计算方法习题集.doc

计算方法与实习地球物理系 f57bf31778bf29ec0867fcc1a253e6a1.pdf绪论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。(二)复习要求1.知道产生误差的主要来源。2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。3.知道四则运算中的误差传播公式。一、重点内容一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的，主要有：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。在计算方法中主要讨论的是截断误差和舍入误差。误差：设精确值x*的近似值为x，差exx*称为近似值x的误差(绝对误差)。误差限近似值x的误差限e是误差e的一个上界，即|e|xx*|。相对误差er是误差e与精确值x*的比值，。常用计算。相对误差限是相对误差的最大限度，常用计算相对误差限。有效数字如果近似值x的误差限是它某一个数位的半个单位，我们就说x准确到该位。从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。二、难点内容(1)设精确值x*的近似值x，x0.a1a2an10m，a1，a2，an是09之中的自然数，且a10，|xx*|0.510ml，1ln。则x有l位有效数字。(2)设近似值x0.a1a2an10m有n位有效数字，则其相对误差限(3)设近似值x0.a1a2an10m的相对误差限不大于则它至少有n位有效数字。(4)要求精确到103，取该数的近似值应保留4位小数。三、例题例1设x*=p=3.1415926近似值x=3.140.314101,即m=1，它的误差是0.0015926，有，即n=3，故x=3.14有3为有效数字。x=3.14准确到小数点后第2位。近似值x=3.1416，它的误差是0.0000074，有，即m=1,n5，x=3.1416有5位有效数字。近似值x=3.1415，它的误差是0.0000926，有即m=1，n4，x=3.1415有4位有效数字。这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s1位有效数字。例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 0.00200 9000 9000.00解因为x1=2.00040.20004101,它的误差限0.00005=0.51015，即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效数字.相对误差限x2=0.00200，误差限0.000005，因为m=2，n=3，x2=0.00200有3位有效数字。相对误差限er=0.00005/0.00200=0.25%。x3=9000，绝对误差限为0.5，因为m=4,n=4,x3=9000有4位有效数字，相对误差限er0.5/9000=0.0056%x4=9000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9000.00有6位有效数字，相对误差限为er=0.005/9000.00=0.000056%由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。例3ln2=0.69314718，精确到103的近似值是多少？解精确到1030.001，即绝对误差限是e0.05,故至少要保留小数点后三位才可以。Ln20.693。例4如何去设计一个好的算法？答：一个好的算法必须满足：1、计算步骤简化以减少运算次数及误差积累；2、避免两个相同号数数值相近的数相减；3、计算若干同号数时的和,按绝对值增大的顺序相加；4、避免乘除法中数值绝对值过大或过小；5、防止大数吃掉小数；6、选用数值稳定性好的算法。四、练习题1.设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是_。2.设某数x*,它的精确到104的近似值应取小数点后_位。3.()的3位有效数字是0.236102。(A)235.54101(B)235.418(C)2354.82102(D)0.00235491034.设a*=2.718181828，取a=2.718,则有(),称a有四位有效数字。(A) (B) (C) (D)5.设某数x*,对其进行四舍五入的近似值是(),则它有3位有效数字，绝对误差限是。(A)0.315 (B)0.03150 (C)0.0315 (D)0.003156.以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为。(A)0.01234 (B)12.34 (C)2.20 (D)0.2200五、练习题答案该数有效数字第四位的一半。2.四 3.(A) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 方程求根(一) 考核知识点二分法；迭代法牛顿法；弦截法。(二)复习要求1.知道有根区间概念，方程f(x)=0在区间(a,b)有根的充分条件。2.掌握方程求根的二分法；二分法及二分次数公式，迭代法及其收敛性。3.熟练掌握牛顿法，掌握初始值的选择条件。4.掌握弦截法。一、重点内容1.二分法:设方程f(x)0在区间a，b内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：x*xn=(a0a，b0b)，n0，1，2，有误差估计式：x*xn，n0，1，2，二分区间次数：2.牛顿法：用切线与x轴的交点，逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为（n1，2，），选初始值x0满足f(x0)f(x0)0，迭代解数列一定收敛。3.弦截法:用两点连线与x轴交点逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为(n1，2，)二、难点内容：（1）、迭代法概念:若方程f(x)0表成xj(x)，于是有迭代格式：xnj(xn1)（n1，2，），x*xn，存在0l1,|j(x)|l，在区间a,b内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。（2）定理一：设在区间【a,b】上具有一阶连续的导数，且满足如下两个条件：当时，；存在正常数L0，f(1)=sin10 f(x)=1xsinx=0在0，1有根。又f(x)=-1cosx0(x0.1),故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。给定误差限e0.5104，有，只要取n14。例2用迭代法求方程x54x20的最小正根，计算过程保留4位小数。分析容易判断1，2是方程的有根区间。若建立迭代格式，此时迭代发散。建立迭代格式，此时迭代收敛。解建立迭代格式，。取1.5185。