2002年考研数学一真题.pdf

数学 一 试题 第1页 共13页 2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 把答案填在题中横线上 1 e xx dx 2 ln 2 已知函数 yy x 由方程016 2 xxyey确定 则 0 y 3 微分方程0 2 yyy满足初始条件 00 1 1 2 xx yy 的特解是 4 已知实二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 444 xxxxxxxxxaxxxf 经正交变换 xPy 可化成标准型 2 1 6yf 则a 5 设随机变量X服从正态分布 2 0 N 且二次方程04 2 Xyy无实根的概 率为 1 2 则 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目 要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 考虑二元函数 yxf的下面 4 条性质 yxf在点 00 yx处连续 yxf在点 00 yx处的两个偏导数连续 yxf在点 00 yx处可微 yxf在点 00 yx处的两个偏导数存在 若用 PQ 表示可由性质P推出性质Q 则有 A B C D 2 设0 1 2 3 n un L 且lim1 n n n u 则级数 1 1 1 11 1 n n nn uu A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 收敛性根据所给条件不能判定 数学 一 试题 第2页 共13页 3 设函数 yf x 在 0 内有界且可导 则 A 当0 lim xf x 时 必有0 lim xf x B 当 limxf x 存在时 必有0 lim xf x C 当 0 lim 0 x f x 时 必有 0 lim 0 x fx D 当 0 lim x fx 存在时 必有 0 lim 0 x fx 4 设有三张不同平面的方程 123iiii a xa ya zb 3 2 1 i 它们所组成的线性方程组的系 数矩阵与增广矩阵的秩都为 则这三张平面可能的位置关系为 5 设 1 X和 2 X是任意两个相互独立的连续型随机变量 它们的概率密度分别为 1 f x和 2 f x 分布函数分别为 1 F x和 2 F x 则 A 1 f x 2 f x必为某一随机变量的概率密度 B 1 f x 2 fx必为某一随机变量的概率密度 C 1 F x 2 F x必为某一随机变量的分布函数 D 1 F x 2 F x必为某一随机变量的分布函数 三 本题满分 6 分 设 函 数 xf在0 x 的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 连 续 导 数 且 0 0 0 0f f 若 2 0 af hbfhf 在0 h时是比h高阶的无穷小 试确定ba 的值 数学 一 试题 第3页 共13页 四 本题满分 7 分 已知两曲线 xfy 与 x t dtey arctan 0 2 在点 0 0 处的切线相同 写出此切线方程 并求极限 2 lim n nf n 五 本题满分 7 分 计算二重积分dxdye D yx max 22 其中 10 10 yxyxD 六 本题满分 8 分 设函数 xf在 内具有一阶连续导数 L是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线 其起点为 ba 终点为 dc 记 22 2 1 1 1 L x Iy f xy dxy f xydy yy 1 证明曲线积分I与路径L无关 2 当cdab 时 求I的值 七 本题满分 7 分 1 验 证 函 数 3333 69 1 3 6 9 3 n xx y xx n LL满 足 微 分 方 程 x eyyy 2 利用 1 的结果求幂级数 3 0 3 n n x n 的和函数 八 本题满分 7 分 设有一小山 取它的底面所在的平面为xOy坐标面 其底部所占的区域为 2 Dx yx 2 75 yxy 小山的高度函数为 yxhxyyx 22 75 1 设 00 yxM为区域D上一点 问 yxh在该点沿平面上什么方向的方向导数最大 数学 一 试题 第4页 共13页 若记此方向导数的最大值为 00 yxg 试写出 00 yxg的表达式 2 现欲利用此小山开展攀岩活动 为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点 也就是说 要在D的边界线 22 75xyxy 上找出使 1 中 yxg达到最大值的点 试确定攀登 起点的位置 九 本题满分 6 分 已知四阶方阵 4321 A 4321 均为4维列向量 其中 432 线性无 关 321 