242垂径定理一.ppt

24 1 2垂直于弦的直径 1 人教版九年级上册 问题 你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 创设情境 由此你能得到圆的什么特性 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具 你能找到圆形纸片的圆心吗 探究 AM BM AB是 O的一条弦 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 作直径CD 使CD AB 垂足为M 右图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 小明发现图中有 由 CD是直径 CD AB 垂径定理 如图 小明的理由是 连接OA OB 则OA OB 在Rt OAM和Rt OBM中 OA OB OM OM Rt OAM Rt OBM AM BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 CD AB CD是直径 AE BE O A B C D E 归纳 老师提示 垂径定理是圆中一个重要的定理 三种语言要相互转化 形成整体 才能运用自如 下列图形是否具备垂径定理的条件 是 不是 是 不是 深化 垂径定理的几个基本图形 CD过圆心 CD AB于E AE BE 巩固 1 如图 AB是 O的直径 CD为弦 CD AB于E 则下列结论中不成立的是 A COE DOE B CE DE C OE AE 2 如图 OE AB于E 若 O的半径为10cm OE 6cm 则AB cm O A B E 解 连接OA OE AB AB 2AE 16cm 3 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 解 过点O作OE AB于E 连接OA 即 O的半径为5cm 4 如图 CD是 O的直径 弦AB CD于E CE 1 AB 10 求直径CD的长 解 连接OA CD是直径 OE AB AE 1 2AB 5 设OA x 则OE x 1 由勾股定理得 x2 52 x 1 2 解得 x 13 OA 13 CD 2OA 26 即直径CD的长为26 1 两条辅助线 半径 圆心到弦的垂线段 归纳 2 一个Rt 半径 圆心到弦的垂线段 半弦 O A B C 3 两个定理 垂径定理 勾股定理 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 例1 如图 已知在 O中 弦AB的长为8厘米 圆心O到AB的距离为3厘米 求 O的半径 解 连结OA 过O作OE AB 垂足为E 则OE 3厘米 AE BE AB 8厘米 AE 4厘米在RtAOE中 根据勾股定理有OA 5厘米 O的半径为5厘米 例2 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE 所以 AC BD E 如图 小明的理由是 连接OA OB 则OA OB 在 OAM和 OBM中 OA OB OM OM AM BM OAM OBM AMO BMO CD AB O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 垂径定理的逆定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗 37 4m 7 2m A B O C D 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 解 如图 用AB表示主桥拱 设AB所在的圆的圆心为O 半径为r 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D 与AB交于点C 则D是AB的中点 C是AB的中点 CD就是拱高 AB 37 4m CD 7 2m AD 1 2AB 18 7m OD OC CD r 7 2 解得r 27 9 m 即主桥拱半径约为27 9m CD AB AB是 O的一条弦 且AM BM 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 过点M作直径CD 右图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 小明发现图中有 由 CD是直径 AM BM 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的