例3试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过106。分析首先建立迭代格式.确定取几位小数，求到两个近似解之差的绝对值不超过106。解令，求x的值.牛顿迭代格式为。迭代误差不超过106，计算结果应保留小数点后6位。当x=7或8时，x3=343或512，,取x0=8,有，于是，取7.439760例4用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根.计算中保留5位小数点.分析先确定有根区间.再代公式.解f(x)=x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1,2。迭代公式为(n=1,2,) 取x1=2,取1.46553，f(1.46553)0.000145例4选择填空题1.设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足_，则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根。答案：f(a)f(b)02.用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表成x=j(x),则f(x)=0的根是()(A)y=x与y=j(x)的交点 (B)y=x与y=j(x)交点的横坐标 (C)y=x与x轴的交点的横坐标 (D)y=j(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)3.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )。(A) (B)(C) (D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散。在(B)中，故迭代收敛。在(C)中，故迭代收敛。在(D)中，类似证明，迭代收敛.4牛顿切线法是用曲线f(x)上的_与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的_与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解。答案：点的切线；两点的连线四、练习题1.用二分法求方程f(x)=0在区间a,b内的根xn，已知误差限e，确定二分的次数n是使()。(A)bae (B)f(x)e (C)x*xne (D)x*xnba2.设方程f(x)=x42x=0，在区间1,2上满足_,所以f(x)=0在区间1,2内有根。建立迭代公式，因为_，此迭代公式发散。3.牛顿切线法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0满足()，则解的迭代数列一定收敛。(A)0 (C)0 (D)04.设函数f(x)在区间a,b内有二阶连续导数，且f(a)f(b)1 3.(B) 4.f(x)0 5.1.326.(1)线性方程组的数值解法(一)考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯赛德尔迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。(二)复习要求1.知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。2.掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法。3.知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。一、重点内容1.高斯消去法：解线性方程组AXb，对增广矩阵顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中，。注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。2.列主元消去法：在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元，(k1，2，3，n1)把第r行作为主方程，做第k次消元。把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。3.LU公式法 其中4.雅可比迭代法：解线性方程组AXb的雅可比迭代法公式为(k0，1，2，)4.高斯赛德尔迭代法：解线性方程组AXb的高斯赛德尔迭代法公式为(i1，2，n；k0，1，2，)二、难点内容：解的收敛性定理（1）高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。（2）(迭代法基本定理)：设线性方程组XBXf对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式：X(k1)B(k)Xf，收敛的充分必要条件是,其中i(i1，2，n)为迭代矩阵B的特征根。当i为复数时，|i|表示i的模。（3）(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AXb，(1)若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法收敛；(2)若A为对称正定矩阵，则高斯赛德尔迭代法收敛。注：设矩阵Aaijn，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵。三、例题例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解：x3=1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X(1,1,1)T。例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式：(k=1,2,3,)第1次迭代,k=0：X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T,第2次迭代，k=1：，X(2)(5,3,3)T；第3次迭代，k=2：，X(3)(1,1,1)T；第4次迭代，k=3：，X(4)(1,1,1)T；例3填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。解选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。2.用选主元的方法解线性方程组AXb，是为了( )。(A)提高计算速度 (B)减少舍入误差 (C)减少相对误差 (D)方便计算答案：选择(B)3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中(k=0,1,2,)答案： 解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。4.当a()时，线性方程组的迭代解一定收敛。