2001年考研数学一真题.pdf

y O x 2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 把答案填在题中横线上 1 设 12 sincos x ye CxCx 12 C C为任意常数 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通 解 则该方程为 2 设 222 zyxr 则 div gradr 2 2 1 3 交换二次积分的积分次序 0 1 1 2 y dxyxfdy 4 设矩阵A满足 2 40AAE 其中E为单位矩阵 则 1 A E 5 设随机变量X的方差是2 则根据切比雪夫不等式有估计 2 XEXP 二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 1 设函数 xf在定义域内可导 xfy 的图形如右图所示 则 xfy 的图形为 2 设 yxf在点 0 0 附近有定义 且1 0 0 3 0 0 yx ff 则 A 0 0 3 z ddxdy B 曲面 yxfz 在 0 0 0 0 f处的法向量为 3 1 1 C 曲线 0 y yxfz 在 0 0 0 0 f处的切向量为 1 0 3 D 曲线 0 y yxfz 在 0 0 0 0 f处的切向量为 3 0 1 3 设0 0 f 则 xf在x 0 处可导的充要条件为 A 2 0 1 lim 1 cosh h f h 存在 B 0 1 lim 1 h h fe h 存在 C 2 0 1 lim sinh h f h h 存在 D 0 1 lim 2 h fhf h h 存在 4 设 1 1 1 14000 1 1 1 10000 1 1 1 10000 1 1 1 10000 AB 则A与B A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似 5 将一枚硬币重复掷 n 次 以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数 则 X 和 Y 的相关系 数等于 A 1 B 0 C 1 2 D 1 三 本题满分 6 分 求dx e e x x 2 arctan 四 本题满分 6 分 设函数 yxfz 在点 1 1 处可微 且 1 1 1f 1 1 2 f x 1 1 3 f y xf x f x x 求 1 3 x x dx d 五 本题满分 8 分 设 xf 2 1 0 arctan 0 1 x x xx x 将 xf展开成x的幂级数 并求级数 1 2 41 1 n n n 的和 六 本题满分 7 分 计算dzyxdyxzdxzyI L 3 2 222222 其中L是平面2 zyx与柱 面1 yx的交线 从Z轴正向看去 L为逆时针方向 七 本题满分 7 分 设 xf在 1 1 内具有二阶连续导数且0 x f 试证 1 对于 1 1 内的任一0 x 存在惟一的 1 0 x 使 xf 0 f xxf x 成立 2 0 1 lim 2 x x 八 本题满分 8 分 设有一高度为 h t t为时间 的雪堆在融化过程 其侧面满足方程 2 22 th yx thz 设 长度单位为厘米 时间单位为小时 已知体积减少的速率与侧面积成正比 比例系数为 0 9 问高度为 130 厘米 的雪堆全部融化需多少小时 九 本题满分 6 分 设 s 21 为线性方程组0Ax 的一个基础解系 11122 tt 21223 tt 121ss tt 其中 21 t t为实常数 试问 21 t t满足什么条件时 s 21 也为0Ax 的一个 基础解系 十 本题满分 8 分 已知 3 阶矩阵A与三维向量x 使得向量组 2 x Ax A x线性无关 且满足xAAxxA 23 23 1 记P xAAxx 2 求 3 阶矩阵B 使 1 PBPA 2 计算行列式EA 十一 本题满分 7 分 设某班车起点站上客人数X服从参数为 0 的泊松分布 每位乘客在中途下车的概率为 p 01p 且中途下车与否相互独立 以Y表示在中途下车的人数 求 1 在发车时有n个乘客的条件下 中途有m人下车的概率 2 二维随机变量 X Y的概率分布 十二 本题满分 7 分 设 总 体X服 从 正 态 分 布 2 N 0 从 该 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本 12 X X 2n X 2n 其样本均值为 n i i X n X 2 1 2 1 求统计量 n i ini XXXY 1 2 2 的 数学期望 E Y 2001 年考研数学一试题答案与解析 一 填空题 1 分析 由通解的形式可知特征方程的两个根是 12 1r ri 从而得知特征方程为 22 12121 2 220rrrrrrr rrrrr 由此 所求微分方程为 220yyy 2 分析 先求 gradgradr gradgradr rrrx y z xyzr r r 再求 