第四章 命题与证明.doc

4.1定义与命题（1）学习目标：1. 了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。2. 会把一个命题写成“如果那么”的形式定义:1. 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。2. 定义必须是严密的，避免使用含糊不清的术语，正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区分开来。命题:1. 一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题2. 注意事项：（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命题；（2）必须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一。注意：句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断与判断的正确与否没有关系命题的结构:1. 命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项2. 命题的条件和结论不明显时，一般先添上省略掉的词语，再进行分析，这样易于分辨。在改写过程中，不能简单地把条件部分和结论部分分别在“如果”，“那么”后面，要适当的增减词语，保证句子通顺而不改变愿意，同时也可以结合图形进行分析。3. 有些命题的条件和结论不一定只有一个，此时要注意分清它们的条件和结论。类型一： 例、 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？（1）对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； （），两条直线平行吗? (5)鸟是动物； (6)若，求的值； (7)若，则 思路点拨:通过本题熟悉命题的定义解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的总结升华：数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。举一反三：【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若ab，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ABC中，若ABAC，则CB吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)123【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题类型二： 例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；(5)三角形的内角和等于180； (6)角平分线上的点到角的两边距离相等思路点拨: 找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等” （2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180”这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180”； (6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。”总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。举一反三：【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；【答案】(l)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；不是对顶角不相等(假)；不相等的角不是对顶角(真)(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；两直线不平行，同位角不相等(真)；同位角不相等，两直线不平行(真)(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；若a0，则ab0(假)；若ab0，则a0(真) (4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)； 两条直线平行，则一定不相交(真)；两条直线不相交，则一定平行(假)【变式2】判断正误：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 （ ）(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。 （ ）(3)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 （ ）(4)如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。 （ ）(5)如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。 （ ）(6)如果两个角的和是180，那么这两个角是邻补角。（ ）(7)对顶角的角平分线在同一条直线上。 （ ）(8)如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。【答案】：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)。注：判断题如果是正确的命题需要加以说明或论证，找出依据，如果是错误的命题，只要举出一个反例即可。(1)是定理，填；(2)如图1，1和2相等，但它们不是对顶角，对顶角不仅要相等，而且要求它们有公共顶点且它们的边互为反向延长线，填；(3)如图2，1和2有公共顶点，但不是对顶角，填；(4)如图3，1和2有公共顶点，但另一条边不是互为反向延长线，不是邻补角，（或12180），填；(5)是平角定义，填；(6)如图4，12=180但没有公共顶点，而34=180，虽有公共顶点，但没有公共边，1和2，3和4都不是邻补角，填；(7)如图5，AB和CD相交于O，AOC和DOB是对顶角，AOC平分线是OE，DOB平分线是OF，判断OE和OF是在同一条直线上 OE是AOC平分线，1=2（角平分线定义） 1=AOC，同理，3=4，3=DOB 又AB与CD相交，AOC和DOB是对顶角（对顶角定义） AOC=DOB（对顶角性质） 1=3，又1EOD=180（平角定义） 3EOD=180（等量代替）EOF=180 E、O、F在一条直线上 即OE与OF是在同一条直线上，填；(8)如图6，AOD和BOC有公共顶点O，AOD的平分线OE和BOC的平分线OF互为反向延长线，即OE、 OF在同一条直线上，但13，AODBOD，A、O、B不在同一条直线上，不是对顶角，填。4.1定义与命题（2）学习目标：1. 理解真命题、假命题，公理和定理的概念。2. 会判断一个命题的真假，会区分定理，公理和命题。真命题和假命题：1. 正确的命题称为真命题，不真确的命题称为假命题。2. 要判断一个命题是真命题，可以通过实践是方式，也可以通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后公认的真命题，如“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”等，判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。