数学人教版八年级下册勾股定理的证明.ppt

勾股定理 人教版八年级 下 第十八章 a勾 b股 c弦 这是2002年国际数学家大会会徽的图案 活动1 你见过这个图案吗 你听说过勾股定理吗 这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解 周髀算经 时给出的 人们称之为 赵爽弦图 能做出来吗 勾广三 股修四 弦隅五 在我国古代 人们将直角三角形中短的直角边叫做勾 长的直角边叫做股 斜边叫做弦 a勾 b股 c弦 赵爽弦图 是对勾股定理的图形证明 表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明睿智 它是我国古代数学的骄傲 因此 这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽 在西方 一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的 所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理 相传2500年前 毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系 我们也来观察右图中的地面 看看有什么发现 活动2 探索勾股定理 A B C的面积有什么关系 SA SB SC 等腰直角三角形三边有什么关系 两直边的平方和等于斜边的平方 对于等腰直角三角形有这样的性质 两直边的平方和等于斜边的平方 那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢 请大家画一个任意的直角三角形 量一量 算一算 猜想 如果直角三角形的两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么a2 b2 c2 1 观察右边两个图并填写下表 16 9 25 4 9 13 2 观察右边两个图并填写下表 16 9 25 4 9 13 3 三个正方形A B C面积之间有什么关系 SA SB SC 即 两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 图1 1 正方形的面积怎样求 4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗 与同伴交流 图1 1 a c b c b a b c a 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明 到目前为止 对这个命题的证明方法已有几百种之多 下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的 结论 如果直角三角形的两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么 a2 b2 c2 看左边的图案 这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解 周髀算经 时给出的 人们称它为 赵爽弦图 赵爽根据此图指出 四个全等的直角三角形 红色 可以如图围成一个大正方形 中间的部分是一个小正方形 黄色 赵爽弦图的证法 叠合法 化简得 c2 a2 b2 c c c S大正方形S小正方形4S直角三角形 c2 b a 2 4 ab 勾股定理的证法 补拼法 a2 b2 c2 a b 2 c2 4 ab 茄菲尔德的证法 3 S三角形1S三角形2S三角形3 S梯形 化简得 c2 a2 b2 定理 经过证明被确认为正确的命题叫做定理 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 斜边为 那么 2 b2 c2 如图 在Rt ABC中 C 90 则 2 b2 c2 常用的勾股数 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 斜边为 那么 2 b2 c2 勾股定理的作用 在直角三角形中 1 已知两边求第三边2 已知一边和另两边的关系求两边3 已知一边和一角求两边 勾股定理的各种表达式 在RT ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 则 c2 a2 b2a2 c2 b2b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 c a b a b c A 169 1 求下图字母A B所代表的正方形的面积 B 225 勾股定理的应用 2 在RT ABC中 C 90 若a 4 b 3 则c 若c 13 b 5 则a 若c 17 a 8 则b 5 12 15 3 在Rt ABC中 C 90 1 已知a b 6 求c 2 已知a 1 c 3 求b 5 已知a b 3 4 c 25 求a和b 6 已知a c 5 13 b 24 求a和c 3 在Rt ABC中 C 90 1 已知a b 6 求c 2 已知a 1 c 3 求b 解 3 在Rt ABC中 C 90 解 3 在Rt ABC中 C 90 5 已知a b 3 4 c 25 求a和b 6 已知a c 5 13 b 24 求a和c 解 设a 3x b 4x 1 1 直角 ABC的两直角边长分别是3和4 求第三边长 2 直角 ABC的两边长分别是8和10 求第三边长 解 若8和10都为直角边时 若8为直角边 10为斜边时 所以第三边的长度是 2 等边三角形的边长为12 则它的高为 3 直角三角形两直角边分别为5厘米 12厘米 那么斜边上的高是 A 6厘米B 8