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马知恩西安交通大学 微积分的基本思想方法及其应用 任何事物微观宏观运动速度位移物质细棒线密度棒的质量容器中液体压强对底或壁的压力数量关系变化率改变量空间物体面 体 密度质量方向导数空间场变化率改变量 流体 梯度源的强度散度通量旋转趋势与方向旋度环流量l导数积分 I 微积分的基本思想方法及其应用 1o均匀与非均匀 质量 分布均匀非均匀变化变化率 常量变量函数 线性非线性图形 直线曲线 2o微积分方法的本质微观宏观均匀分布 除法 乘法 非均匀分布 导数积分 匀 分 匀 精 合 精 l不同类型的问题 解决的基本思想方法是一样的 局部均匀化求近似 利用极限得精确 l导数与定积分分别是处理均匀量的除法和乘法在处理相应的非均匀量中的发展 回顾已知线密度求质量 关键在于在上对以 不变代变 与是原函数与导函数的关系在 a b 上通过对导函数 不变代变 求原函数增量的近似值积分和式中是否都是的有无普遍性原函数的增量的近似值 若是 是怎样的近似值 3o积分与微分的关系 若设或若确为的原函数在增量的近似值 而且是在点关于的微分 定积分是微分的无限累加 两种解释 4o微元法把量用积分式表达 的关键在于求微分 微分 无限累加 问题 待求 未知 怎样的函数是的导函数 变化率 已知 只需找到与成线性关系的 且使即的线性主部或的与成线性关系的等价无穷小 例1 1 求圆锥体积 V非均匀分布在上 截圆半径kx变化 是否的微分 观察故是的微分 求光滑曲线绕轴旋转所得旋转体的体积 故 2 求圆锥体的侧面积若取 2 求圆锥体的侧面积若取是否是的微分 将圆锥面沿母线剪开展平如图弧长即 所以若非高阶无穷小 似乎而故 事实上 三句话 1 导数和积分分别是除法和乘法的发展 2 积分是微分的无限累加 求积分的关键在于求微分 3 求微分就是寻找所求量增量的线性主部 通常可先寻找导致所求量非均匀分布的某一量 由于此量的变化造成非均匀分布 将此量在微小局部以 不变 代 变 通常便可得到所求微分 5o推广至多元情形面密度上分布物质质量区域函数均匀分布 常数 面密度非均匀分布体密度压强散度 区域函数称为区域函数在点对区域 面积 的导数 则称为区域函数F在点对区域 面积 的微分 积分非均匀分布在区域上 分 匀 合 精 告 积分与微分的关系设在上连续中值定理从而即或故是区域函数在点处对区域的微分 求积分关键在于求此区域函数的微分 即关于的线性主部 而重积分仍然是对区域微分的无限累加 6o微元法在建立微分方程中的应用微元分析法 微小增量法 例问10分钟后 车间内CO2的浓度为多少 解 关键在求10分钟时 车间内CO2的含量 设t时刻车间内CO2的含量考察它在的变化的输入量 的输出量 内 输入 浓度恒定
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