公理，定理：1. 经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”。用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。2. 公理是不需要堆理论证的真命题，它可以作为判断其余命题真假的原始依据。3. 定理都是真命题，但并不是所有的真命题都能作为定理，定理可以作为判断其他命题真假是依据。例1证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直”思路点拨: 总结步骤：1审题：分清命题的“题设”和“结论”2译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证3想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法4证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明解析：已知：ab，ac，求证：bc证法(一)：ac，(已知)1=90(垂直的定义)ab，(已知)1=2，(两直线平行，同位角相等)2=90，(等量代换)bc(垂直定义)证法(二)：ab，(已知)1=2(两直线平行，同位角相等)ac，(已知)1=90，(垂直定义)2=90，(等量代换)bc(垂直定义) 4.2证明（1）学习目标：1. 通过观察，分析，猜想，验证等数学活动过程，理解证明的必要性。2. 了解证明的含义。3. 了解证明的表达格式。推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）证明的四个注意 (1)注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题： 公理可以作为判定其他命题真假的根据. (2)注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的. (3)注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法. 只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的. 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等. (4)注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；论据的真实性不能依赖于论证的真实性；论据应是论题的充足理由.例1. 证明：两直线平行，内错角相等。已知：ab,c是截线 求证：1=2分析：要证1=2只要证3=2即可，因为3与1是对顶角，根据平行线的性质，易得出3=2证明：ab(已知)3=2(两直线平行，同位角相等)1=3(对顶角相等) 1=2(等量代换)例2. 证明：邻补角的平分线互相垂直。已知：如图，AOB+BOC=180OE平分AOB，OF平分BOC求证：OEOF分析：要证明OEOF，只要证明EOF=90，即1+2=90即可证明：OE平分AOB1=AOB，同理2=BOC1+2=(AOB+BOC)=AOC=90，OEOF(垂直定义)4.2证明（2）学习目标：1. 探索并理解三角形内角和定理的几何证明。2. 进一步巩固熟练的书写各式，完成简单的几何命题的证明。例1. 如图所示，已知ADBC于D，EGBC于G，1=E，求证：AD为BAC的平分线分析：要证AD为BAC的平分线，即证2=3，由ADBC，EGBC，可推得ADEG，有2=1，3=E，又已知1=E，由等量代换就可以证得2=3证明：ADBC，EGBC(已知)ADEG(平面内垂直于同一直线的两直线平行)1=2(两直线平行，内错角相等)3=E(两直线平行，同位角相等)又1=E(已知)2=3(等量代换)AD是BAC的平分线(角的平分线定义)注意：分析是证题的关键，在分析时要紧紧抓住要证的结论(即目标)，追溯能导致结论成立的条件，一步一步追溯下去，一直到这些条件都已具备为止，这时，证题思路已经基本形成。证明过程要从“已知”说起，最后推导出结论的成立。例2. 如图所示，已知：A=F，C=D，求证：BDCE分析：要证BDCE，只需证得D=CEF或D+CED=180即可，由于C=D，因此只要C=CEF或C+CED=180，这就需要有ACDF，由已知条件中的A=F，可以得出ACDF，故此题可证证明：A=F(已知)ACDF(内错角相等，两直线平行)C=CEF(两直线平行，内错角相等)又D=C(已知) D=CEF(等量代换)BDCE(同位角相等，两直线平行)4.2证明（3）学习目标：1. 继续学习证明的方法和表述。2. 通过探究，学会归纳并掌握证明的两种思考方法。分析法：是从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直到所有条件都具备的方法。综合法：是从已知条件出发探索解题途径的方法。分析-综合法：就是“两头凑”的方法，即综合运用前面的两种方法找到证明思路。例1. 求证：两个对顶角的平分线在同一直线上。已知：如图所示，直线AB、CD相交于点O，OM平分AOC，ON平分BOD，求证：MON是一条直线证明：直线AB、CD相交于点O(已知)AOC=BOD(对顶角相等)又OM平分AOC，ON平分BOD(已知)，C、O、D在一条直线(已知)COD=180(平角定义)MON=1+CON=2+CON=COD=180MON是一条直线(平角的定义)注意：本题是一个文字叙述的命题，证明时必须先根据命题画出图形，写出已知、求证。4.3反证与证明学习目标：1. 理解反证的意义与作用2. 通过举反例判断一个命题是假命题。3. 掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是假命题的方法，使学生学会逆向思考。 构造反例：命题是反例是具备命题条件但不具备命题结论的实例，可以用来判断命题是假命题。举反例证明假命题：举反例证明假命题只要举出一个反例即可，举反例一般依据命题的条件选一组特殊，易算，易理解的例子，推出与已知结论矛盾，或与实际矛盾，或与定理，定义，公理，推论矛盾的结论，从而证明原命题是假命题。4.4反证法学习目标：1. 了解反证法的基本步骤。2. 理解本节中关于两直线相交与平行的另一种判定方法。3. 会用反证法证明简单的命题。反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反正法。反证法的基本步骤运用反证法命题一般有下列三个步骤：1. 假设命题的结论不成立2. 从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。3. 有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。结论的反面不止一种情形的反证法：应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论，再全面地否定结论，如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且在逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确。 例1、已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1l2，13与11相交于点P.求证：13与l2相交