯穿在整个高中 数学内容中 在初中学习命题的基础上 进一步学习与命题有关的一些逻辑初步知识 了解 一些基本的逻辑关系及其运用 了解集合与命题之间的联系 体会逻辑语言在数 学表达和论证中的作用 集合与命题 12 课时 学 习 内 容 学 习 要 求 与 活 动 建 议 集合及其表示 1 通过列举生活中的实例和数学中的事例 对集合的意义进行描述 知道 集合的意义 懂得元素及其与集合的关系符号 认识一些特殊集合的记 号 会用 列举法 和 描述法 表示集合 体会数学抽象的意义 2 理解集合之间的包含关系 掌握子集的概念 3 掌握集合的 交 并 补 等运算 知道有关的基本运算性质 会求集合的交集 并集 会求已知集合的补集 但不要求会解决有关集 合的证明问题 在使用集合语言表示有关数学对象的过程中 发展运用 数学语言进行表达 交流的能力 4 理解否命题 逆否命题 明确命题的四种形式及其相互关系 建立命题 与集合之间的联系 领会分类 判断 推理的思想方法 5 理解充分条件 必要条件 充分必要条件的意义 能在简单的问题情景 中判断条件的充分性 必要性 或充分必要性 6 建立子集与推出关系之间的联系 初步体会利用集合知识有助于理解逻 辑关系 说明 7 能用集合思想去观察 思考 表述和解决一些简单的实际问题 子集 交集 并集 补集 命题的四种形式 充分条件 必要条件 充分必要条件 子集与推出关系 说 明 设 具有性质xxA 具有性质xxB 则BA 与 等价 于是 可以从集合之间的 关系来理解推出关系及其他一些逻辑关系 1 1 集合及其表示方法 Sets and Their Expressions 1 集合的相关概念 1 集合的相关概念 集合的描述性定义 元素 常用大写字母 A B C 表示集合 用小写字母 a b c 表示集合中的元素 2 集合 A 与元素 a 的关系 3 集合的三大特性 确定性 互异性 无序性 4 常用数集和符号 全体自然数组成的集合 记作 不包括零的自然数组成的集合 记作 全体整数组成的集合 记作 全体有理数组成的集合 记作 全体实数组成的集合 记作 5 集合的分类 按元素个数多少分 有限集 无限集 6 特殊集合 典型例题 1 举一些集合的例子 并理解集合 元素 以及三个特性 2 1 若 3 1 m 3m m2 1 求实数 m 2 已知集合 2 2 2a aa 为数集 求 a 的取值范围 3 关于 x 的方程 ax b 0 当 a b 满足条件 时 解集是有限集 当 a b 满足条件 时 解集是无限集 当 a b 满足条件 时 解集是空集 思考与提高 1 请同学们考虑 A 2 4 B 1 2 2 3 2 4 3 5 A 与 B 的关系如何 2 两者有什么不同 1 1 集合及其表示方法 Sets and Their Expressions 2 2 集合的表示方法 1 集合的表示方法 列举法 描述法 其他方法 符号 图示 区间 2 点集和数集的区别 数学研究主要是研究数和形 而形是由点组成的 因此点集和数集成为了最重要的两类集合 我们要注意区分 典型例题 1 1 写出 1 20 的所有质数组成的集合 2 大于 3 且不超过 6 的偶数组成的集合 3 方程 x2 5x 6 0 的解集 4 直线 x y 1 上的点组成的集合 5 平面直角坐标系中第三象限的点组成的集合 6 能被 3 除余 2 的自然数全体组成的集合 7 18 的正约数组成的集合 2 用列举法表示以下集合 1 方程 2 560 xx 的解组成的集合 2 5 1 xy xy 的解组成的集合 3 NyNxyxyxA 102 4 NyNxyxyB 102 3 已知 2 2 3 42Aaa 2 0 7 42 2Baaa 7A 求集合 B 4 集合 22 13120 x axax 为单元素集 求 a 的值 5 6 5 MaN aZM a 求集合 思考与提高 1 列举法和描述法的优缺点 以及如何选择适当的方法表示集合 2 集合 1 21 2 和 有什么区别 3 区分 0 0 的含义 1 2 集合之间的关系 Relations of Sets 1 集合之间的关系 一般地 对于两个集合 A 与 B 1 子集 