divgradgradr xyz x ry rz r 222222 3333 11132 xyzxyz rrrrrrrrr 于是 divgradgradr 1 2 2 1 2 2 22 3r 3 分析 这个二次积分不是二重积分的累次积分 因为10y 时 12y 由此看出二次积分 02 11 y dyf x y dx 是二重积分的一个累次 积分 它与原式只差一个符号 先把此累次积分表为 02 11 y D dyf x y dxf x y dxdy 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D 10 12yyx 见图 现可交换积分次序 原式 022021 111110 x yx dyf x y dxdxf x y dydxf x y dy 4 分析 矩阵A的元素没有给出 因此用伴随矩阵 用初等行变换求逆的路均堵塞 应当考虑用 定义法 因为 2 2 240A E AEEAAE 故 2 2AEAEE 即 2 2 AE AEE 按定义知 1 1 2 2 AEAE 5 分析 根据切比雪夫不等式 2 D x P XE X 于是 2 1 2 22 D x P XE X 二 选择题 1 分析 当0 x 时 f x单调增 0f x A C 不对 当0 x 时 f x 增 减 增 f x 正 负 正 B 不对 D 对 应选 D 2 分析 我们逐一分析 关于 A 涉及可微与可偏导的关系 由 f x y在 0 0 存在两个偏导数 f x y在 0 0 处可 微 因此 A 不一定成立 关于 B B 只能假设 f x y在 0 0 存在偏导数 0 0 0 0 ff xy 不保证曲面 zf x y 在 0 0 0 0 f存在切平面 若存在时 法向量 n 0 0 0 0 1 ff xy 3 1 1 与与 3 1 1 不 共线 因而 B 不成立 关于 C 该曲线的参数方程为 0 0 xt y zf t 它在点 0 0 0 0 f处的切向量为 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 tx d tf tf dt 因此 C 成立 3 分析 当 0 0f 时 0 0 lim x f x f x 00 limlim xx f xf x xx 关于 A 22 000 1 1 cos 1 cos1 lim 1 cos lim1 coslim 1 cos2 hht fhhf t fhth hhht 由此可知 2 0 1 lim 1 cos h fh h 0 f 若 f x在0 x 可导 A 成立 反之若 A 成立 0 f 0 f 如 f xx 满 足 A 但 0 f不 关于 D 若 f x在0 x 可导 00 1 2 lim 2 lim 2 2 0 0 2 hh fhf h fhf hff hhh D 成立 反之 D 成立 0 lim 2 0 h fhf h f x在0 x 连续 f x在0 x 可 导 如 21 0 0 0 xx f x x 满足 D 但 f x在0 x 处不连续 因而 0 f也不 再看 C 222 000 1sin sin sin lim sin limlim sin hhh hhf hhhhf t f hh hhhhht 当它们都 时 注意 易求得 2 0 sin lim0 h hh h 因而 若 0 f C 成立 反之若 C 成立 0 lim t f t t 即 0 f 因为只要 f t t 有界 任有 C 成立 如 f xx 满足 C 但 0 f不 因此 只能选 B 4 分析 由 43 40EA 知矩阵A的特征值是4 0 0 0 又因A是实对称矩阵 A 必能相似对角化 所以A与对角矩阵B相似 作为实对称矩阵 当AB时 知A与B有相同的特征值 从而二次型 T x Ax与 T x Bx有相同的 正负惯性指数 因此A与B合同 所以本题应当选 A 注意 实对称矩阵合同时 它们不一定相似 但相似时一定合同 例如 1 0 0 2 A 与 1 0 0 3 B 它们的特征值不同 故A与B不相似 但它们的正惯性指数均为 2 负惯性指数均为 0 所以A与B合 同 5 分析 解本题的关键是明确X和Y的关系 XYn 即YnX 在此基础上利用性质 相关系数 XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量X与Y之间存在线性关系 即YaXb 其 中 a b是常数 且当0a 时 1 XY 当0a 时 1 XY 由此便知1 XY 应选 A 事实上 Cov X YCov X nXDX DYD nXDX 由此由相关系数的定 义式有 1 XY Cov X YDX DXDYDXDY 三 解 原式 22 22 11 arctan arctan 22 1 x xxxx xx de e d eee ee 2 22 1 arctan 21 xx xx xx dede ee ee 2 1 arctanarctan 2 xxxx eeeeC 四 解 先求 1 1 