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高考统计命题分析【摘要】本文通过简述普通高中教材中的统计知识点,评析教学大纲与课程标准之间的联系与区别.通过例举近五年来高考北京卷、上海卷、天津卷、重庆卷以及国家卷中有关统计方面的命题,剖析统计命题的知识点，由此来分析统计命题的特点与发展方向，并结合新课标浅谈如何高效地进行统计高考复习.【关键词】抽样；统计；命题；高考；建议引言11 高中教学中的统计12 高考有关统计问题的分析与评价32.1 考查直方图32.2考查分层抽样的相关知识42.3 考查抽样方法与独立性检验52.4 考查抽样方法与总体分布62.5 考查概率与其它知识的综合问题73 近年来命题特点83.1 考查基本概念和基本公式83.2 贴近生活，考查应用83.3 统计问题出现了综合化94 高效教学的几点建议94.1 关注基本概念和基本公式的教学9参考文献10附录：11引言随着信息数字化时代的到来，数学越来越成为人们分析事物的一种有效工具，一些数学知识比原来显得更加重要了，高中对统计的学习是在原有基础上又有一定的加深及拓展，主要有随机抽样和样本估计整体收集、整理和分析数据，进行交流，作出决策等统计知识，是学生进一步学习和适应未来生活不可缺少的基础知识和基本技能，是每个现代公民必备的基本素质.在近年来高考中.因此，统计问题在高考中的地位已经不容忽视，成为备考的热点之一. 1 高中教学中的统计普通高中数学课程标准在打破单纯地强调学科自身的系统性、逻辑性的局限，本着循序渐进、螺旋上升的理念将统计分成两个部分：高中必修课程数学必修3 第2 章统计和选修系列1-2统计案例或2-3统计与概率.通过人教A 版数学必修3与旧人教版数学第三册（选修、）课程内容【1】、课时安排对比（上表），可以明确统计在高中数学中的地位得到提升.教学大纲课程标准选修1 （文科）统计约9课时抽样方法 约3课时总体分布的估计 约2课时总体期望值和方差的估计 约2课时实习作业 约1课时小结 约1课时选修2（理科） 统计约10课时抽样方法 约3课时总体分布的估计 约1课时正态分布 约2课时线性回归 约2课时实习作业 约1课时小结 约1课时必修3第二章 统计约16课时随机抽样 约5课时用样本估计总体 约5课时变量间的相关关系 约4课时实习作业 约1课时小结 约1课时由大纲的选修到课程标准的必修，由先概率后统计到先统计后概率，大纲将统计放在高中数学必修内容（高二下学期）概率学习之后高三选修部分学习，还将内容分成文科、理科，对文理学生提出不同要求.课标对于统计思想及其应用有所加强，在课时安排上由9至10节增加到16节.在后面的选修系列中还没设立统计课程：选修系列1-2设立统计案例（约14课时），选修系列2-3设立概率与统计（约22课时）；课程标准统计部分共约30课时，大大提高了统计在高中数学中的地位.下面我们看看具体高中教学中所教学的统计知识： 1.1随机抽样能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题.结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性.在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法.能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据.1.2用样本估计总体通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点.通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差.能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异.形成对数据处理过程进行初步评价的意识.1.3变量的相关性通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.2 高考有关统计问题的分析与评价新课程标准高考中对统计的考查集中在抽样方法（以分层抽样为主）、统计图表（频率分布直方图、茎叶图）、用样本估计总体和线性回归等主要知识点上，与传统高考中对统计轻描淡写的考查相比，无论题型还是分值都有了较大地变化.例如，通过直方图和算法框图综合、茎叶图等加大对读图（表）、识图（表）能力的考查；主要考查平均数、线性回归方程等统计基础知识，以及“最小二乘法”知识的掌握和运用，侧重方法，控制计算量，体现统计思想方法、数据处理能力、运算求解能力和应用意识.2.1 考查直方图(2010年北京理，第11题)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a .若要从身高在 120 , 130），130 ，140) , 140 , 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140 ，150内的学生中选取的人数应为 .【答案】0.030， 3分析：本题以统计学生身高为背景随机抽查某学校的100名同学，该题目背景与学生的日常生活贴近，具有亲近感.解决本题的关键在于理解直方图及其特点，在实际问题中，能够灵活利用样本与总体的关系. 123 10 20 30 4050参加人数活动次数解析：由所有小矩形面积为1不难得到，而三组身高区间的人数比为3:2:1，由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人.小结：本题考查的是学生对直方图的理解以及利用样本与总体的关系来解决实际问题的能力.（2007年北京卷理，第18题）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望分析：本题以统计学生在春节期间参加公益活动的次数为背景，考察直方图的相关知识.