定义 那么集合 A 叫做集合 B 的子集 记作 或 读作 或 空集是任何集合的子集 2 相等的集合 定义 那么集合 A 与集合 B 相等 记作 A B 读作 集合 A 等于集合 B 3 真子集 定义 那么集合 A 叫做集合 B 的真子集 记作 或 读作 或 典型例题 1 确定下列两个集合的包含关系 1 Zk4kxxA Zk2kxxB 2 R1xA a a2ax 2 Rb b2byy 2 B 2 1 下列两个集合是否相等 为什么 Zk12kmmA Zk14knnB 2 确定 x y 使得 47yx2x 4 试确定下列每组两个集合之间的关系 1 A Zk12knn B Z12 l lmm 2 C Nk12knn D N12l lmm 5 已知 a bAa b c d e 求所有满足条件的集合 A 6 已知集合 平行四边形 A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 四边形 E 写出上述集 合之间的包含关系 思考与提高 1 有限集合的子集个数问题 2 无限集合相等如何证明 1 2 集合之间的关系 Relations of Sets 2 2 习题课习题课 1 集合符号的辨识 2 有限集合的子集个数 3 无限集合相等的概念 4 空集是任何集合的子集 5 数轴的使用 典型例题 1 用集合相关符号填空 0 0 0 0 aa b a bb aa bb a 2 1 集合 1 2 3 ABx xA 用列举法写出集合 B 并说明 A B 的关系 和 B 的关系 原题改为 AxxB 有什么变化 2 12 nn Aa aa 当 n 分别为 1 2 3 时 请写出 A 的所有子集 猜测 n A的所有子集个数 3 设集合 22 k Mx xkZNt tntnnZ 或 则集合 M N 之间有怎么的关系 为 什么 4 2 60 10Px xxQx ax 满足QP 求 a 所取得一切值 5 已知 22 Axx 1 若集合 Bx xa 满足AB 求 a 的取值范围 2 若集合 251Cxaxa 满足AC 求实数 a 的取值范围 3 若把 2 中条件 AC 改为 CA 求实数 a 的取值范围 配套练习 1 对于空集有下列结论 0 0 其中正确的结论是 2 已知集合 1 2 3 4 5A 求 1 A 的所有子集个数 2 A 的所有非空真子集的个数 3 A 的所有非空 子集个数 4 A 的所有非空子集的所有元素和 3 设 2Ma ad ad 2 Pa aq aq 其中0a MP 求 q 的值 4 设 2 40 Ax xx 22 2 110 Bx xaxaxR 若BA 求实数 a 的取值范围 5 已知集合 12 35 Ax axaBxx 则能使AB 成立的实数 a 的取值范围 1 3 集合的运算 Operation of Sets 1 1 集合间的交 并运算集合间的交 并运算 1 交集定义 ABx 2 并集定义 ABx 3 交 并运算的文氏图表示 4 交 并运算的相关性质 I AA II AA A A ABBA ABBA ABA ABB AAB BAB ABA ABB 典型例题 求交集和并集 1 22Axx 13Bxx 求 AB AB 2 210 Ax yxy 35 Bx yxy 求 AB AB 3 A 直角三角形 B 等腰三角形 求 AB AB 4 6 5 Ax xn nNBx xn nN 求 AB AB 思考与提高 1 你能证明前面的运算性质吗 2 思考集合 A B AB和AB中元素个数有何关系 1 3 集合的运算 Operation of Sets 2 2 集合的交 并运算 集合的交 并运算 习题课习题课 1 连续数集的交 并运算 利用好数轴这个工具 2 点集的交 并运算 注意方程组的解 3 离散数集的交 并运算 一元二次方程根与系数的关系 典型例题 1 1 22 11 AxxBx xxABAB 或求 2 22 AxxBx xaABAa 求 的取值范围 3 22 43 22 Ay yaaaRBx xbb bRAB 求 2 1 若 22 43 22Ax yyxxBx yyxx 求 AB AB 2 设 3y2xyxA