2 如果 4321 求线性方程组 Ax的通解 十 本题满分 8 分 设 A B为同阶方阵 1 若 A B相似 证明 A B的特征多项式相等 2 举一个二阶方阵的例子说明 1 的逆命题不成立 3 当 A B均为实对称矩阵时 证明 1 的逆命题成立 十一 本题满分 7 分 设维随机变量X的概率密度为 1 0 cos 22 0 x x f x 其他 对X独立地重复观察 次 用Y表示观察值大于 3 的次数 求 2 Y的数学期望 十二 本题满分 7 分 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 1 2 2 21 其中 1 0 2 是未知参数 利用总体X的如下样本值 数学 一 试题 第5页 共13页 3 1 3 0 3 1 2 3 求 的矩估计值和最大似然估计值 2002 年考研数学一试题答案与解析 一 填空题 1 分析 原式 2 ln1 1 lnln e e dx xx 2 分析 方程两边对x两次求导得 6 620 y e yxyyx 2 6 12 20 yy e ye yxyy 以0 x 代入原方程得0y 以0 xy 代入 得 0 y 再以 0 xyy 代入 得 0 2 y 3 分析 这是二阶的可降阶微分方程 令 yP y 以y为自变量 则 dydPdP yP dxdxdy 代入方程得 2 0 dP yPP dy 即0 dP yP dy 或0P 但其不满足初始条件 0 1 2 x y 分离变量得 0 dPdy Py 积分得 lnln PyC 即 1 C P y 0P 对应 1 0C 由0 x 时 1 1 2 yPy 得 1 1 2 C 于是 数学 一 试题 第6页 共13页 1 2 2 yPydydx y 积分得 2 2 yxC 又由 0 1 x y 得 2 1 C 所求特解为1 yx 4 分析 因为二次型 T x Ax经正交变换化为标准型时 标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A的特征值 所以6 0 0是A的特征值 又因 iii a 故600 2 aaaa 5 分析 设事件A表示 二次方程04 2 Xyy无实根 则 1640 AXX 4 依题意 有 1 4 2 P AP X 而 4 4 1 4 1 P XP X 即 4141 4 1 0 4 22 二 选择题 1 分析 这是讨论函数 f x y的连续性 可偏导性 可微性及偏导数的连续性之间的关 系 我们知道 f x y的两个偏导数连续是可微的充分条件 若 f x y可微则必连续 故选 A 2 分析 由 1 lim10 1 n n u n n 充分大时即 N nN 时 1 0 n u 且 1 lim0 n n u 不妨认为 0 n n u 因而所考虑级数是交错级数 但不能保证 1 n u 的单调性 按定义考察部分和 111 111 11 1111 1 1 1 nnn kkk n kkk kkkk S uuuu 数学 一 试题 第7页 共13页 1 1 11 111 1 11 1 1 1 kn nn l kl kln n uuuuu 原级数收敛 再考察取绝对值后的级数 1 1 11 n nn uu 注意 1 1 11 1 2 1 1 nn nn uunnn uun n 1 1 n n 发散 1 1 11 n nn uu 发散 因此选 C 3 分析 证明 B 对 反证法 假设lim 0 x fxa 则由拉格朗日中值定理 2 fxf xfxx 当x 时 因为2xx 但这与 2 2 2fxf xfxf xM 矛盾 f xM 4 分析 因为 23r Ar A 说明方程组有无穷多解 所以三个平面有公共交点且不唯 一 因此应选 B A 表示方程组有唯一解 其充要条件是 3 r Ar A C 中三个平面没有公共交点 即方程组无解 又因三个平面中任两个都不行 故 2r A 和 3r A 且A中任两个平行向量都线性无关 类似地 D 中有两个平面平行 故 2r A 3r A 且A中有两个平行向量共线 5 分析 首先可以否定选项 A 与 C 因 1212 12 21 1 121 f xfx dxf x dxfx dx FF 数学 一 试题 第8页 共13页 对于选项 B 若 12 1 21 1 01 0 0 xx f xfx 其他 其他 则对任何 x 12 0f x f x 12 01 f x fx dx 因此也应否定 C 综上分析 用排除法应选 D 进一步分析可知 若令 12 max XX X 而 1 2 ii Xf x i 则X的分布函数 F x恰是 12 F x F x 1212 max F xPX XxP Xx Xx 1212 P Xx P XxF x F x 三 解 用洛必达法则 由题设条件知 0 lim 2 0 1 0 h af hbfhfabf 由于 0 0 f 故必有10 ab 又由洛必达法则 