期末总复习题及答案(修改).docx

数学期末总复习题2010-2011(2)期末考试总复习题及解答第一部分 线性代数（考试权重占30%）一、 要求掌握的知识点1、 熟练掌握矩阵的加法、减法、数乘、乘法、转置和方阵的幂运算。2、 掌握矩阵乘法运算的运算律，特别是牢记矩阵乘法不满足交换律。3、 熟练掌握矩阵的三种初等变换，互换变换：；倍法变换：；消去变换：。4、 会利用初等变换求阶梯及简化阶梯矩阵。5、 了解什么叫矩阵的秩，会求矩阵的秩 。牢记矩阵秩的性质：。6、 线性方程组有解的充要条件：系数矩阵与增广矩阵的秩相等：。7、 非齐次线性方程组一定有解！（至少有“零解”）。8、 非齐次线性方程组有非零解的充要条件是：。二、 练习题及解答1、 设，求（1） （2） 3）解: （1）（2）（3）2、 设A，B, 求： ； 略。第二部分 概率论部分（考试权重占70%）一、要求掌握的知识点1、了解随机现象、随机实验、随机事件、样本空间、样本点的概念。 样本空间：将随机实验的全部可能结果构成的集合称为样本空间，用表示。 样本点：随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，用表示。有： 随机事件：在试验的结果中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称为事件。一般用大写字母表示。 基本事件：样本空间的仅由单个样本点构成的子集。2、掌握事件间6种关系，会用运算关系表示各事件。3、掌握概率的两种定义。 概率统计定义：随着实验次数的增加，事件发生的频率越加稳定地在某个确定的常数附近，则称数为事件发生的概率，记作： 概率古典定义：在古典概型中，如果基本事件的总数为，事件所包含的基本事件个数为（），则定义事件的概率为 .即：4、会用古典概型计算式计算有关概率问题。5、理解并掌握概率的基本性质，并能使用概率的加法公式。 概率基本性质： 加法公式： 6、理解条件概率的含义，掌握条件概率的计算公式。 条件概率： 是样本空间中的两个事件，且在事件已发生的条件下事件发生的概率，称为事件在给定条件下的条件概率，记作：7、能利用乘法公式和事件的独立性计算积事件的概率。 乘法公式： 对任意两个事件， 有则： 或 此为概率的乘法公式。 事件独立性： 事件发生的概率并不受事件是否已经发生的影响，即： ，则称事件对事件独立。 独立事件的乘法公式： 若事件独立，则有：8、掌握随机变量的概念、分类 随机变量的定义：如果对于试验的样本空间中的每一个样本点，变量都有一个确定的实数值与之对应，则变量是样本点 的实函数，记作 ，我们称这样的变量为随机变量。 随机变量的分类：离散型和连续型。9、掌握离散随机变量及概率分布的概念和性质。 离散型随机变量：若随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称为离散随机变量；取任一可能值的概率记作 ，则有概率分布律为：。 概率分布性质： （离散型随机变量由它的概率分布律唯一确定）10、几种常见离散型随机变量的概率分布 两点分布：设随机变量只可能取值，它的分布律为： 二项分布：基于重伯努利试验中事件的分布律， 伯努利概型： 在次独立重复试验中，满足： 试验在完全相同条件下，独立、重复进行次； 每次试验结果只有两个：则称这样的次独立重复试验为n 重伯努利试验，简称伯努利概型。 二项分布计算：在n重伯努利试验中，设每次试验时事件A发生的概率为 (0p1)，则在n次试验中，则“事件A恰好出现k次的概率”为：11、掌握连续型随机变量及概率密度的概念和性质。 连续型随机变量：若存在非负函数，对任意实数，有： ，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数，也称为概率密度。 概率密度性质： ； （连续型随机变量由它的概率密度唯一确定！）12、几种常见连续型随机变量的概率分布 均匀分布：其随机变量具有概率密度函数为： 正态分布：，若连续型随机变量的概率密度为： （要求会背！）其中和都是常数，任意，则称服从参数为和的正态分布。 标准正态分布：，的正态分布，称为标准正态分布。其概率密度为： 正态分布图形特点：包括对称轴，拐点坐标，最大值等。13、正态分布的有关计算 标准正态分布表：，有标准正态分布函数数值表可以解决一般正态分布的概率计算。当时，直接查表得的值； 当时，用公式求得。 正态分布计算式： 标准正态分布 ， 一般正态分布 ，令，则 14、掌握数学期望、方差的概念及它们的性质。 数学期望：对于离散型随机变量：对于连续型随机变量： 期望的性质： 设相互独立，则： 方差： 方差的性质： (为常数) (为常数) 设相互独立，则。 15、掌握随机变量数学期望的计算 对于离散型随机变量： 对于连续型随机变量： 对于函数的期望：离散型 连续型 16、掌握随机变量方差的计算 常用方差简化计算式：，“平方的期望减期望的平方”。二、练习题及解答1、 已知50件产品中有5件次品，现从中任取3次，每次任取1个，求在下列两种不同取法情况下“恰有2件次品”的概率。 “有放回“地抽取3次； “无放回“地抽取3次。解: 因为这是“有放回”地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验。依题意，每次试验取到次品的概率为：.设为所取的3个中的“次品数”，则 X B (3, 0.2)，于是，所求概率为： “无放回“地抽取3次，那么各次试验条件就不同了，此时，用古典概型求解。设为所取的3个中的“次品数”， 2、 一袋中装有10个球，其中4个黑球、6个白球，先后两次从袋中不放回地任取一球，求两次取到的均是黑球的概率。解: 设表示 “第次取到的是黑球”事件，则表示 “两次取到均是黑球” 事件。第一次取到黑球： 第二次取到黑球： 于是，由乘法公式得：3、 某城市发行的报纸中，经调查订阅三种报纸的比例是，同时订阅两种报纸的比例分别是，同时订阅三种报纸的比例是，求：“至少订阅一种报纸”的概率。解：已知 由加法公式得：至少订阅一种报纸的概率为： 4、某人独立地射击，设每次射击的命中率为，射击400 次，求至少击中目标两次的概率。解：把每次射击看成一次试验，设击中的次数，则,的分布律为：则至少击中目标两次的概率：5、已知20件产品中有4件“次品”，现从中不放回地任取2件，用表示取到次品的个数，求的概率分布律。解： 显然所有可能取值为：，属于古典概型的问题。 （可以将结果改写成） 012分布律为：6、已知随机变量 求： 标准正态分布函数值表：X00.5123(X)0.50000.69150.84130.97730.9978解：一般正态分布， 7、设随机变量的概率分布律如下图，随机变量的数学期望。解：8、已知离散型随机变量X的分布律如下表：X-2012P0.20.40.10.3 求： 的数学期望和方差。解： （2） 9、已知随机变量