RbbyxyxB a a 求BA 3 1 设集合 2 0Ax xaxb 2 150Bx xcx 又 3 5AB 3AB 求 a b c 的值 2 若 22 320 10Ax xxBx xaxa 2 m20Cx xx 若ABA 求实数 a 的值 2 若ACC 求实数 m 的值组成的集合 配套练习 1 设 2 4 2 1 9 5 1AaaBaa 若 9AB 求实数a 2 1 集合 22 1 22 Px y yxxRQx y yxxR 求PQ 2 集合 22 1 22 Py yxxRQy yxxR 求PQ 3 已知 2135 322Ax axaBxx 若ABA 求实数a的取值范围 1 3 集合的运算 Operation of Sets 3 3 补集补集 1 全集 我们在研究某个问题时 所有集合的并集 2 补集 U C Ax xU xA 3 补集的性质 1 u AAU 2 u AA 3 uuA A 4 uuuuuu ABABABAB 典型例题 1 12 U UR AxxC A 求 2 UUUUUU Ua b c d eAa b Bb c dC AC B CAB CAB C AC B 求 3 练习 用集合运算表示下列部分 1 2 4 某班有学生 15 人 其中会英语者有 10 人 会法语者有 7 人 会德语者有 4 人 又同时掌握英 法两种语 言的人数为 4 人 同时掌握英 德两种语言者为 2 人 同时掌握法 德两种语言者为 2 人 请问 同时会三 种语言的有几人 思考与提高 1 你知道什么是德 摩根定律 2 什么是容斥原理 1 3 集合的运算 Operation of Sets 4 4 综合练习综合练习 典型例题 思考与提高 1 4 命题的形式及等价关系 The Forms of Propositions and Equivalent Relationship 1 1 命题和推出命题和推出 关系关系 1 命题 表判断的语句 常用陈述句表示 命题的一般形式 如果 那么 命题的一般结构 条件 结论 2 命题有真假之分 假命题常通过 否定 真命题需要 3 推出关系 如果 那么 为真命题 记作 推出符号具有传递性 如果 那么 这也是我们证明的基础之一 4 等价关系 如果 且 那么记作 叫做 与 等价 典型例题 1 判断以下是否构成命题 1 上课不要讲话 2 你是高一学生吗 3 互为补角的两个角不相等 4 个位数是 5 的自然数能被 5 整除 5 2 32f xaxx 是二次函数 2 判断命题真假 1 任何一个集合必有两个子集 2 一元二次方程 2 0 0 axbxca 如果满 足0ac 那么这个方程有实数根 3 任何无限小数都是无理数 4 一个有理数与一个无理数之和是无理数 5 一个无理数与一个无理数之和是无理数 3 证明自然数 n 的个位数是 5 则 n 能被 5 整除 4 请用 把 联系起来 推出符号 a 0 ab 0 四边形 ABCD 是平行四边形 四边形 ABCD 是矩形 x 7 x 2 两直线平行 同位角相等 k 除以 4 余 1 k 除以 2 余 1 自然数 n 个数字和是 3 的倍数 自然数 n 能被 3 整除 思考与提高 推出关系和真假命题之间的联系 2 xx 0 x 2 560 xx 2x 1 4 命题的形式及等价关系 The Forms of Propositions and Equivalent Relationship 2 2 四种命题形四种命题形 式式 1 四种命题形式 原命题 如果那么 逆命题 否命题 逆否命题 如果那么 四种命题形式的互化关键在于 1 确定条件 结论 2 注意否定形式 2 常见的否定形式 无理数 正数 都是 都不是 一定是 a 1 且 a 3 至多有一个 至少有一个 典型例题 试写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 1 命题 如果两个三角形全等 那么它们的面积 相等 2 命题 对顶角相等 3 命题 若 m 0 则关于 x 的方程 2 0 xxm 有实数根 4 命题 两个有理数的和是有理数 思考与提高 1 否定形式和否命题这两者之间的区别 2 