00 2 0 2 2 limlim 1 hh af hbfhfafhbfh h 2 0 0 ab f 及 0 0 f 则有20ab 综上 得2 1 ab 四 解 由已知条件得 0 0 f 2 2 arctan arctan 00 2 0 0 1 1 x x t xxx e fedt x 故所求切线方程为yx 由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得 0 2 0 2 0 lim 2lim2lim2 0 2 2 nnx ff f xf n nff nx n 五 分析与求解 D是正方形区域如图 因在D上被积函数分块表示 2 22 2 max xxy xyx yD yxy 数学 一 试题 第9页 共13页 于是要用分块积分法 用yx 将D分成两块 1212 DDD DDyx DDyx UII I 2222 12 max max xyxy DD edxdyedxdy 222 121 2 xyx DDD e dxdye dxdye dxdy D关于yx 对称 21 00 2 x x dxe dy 选择积分顺序 221 1 0 0 21 xx xe dxee 六 分析与求解 1 易知PdxQdy 原函数 22 11 x PdxQdydxyf xy dxxf xy dydyydxxdyf xy ydxxdy yyy 0 xy xx df xy d xydf t dt yy 在0y 上PdxQdy 原函数 即 0 xy x u x yf t dt y 积分I在0y 与路径无关 2 因找到了原函数 立即可得 c d a b ca Iu x y db 七 证明 与书上解答略有不同 参见数三 2002 第七题 1 因为幂级数 3693 1 3 6 9 3 n xxxx y x n LL 的收敛域是 x 因而可在 x 上逐项求导数 得 25831 2 5 8 31 n xxxx y x n LL 数学 一 试题 第10页 共13页 4732 4 7 32 n xxx y xx n LL 所以 2 1 2 n x xx yyyxe n LL x 2 与 x yyye 相应的齐次微分方程为 0yyy 其特征方程为 2 10 特征根为 1 2 13 22 i 因此齐次微分方程的通解为 2 12 33 cossin 22 x YeCxCx 设非齐次微分方程的特解为 x yAe 将y 代入方程 x yyye 可得 1 3 A 即有 1 3 x ye 于是 方程通解为 2 12 331 cossin 223 x x yYyeCxCxe 当0 x 时 有 1 12 12 1 0 1 23 0 3131 0 0 223 yC CC yCC 于是幂级数 3 0 3 n n x n 的和函数为 2 231 cos 323 x x y xexe x 八 分析与求解 1 由梯度向量的重要性质 函数 yxh在点M处沿该点的梯度方向 0000 0000 2 2 xyxy hh h x yxyyx xy grad 方向导数取最大值即 00 xy h x ygrad的模 22 000000 2 2 g x yyxxy 2 按题意 即求 g x y求在条件 22 750 xyxy 下的最大值点 数学 一 试题 第11页 共13页 22222 2 2 558gx yyxxyxyxy 在条件 22 750 xyxy 下的最大值点 这是求解条件最值问题 用拉格朗日乘子法 令拉格朗日函数 2222 558 75 L x yxyxyxyxy 则有 22 108 2 0 108 2 0 750 L xyxy x L yxyx y L xyxy 解此方程组 将 式与 式相加得 2 0 xyxy 或2 若yx 则由 式得 2 375x 即5 5 xy m若2 由 或 均得yx 代入 式 得 2 75x 即5 3 5 3 xy 于是得可能的条件极值点 1234 5 5 5 5 5 3 5 3 5 3 5 3 MMMM 现比较 222 558f x ygx yxyxy 在这些点的函数值 1234 450 150 f Mf Mf Mf M 因为实际问题存在最大值 而最大值又只可能在 1234 M M M M中取到 因此 2 gx y在 12 M M取到在D的边界上的最大值 即 12 M M可作为攀登的起点 九 解 由 432 线性无关及 321 2 知 向量组的秩 1234 3r 即矩阵 A的秩为3 因此0Ax 的基础解系中只包含一个向量 那么由 1234123 1 2 20 1 0 数学 一 试题 第12页 共13页 知 0Ax 的基础解系是 1 2 1 0 T 再由 12341234 11 11 11 11 A 知 1 1 1 1 T是 Ax的一个特 解 故 Ax的通解是 11 21 11 01 k 其中k为任意常数 十 解 1 若 A B相似 那么存在可逆矩