1 1 1 1 1fff 求 32 1 3 1 1 3 1 x d x dx 归结为求 1 由复合函数求导法 12 d xfx f x xfx f x xf x x dx 1212 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ffff 注意 1 1 1 1 1 2 f f x 2 1 1 1 1 3 f f y 因此 1 2 3 2 3 17 3 1 3 1751 x d x dx 五 分析与求解 关键是将arctanx展成幂级数 然后约去因子x 再乘上 2 1x 并化简即可 直接将arctanx展开办不到 但 arctan x易展开 即 2 2 0 1 arctan 1 1 1 nn n xxx x 积分得 221 00 00 1 arctan arctan 1 21 n xx nnn nn xt dtt dtx n 1 1 x 因为右端积分在1x 时均收敛 又arctanx在1x 连续 所以展开式在收敛区间端点 1x 成立 现将 式两边同乘以 2 1x x 得 222 222 000 1 1 1 1 arctan 1 212121 nnnn nn nnn xx xxxx xnnn 1 22 00 1 1 2121 nn nn nn xx nn 2 1 11 1 1 2121 nn n x nn 2 2 1 1 2 1 1 4 n n n x n 1 1 x 0 x 上式右端当0 x 时取值为 1 于是 2 2 1 1 2 1 1 1 1 4 n n n f xxx n 上式中令1x 2 1 1 111 1 1 21 1 422442 n n f n 六 解 用斯托克斯公式来计算 记S为平面2xyz 上L所 为围部分 由L的定向 按右手法则S取上侧 S的单位法向量 1 cos cos cos 1 1 1 3 n 于是由斯托克斯公式得 222222 coscoscos 23 S IdS xyz yzzxxy 111 24 26 22 333 S yzzxxydS 22 423 2 6 33 SS xyz dSxyzxy dS 利用 于是 2 2 11 1 13 xy ZZ 按第一类曲面积分化为二重积分得 2 6 32 6 3 DD Ixydxdyxy dxdy 其中D围S在xy平面上的投影区域 1xy 图 由D关于 x y轴的对称性及被积函数的奇 偶性得 0 D xy dxdy 2 1212 2 24 D Idxdy 七 证明 1 由拉格朗日中值定理 1 1 x 0 0 1 x 使 0 f xfxfx 与x有关 又由 fx连续而 0fx fx在 1 1 不变号 fx在 1 1 严格单 调 唯一 2 对 fx 使用 0 f的定义 由题 1 中的式子先解出 fx 则有 0 f xf fx x 再改写成 0 0 0 f xfxf fxf x 2 0 0 0 fxff xfxf xx 解出 令0 x 取极限得 2 000 1 0 0 0 0 1 2 limlim lim 0 2 xxx f f xfxffxf xxf 八 解 1 设t时刻雪堆的体积为 V t 侧面积为 S t t时刻雪堆形状如图所示 先求 S t与 V t 侧面方程是 222 22 2 2 xy xyh t zh tx yDxy h t 44 zxzy xh tyh t 222 22 16 1 xyxy DD zzh txy S tdxdydxdy xyh t 作极坐标变换 cos sinxryr 则 1 02 0 2 xy Drh t 1 2 22 2 00 1 3 222 22 0 1 16 2113 16 4812 h t h t S tdh tr rdr h t h trh t h t 用先二后一的积分顺序求三重积分 0 h t D x V tdzdxdy 其中 22 2 xy D zh tz t h t 即 222 1 2 xyh th t z 2333 0 1 2224 h t V th th t z dzh th th t 2 按题意列出微分方程与初始条件 体积减少的速度是 dV dt 它与侧面积成正比 比例系数 0 9 即 0 9 dV S dt 将 V t与 S t的表达式代入得 22 13 3 0 9 412 dh h th t dt 即 13 10 dh dt 0 130h 3 解 得 13 10 h ttC 由 得130C 即 13 130 10 h tt 令 0h t 得100t 因此 高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时 九 解 由于 1 2 i is 是 12 s 线性组合 又 12 s 是0Ax 的解 所以根 据齐次线性方程组解的性质知 1 2 i is 均为0Ax 的解 从 12 s 是0Ax 的基础解系 知 snr A 下面来分析 12 s 线性无关的条件 设 1122 0 ss kkk 即 1 1212 11 22221 33211 0 ssss t