用集合的观点来进一步理解否定形式 1 4 命题的形式及等价关系 The Forms of Propositions and Equivalent Relationship 3 3 等价命题等价命题 1 四种命题形式之间的联系 2 等价命题 如果 是两个命题 若 且 那么 叫做等价命题 记作 互为逆否命题的两个命题是等价命题 典型例题 1 写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 判断上述四种命题的真假 并说明理由 1 两个奇数的和是偶数 2 设 a b 都是实数 如果0ab 那么 a b 中至少有一个为零 3 如果0ab 那么 a b 中至多有一个正数 2 已知 BD CE 分别为三角形 ABC 的 B C 的角平分线 BDCE 求证ABAC 3 写出下面命题的逆否命题 并判断真假 1 2 320 1 xxx 如果那么 2 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形 3 22 0 00 xyxy 若则且 4 若某个整数不是偶数 则这个数不能被 4 整除 4 1 请写出命题 如果 那么 的等价命题 2 如果有一个命题的逆命题是 如果 a b 都是奇数 那么 a b 是偶数 请写出那个原命题的逆否命题是 什么 思考与提高 用反证法证明命题与证明此命题的逆否命题之间有什么区别 证明什么命题时应用他们比较好 1 5 充分条件 必要条件 Sufficient Condition Necessary Conditions 1 1 充分条件 必要条件充分条件 必要条件 1 充分条件 必要条件 从命题角度 如果 a 那么 b 这个命题为真时 条件 a 是结论 b 的 条件 结论 b 是条件 a 的 条件 充分条件 有它即可 必要条件是 非它不行 2 判断 是 的什么条件 1 是 的 条件 2 是 的 条件 3 是 的 条件 4 是 的 条件 典型例题 1 判断 是 的什么条件 1 某个整数能被 4 整除 某个整数必是偶数 2 两个三角形面积相等 两个三角形全等 2 填空 1 2 40 x 是20 x 的 2 1x 是3x 的 3 2 00axbxca 有实根 是 ac2 的一个必要非充分条件是 abR 则 22 ab 的一个充分非必要条件是 0ab 的一个必要非充分条件是 22 2abab 的一个充分非必要条件是 思考与提高 你能从集合角度去理解今天所讲授的充分必要条件的内容吗 提示 A x x 满足 B x x 满足 若 则 A 与 B 有什么关系 1 5 充分条件 必要条件 Sufficient Condition Necessary Conditions 2 2 充要条件充要条件 充要条件 若 且 即有 那么 即是 的 条件 又是 的 条件 我们说 是 的充分必要条件 简称 条件 典型例题 1 已知实系数一元二次方程 2 00axbxca 2 40bac 是 方程有两个相等实数根 的什么 条件 为什么 2 1 若 A 10ab B 37ab 或 则 A 是 B 的 2 设非空集合 A B C 若 aA 充要条件为 aBaC 且 那么 aB 是 aA 的 3 12121 2 00 00 xxxxx x 且是且的 121212 22 44 xxxxx x 且是且的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 3 设关于 x 的一元二次方程 00cbxx2 aa 1 方程有一个正根 一个负根的充要条件是 2 方程有两个正根的充要条件是 3 方程有两个负根的充要条件是 思考与提高 设关于 x 的一元二次方程 2 00axbxca 1 方程有两个正根的充要条件是 2 方程有两个负根的充要条件是 3 方程有一个正根 一个负根的充要条件是 4 方程有两个根大于 小于 m 的充要条件是 5 方程有一根比 m 大 一根比 m 小的充要条件是 1 6 子集与推出关系 Subsets and Inference Relationship 1 设 A B 是非空集合 A x x 满足性质 B x x