2018几何问题之中点问题.doc

几何问题之 中点问题1、掌握三角形的内角和定理；2、了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3、学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4、学习分析问题、解决问题的能力。一、中点有关联想归类：1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线。二、与中点问题有关的四大辅助线：1、出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3、出现三角形边上的中点，作中位线；4、出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一” 。三、几何证明之辅助线构造技巧： 1、假如作一条辅助线，能起到什么作用； 2、常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。一、基础回顾1、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2、若点是线段的中点，则： 从线段来看：； 从点与点的相对位置来看：点在点之间，且点关于点对称。3、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。 一个三角形有三条中线； 每条中线平分三角形的面积； 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段； 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。2、 如何延长三角形的中线 1、延长1倍的中线：如图，线段是的中线，延长线段至，使（即延长1倍的中线），再连接。总的来说，就可以得到一个平行四边形和两对（中心选转型）全等三角形、，且每对全等三角形都关于点中心对称；详细地说，就是可以转移角：，；可以移边：，；可以构造平行线：，；可以构造边长与、有关的三角形：、。（1） 延长倍的中线：（且）如左（右）下图，点为中线（延长线）上的点，延长至，使，连接、.在平行四边形中就可以得到类似（1）中的结论。注意：通常在已知条件或结论中测及到与、有关的边与角时，会用这种辅助线. 整体做题思路：例题1例1、如图，中，是中线.求证：。DC例题2例2、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于.求证：。DC例题3例3、已知中，求边上的中线的范围。DC 1、如图1，在中，点为中点，于点，则等于（ ）A B C D2、如图，中，为斜边的中点，、分别为、上的点，且，若，试求的长。 3、如图，在中，为边的中点，为的平分线，过作的平行线，交于，交的延长线于。求证：。4、如图所示，已知为中点，点在上，且，求证：。 备用图1、 出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线1、如图，在中，直角所对的边称为的斜边，由，过点作交于点，且。，.， 又，2、发现线段为斜边上的中线，且等于斜边的一半。3、作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。4、通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。2、 出现三角形边上的中点，作中位线1、中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质. 2、中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；3、中位线辅助线能起到的作用： 在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能。 在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能。4、通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线： 有两个（或两个以上）的中点时； 有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。熟悉以下两个图形：例题4例4、如图，在四边形中，点、分别是、的中点，、的延长线分别交的延长线、。求证：。 例题5例5、已知：如图，中，在上取点，在延长线上取点，连结交于点，若是中点，求证：。 例题6例6、如图，中，是边的中点，是边的中点，连结并延长交于点。求证：。 例题7例7、如图1-1，已知中，在中，连结，取中点，连结和，（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图1-1，求证：且；（2）将图1-1中的绕点逆时针转小于的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。图1-2图1-15、如图，