解析：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件易知；的分布列：012的数学期望：小结：本题考察的是学生对直方图的理解以及对期望、方差的理解与计算.2.2考查分层抽样的相关知识(2010年重庆文，第5题)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（A）7 （B）15 （C）25 （D）35解析：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为【答案】B(2010年天津卷文，第18题) 为了了解某市开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取7个工厂进行调查，已知区中分别有18，27，18个工厂（1）求从区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有一个来自区的概率.分析：本题是以调查工厂为背景进行抽样检查，是典型的分层抽样，学生需要掌握分层抽样的相关概念及定义.解析：（1）工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.（2） 设为在A区中抽得的2个工厂，为在B区中抽得的3个工厂，为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有，,同理还能组合5种，一共有11种,所以所求的概率为小结：本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计知识解决实际问题的能力.2.3 考查抽样方法与独立性检验(2010年全国新文，第19题)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下： 性别是否需要志愿 男女需要4030不需要160270（）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（）能否有99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（）根据（）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.附：分析：解决第一个问题关键在于理解利用样本的数字特征估计总体的数字特征，第二个问题则是利用所给的公式进行运算即可，前两个问题都较为容易.第三个问题叫有思考量，需要学生对各种抽样能理解透彻.解析：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为. (2) 由于所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. （3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. 2.4 考查抽样方法与总体分布本部分主要考查应用概率统计知识解决实际问题的能力,其难度大致与教材持平,已经形成新热点,学习时应引起重视.（2007全国卷1理，第18题）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望分析：本题是以商品销售为背景，与日常生活息息相关，使学生不易陌生.处理本题的第一个问题利用转化思想可以较解决.解析：（）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）的可能取值为200元，250元，300元，的分布列为（元） 小结：应熟悉“至少有一个发生”、“至多有个发生”、“恰有一个发生”等语句的真实含义,如果从正面直接求解上面的高考题,计算比较繁琐. 若注意运用集合的观点（补集的思想） ,利用事物的内在联系,促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题的转化, 这样解答题目就容易得到答案.2.5 考查概率与其它知识的综合问题随着课改的进一步实施, 统计问题出现了综合化的新趋势, 求解概率统计综合问题应特别注意将所求问题转化为纯统计问题求解.(2010年上海卷文，第21题) 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.分析：本题是概率与函数的交汇问题, 题目新颖独特.解析：证明（1）当时，而当时，函数单调递增，且故函数单调递减当时，掌握程度的增长量总是下降(2)有题意可知 整理得解得小结:本小题是概率与函数交汇的题,解决此题的关键是建立两者之间的联系,突破连接点就能将问题迎刃而解.3 近年来命题特点3.1 考查基本概念和基本公式 统计命题主要考查基本概念和基本公式，每年试题的题量大致为1至2道(一道为选择题或者填空题，一道为解答题)，试题的难度为中等或中等偏易.大多数试题源于教材，特别是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，既使是综合题，也是由教材例、习题通过对基础知识的重新组合、变式和拓展.下面是近五年来高考北京卷、上海卷、天津卷、重庆卷以及国家卷中有关统计方面的命题在各个年份所考查的分值、题型与内容.容易看出分值大体成增长趋势，统计命题的内容主要由抽样方法与样本估计总体为主.在此基础上重视对分类与整合、函数与方程、转化与化归等数学思想进行考查，今后的高考将会继续延续这样的特点，加强试题的综合性，考查综合能力.在今后几年的高考中，对概率统计的考查一定还会继续坚持“注重基础，加强综合，突出能力” 的原则，继续凸显“稳中求变，变中求新，新而不难” 的特色.年份分值题型考查内容20065选择题抽样方法，直方图8填空题抽样方法解答题2007选择题填空题25解答题直方图，数学期望20085选择题抽样方法4填空题抽样方法解答题2009选择题8填空题标准差，抽样方法24解答题抽样方法20105选择题抽样方法8填空题直方图12解答题样本估计总体3.2 贴近生活，考查应用 每年的统计试题，几乎都是以应用题的面目出现的，把问题加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.