课题第23讲函数与方程的思想.doc

课题 第23讲 函数与方程的思想考点透析在近几年的高考中，函数的思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点主要用于下面四个层次：解方程；含参数的方程的讨论；转化为对方程的研究；构造方程求解知识整合 函数与方程是密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来求解，例如求函数的值域，方程问题也可以转化为函数问题来解决，如解方程就是求函数的零点 函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式 数列的通项与前项的和都是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题非常重要 解析几何的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，往往涉及到二次方程于二次函数的有关理论 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式加以解决 函数与二项式定理密切相关，运用这个函数，用赋值法和比较系数的方法可以解决很多有关二项式定理的问题考点自测1.（2011通州中学摸底）设直线 的倾斜角为，且，则满足的关系式为_. 2（2009江苏调研）已知命题“在等差数列中，若3a3+a9+a( )=30，则S13=78”为真命题，由于印刷问题，括号内的数模糊不清，可以推得其中的数为 .3（2011如东文科月考）若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是_. 4设函数，区间，集合，则使成立的实数对的个数是_.典型例题高考热点一：运用函数与方程的思想解决函数、方程、不等式问题例1（2010苏州实验中学月考）已知函数，（1）若函数的定义域为,判断在定义域上的单调性，并说明理由；（2）是否存在实数m,使在定义域上的值域为.若存在,求出实数m的范围;若不存在,说明理由【分析】在涉及函数与方程的数学问题中，比较常见的是二次函数问题、一元二次方程及一元二次不等式问题，这些问题往往可以相互转化。高考热点二：运用函数与方程的思想解决数列问题例2（2011如皋中学文科月考）已知等差数列，是的前项和，且（1）求的通项公式；（2）判别方程是否有解，说明理由；（3）设，是的前n项和，是否存在正数，对任意正整数，使恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由【分析】可以利用函数的方法来探讨数列的最值、单调性、周期性等性质高考热点三：运用函数与方程的思想解决解析几何问题例3：（2010通州市考前练习）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求这个椭圆上到点P的距离等于的点的坐标【分析】本题应建立目标函数把问题转化为求函数最值高考热点四: 运用函数与方程的思想解决立体几何问题例4：（江苏2006）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？【分析】立体几何中的“运动”问题，“最值”问题常常可借助函数思想来解决，建立目标函数以后，运用函数的相关知识解决问题。高考热点五：运用函数与方程的思想解决实际问题例5：（2009通州第四次调研）某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m(m0)万元满足 (k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品 的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【分析】将实际问题经过抽象变为数学问题，然后建立数学模型和函数关系式，最后运用函数与方程的思想是解决实际问题的一般步骤误区分析是定义在上的以3为周期的奇函数，则函数在区间内的零点个数的最小值为_.试分析下面解答错在哪里？ 解：容易求得故答案为4.随堂练习1把正方形沿对角线折起，当、四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线与平面所成的角的大小为_.2定义在上的奇函数和偶函数在区间上的图像关于轴对称，且为增函数，则下列各选项中能使不等式成立的是_.3中,、分别为、的对边.如果、成等差数列，,的面积为，那么_.4两个正数、的等差中项是5，等比中项是4.若，则双曲线的离心率等于_. 5.设不等式对满足的一切实数的取值都成立，求的取值范围6.(2007山东) 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标学力测评1若的展开式中常数项为20，则自然数 .2是关于方程的解，则这三个数的大小关系是 .3天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第天的维修保养费为元（nN*），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了 天.4.如果方程在上有解,则的取值范围是 .5.若函数的定义域为,则的取值范围是 .6.双曲线的两个焦点为、，点P在双曲线上，若，则点P到轴的距离为 .7.设是定义在R上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 8已知矩形的边平面现有以下五个数据： 当在边上存在点，使时，则可以取 .（填上一个正确的数据序号即可）9. 求函数在0，2上的最大值和最小值.10.(2006浙江) 设,求证： a0且-2-1； 方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根11三棱锥，其余的所有棱长均为1它的体积为V。 求的解析表达式，并求此函数的定义域； 当为何值时，V有最大值？并求此最大值.12.已知函数,设,试确定实数的值,使得对于一切大于1的正整数,不等式恒成立.参考答案第23讲 函数与方程的思想考点自测1 2. 17 3. 4006 4.0典型例题例1解:（1）；又定义域为 ， 设，.又，所以在定义域上为减函数.(2)由(1) 在定义域上为减函数. 方程有两个不同的且大于3的实根. 设g(x)= ，例2解：（1）由，所以 （2）, 由于，则方程为：时， 无解 时，所以；所以无解 时，；所以无解 ；综上所述，对于一切正整数原方程都无解（3）解法一：，则 又恒成立，所以当取最大值，取最小值时，取到最大值 又，所以 ；即 ， 故 解法二：由恒成立，则恒成立，即 ；，又 ， 所以 ， ， 所以 ，即 ， 故 例3解：设所求椭圆的直角坐标方程是，由可得设椭圆上的点到点P的距离为,则 （其中）；如果，则当时，有最大值，从而有最大值，由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立，于是当时，有最大值，由此可得故所求椭圆的直角坐标方程是，由及求得的椭圆方程客得，椭圆上的点，点到点P的距离为例4解：设为，则由题设可得正六棱锥底面边长于是底面正六边形的面积为（单位：）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得，令解得 (不合题意，舍去), 。当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数所以当x=2时,V(x)最大答:当为时，帐篷的体积最大。例5解：（1）由题意可知，当时，, 答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.误区分析分析：上述解答中考虑问题欠全面解：由，及得，故答案为5随堂练习1.， 2. ， 3. ， 4. ，5. 解:由题意,可设,即在内恒成立,即解得. 6. 解：（）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为学力测评1.3, 2. ,3. 800天, 4. ,5., 6. 7. 8. 或9. 解：，化简为，解得（舍去）.当时,单调递增,当时,单调递减,所以为函数的最大值,又因为,所以为函数在上的最小值.10. 证明：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（