如2000年第17题是典型的古典概率应用问题，赋予“普法教育”以新的背景；2001年第18题以“控制系统”为背景，将基础知识进行了重组，并让学生横向联系，与物理中的串、并联知识相结合；2002年第19题以“网络概率”为问题情境，赋予了时代气息；2003年第20题及2004年第18题均以“球赛”为素材 ，2005年、2006年、2007年分别以“产品加工”、“医疗”、“经商”为素材，让考生感到实在、亲切.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，这一切都说明了概率统计与生活息息相关，是生活数学的最为贴切的典型.33 统计问题出现了综合化 概率统计逐步成为高考命题的重点，它通常以应用题的形式出现，前几年高考往往将其作为基础题，一般不涉及横向交汇.但从近三年有些省的高考题来看，概率统计问题已和传统知识交汇融合，贯通一体，形成了前景新颖、联系广泛、结构精巧的综合题，用以考查学生分析和解决问题的能力，下面以广东最近几年来的考题进行分析，观其与其它知识点的交汇情况4 高效教学的几点建议4.1 关注基本概念和基本公式的教学 众所周知，“概念多”为中学统计课的一个特点.由于一些学校仍然盛行“注入式”教学，强调细枝末节，概念教学一带而过，讲解例题就是归纳题型，然后就让学生进行大运动量的机械重复训练，强调题型训练，注重解题技巧而不重视核心数学思想方法.因此高考复习过程中，对统计概念的复习既要规范严谨，又要形象生动，还要善于用最通俗的语言去揭示.例如用样本估计总体的方法，主要有列频率分布表、画频率直方图、频率折线图、茎叶图等，可以在比较中复习，才能抓住各个概念的异同；而对众数、中位数、平均数、标准差等统计概念，要弄清数字特征所代表的意义，以及运用不同数字特征时的特点；变量间的相关关系，要注意借助图形，加强学生的直观理解.同时，还可以将茎叶图、频率分布直方图与正态分布图多个概念结合起来，在综合运用中提高概念的认识，从而培养解决问题的能力.4.2 注重解决问题的能力与应用能力的培养 近几年概率统计试题均考查了运用概率知识解决实际问题的能力，这就要求教师注意从课本内容中提炼出具有社会价值的数学应用背景，启发引导学生经常关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展等各个方面.在解决概率与统计问题时，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本方法，如问题所涉及到的事件有什么特点，事物之间有什么关系，事件以什么形式发生(同时发生、至少有一个发生、恰至少有一个发生，等等)，掌握概率知识的实际应用.尽管统计内容是初中相关内容的继续和深入，知识相对比较简单.而统计方法看起来不难，但理解起来还是有困难的.对于统计方法的复习，必须通过大量的具体案例来帮助学生提高解决问题的能力.同时，一个统计问题解决的过程，是需要我们通过收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取有效信息，并利用这些信息说明问题的一个完整过程.因此在复习中，必须注重应用能力的培养：让学生经历几次统计解决问题的全过程；在复习中可以让学生自己从各种媒体上搜集一些统计案例，用所学的统计知识进行分析，与同学交流.当然，在“统计案例”的选择上要注意避免脱离学生生活环境，常识太多，引入背景过长，数据过多，非数学的内容过多，否则会分散学生的注意力，影响对数学本质的把握.4.3 提升高度，全面复习如今统计试题已经出现多方面的横向交汇，要挖掘知识间的内在联系，提升对知识掌握的高度，不要单一盲目的进行复习，要将知识与知识间的内在联系挖掘出来.在复习中应加强在不同背景下的训练，培养从已知条件中捕捉全面的信息，把文字语言正确转化为数学语言的能力.在复习中还要关注生活背景、社会现实、科技发展等个方面，从中提炼有数学价值的模型和背景，提高分析问题和解决问题的能力、实践能力与应用意识.在高中阶段随着统计相关内容、课时的增加，加大对它的考查已成为必然.凡是课程标准和考试大纲要求的内容，都可能成为以能力立意命题的载体，试题不难，但出人意料，如2010年上海文科卷第21题就应用了统计与函数的交汇，在教学过程中可以适当的引导学生解决一些统计与其他知识的交汇，如统计与方程的交汇、统计与不等式的交汇、统计与数列的交汇，统计与几何的交汇，等等.所以高考复习中要全面复习，提升对知识掌握的高度.4.4 注重思想方法 统计课程的核心目标是引导学生体会统计思想的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异.复习中注重数学史的作用，如举“孟德尔通过做豌豆杂交实验发现了遗传学定律”让学生体会统计思想的作用.在选修1 和选修2 复习中，引导学生经历数据处理的过程，了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性.而对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式.当然，教师还必须深入研究普通高中数学课程标准全国新课程标准高考数学考试大纲福建省普通高中新课程教学要求，体会课标、考纲和教学要求之间的关系，比较三者的异同，准确把握知识要求，才能顺利完成高考复习.参考文献【1】 人民教育出版社.普通高中课程标准实验教科书数学必修3【M】.北京：人民教育出版社，2007.【2】 天利全国高考命题研究组.最新五年（2006-2010）高考真题汇编.数学（理）【M】.拉萨：西藏人民出版社，2011.【3】 天利全国高考命题研究组.最新五年（2006-2010）高考真题汇编.数学（文）【M】.拉萨：西藏人民出版社，2011.【4】 戴朝寿.数理统计简明教程【M】.北京：高等教育出版社，2009.【5】 王卫华.2008年概率与统计试题分析【J】.数学教学研究，2009，28（1）：【6】 赵丽棉.近几年高考统计试题特点【J】.河池学院学报，2008，28（2）：【7】 郑峰.统计在高中数学中的地位及高考复习策略【J】.福建教育学院学报，2008，12：The university entrance exam statistical proposition analysisMathematics and Computer Science, Mathematics and Applied Mathematics105012007133 chenling Instructor chenqinghua 【Abstract】This paper briefly ordinary high school textbook knowledge of statistics and comments teaching syllabus and curriculum standard the relationship and difference between subsoil. Through nearly five years the university entrance exam Beijing roll, Shanghai volumes, tianjin volumes, chongqing volumes and national coils in relevant statistical aspects of proposition, analyze the knowledge of statistical proposition, thus to analysis the characteristics and the development direction of the proposition, combining discuss how to efficiently curriculum statistical college entrance examination reviews.【Keywords】sample：statistics：proposition：College entrance examination：suggest附录：(2006年全国卷2理，第16题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2 500，3 000）（元）月收入段应抽出 人.【答案】 25(2006年重庆卷文，第7题）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 （A）2（B）3（C）5（D）13【答案】C(2006年重庆卷理，第6题）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D）50【答案】C（2007全国卷1理，第18题）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望【答案】（18）解：（）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）的可能取值为元，元，元，的分布列为（元） 123 10 20 30 4050参加人数活动次数（2007年北京卷理，第18题）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望【答案】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件易知；的分布列：012的数学期望：（2007全国卷1文，第13题）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g501.5g之间的概率约为_【答案】（2007天津卷文，第11题）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：分组频数123101则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 【答案】（2008年重庆卷文，第5题）某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是(A)简单随机抽样法(B)抽签法(C)随机数表法 (D)分层抽样法【答案】 D （2008年天津卷文，第11题）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人【答案】10(2010年重庆卷文，第14题) 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）： 125 124 121 123 127 则该样本的标准差=_（克）（用数字作答）【答案】2(2010年天津卷文，第18题) 为了了解某市开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取7个工厂进行调查，已知区中分别有18，27，18个工厂（1）求从区中应分别抽取的工厂个数（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有一个来自区的概率【答案】(1) 2，3，2(2) （1）解： 工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.（2）设为在A区中抽得的2个工厂，为在B区中抽得的3个工厂，为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有，,同理还能组合5种，一共有11种。所以所求的概率为(2010年上海卷文，第21题) 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量