(A)6 (B)=6 (C)6答案：(D)解答：当a6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由定理6，迭代解一定收敛。四、练习题1.用高斯列主元消去法解线性方程组2.用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。3.证明线性方程组的迭代解收敛。4.用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是.。5.用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为()。(A)3 (B)4 (C)4 (D)9五、练习题答案1、X(4，1，2)T 2、(4.66619,7.61897,9.07452)T 3、提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。4、线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。 5、(C)函数插值与曲线拟合(一)考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；差商及其性质，牛顿插值多项式；线性拟合、二次拟合。(二)复习要求1.了解插值函数，插值节点等概念。2.熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3.掌握牛顿插值多项式的公式，了解差商概念和性质，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4.了解线性拟合和二次多项式拟合的方法。一、重点内容求插值多项式的基本思想：设函数在区间a,b上连续。已知它在上个互不相同的点处的值。如果多项式在点上满足，则称是函数的插值多项式。1.函数插值：已知函数f(x)的n个函数值ykf(xk)，k0，1，2，n。构造一个多项式P(x)，使得P(xk)yk。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，xk就是插值节点。误差R(x)f(x)P(x)。2.拉格朗日多项式：称n次多项式Pn(x)y0l0y1l1ynln为拉格朗日插值多项式，其中基函数当n1时，线性插值P1(x)yklk(x)yk+1lk+1(x)，其中基函数。当n2时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为，其中(a，b)。3.差商与牛顿插值多项式：函数值与自变量的差商就是差商，一阶差商(或记作fx0，x1)；二阶差商(或记作fx0，x1，x2)性质n阶差商可以表示成n+1个函数值的线 性组合，即f=当n=1时，当n=2时，注：差商有两条常用性质：(1)差商用函数值的线性组合表示；(2)差商与插值节点顺序无关。用差商为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x)f(x0)fx0，x1(xx0)fx0，x1，x2(xx0)(xx1)fx0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn-1)牛顿插值多项式的余项为Rn(x)f(x)Nn(x)fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)。4.分段线性插值已知n1个互异节点x0，x1，xn构造一个分段一次的多项式P(x)，且满足：(1)P(x)在a，b上连续；(2)P(xk)yk(k0，1，2，n)；(3)P(x)在xk，xk+1上是线性函数。分段线性插值函数其中lk(x)(k0，1，2，n)是分段线性插值基函数。(i1，2，n1)5.三次样条插值函数(k0，1，2，n1)(xkxxk1)其中S(xk)mk(k0，1，2，n)，hkxk+1xk(k0，1，2，n1)，m0，m1，mn满足的方程组是(*)其中：，(k1，2，n1)(1)当已知S(x0)y0，S(xn)yn时，(*)式中m01，ln1，(2)当已知S(x0)y0m0，S(xn)ynmn时，(*)式化为6、最小二乘法用j(x)拟合数据(xk，yk)(k1，2，n)，使得误差的平方和为最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法。(1)直线拟合若，a0，a1满足法方程组(2)二次多项式拟合若，a0，a1，a2满足法方程组三、例题例1已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日多项式Pn(x)，并计算P(1)。只给4对数据，求得的多项式不超过3次解:先构造基函数所求三次多项式为P3(x)=。P3(1)例2已知函数y=f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶差商。解依据差商计算公式，结果列表中。kXkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商00.400.4107510.550.578151.1160020.650.696751.168000.2800030.800.888111.275730.358930.1973340.901.201521.384100.433480.213000.03134计算公式为一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商例3设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，证明：(1)(2)证明(1)Pn(x)=y0l0+y1l1+ynln=当f(x)1时，1由于，故有(2)对于f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定xm(0mn),作拉格朗日插值多项式，有当nm1时，f(n+1)(x)=0，Rn(x)=0，所以。注意：对于次数不超过n的多项式,利用上结果，有：=可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例4已知函数ex的下列数据x0.100.150.250.30ex0.9048370.8607080.7788050.740818用分段线性插值法求x=0.2的近似值。解用分段线性插值，先求基函数。，所求分段线性插值函数为所以，e0.2=P(0.2)=0.819070.2+0.983569=0.819755。例5选择填空题1.设y=f(x),只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的解答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x)=a2x2+a1x+a0,a2,a1,a0是待定数。P(xk)=yk,即这是关于a2,a1,a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式所以，不超过2次的多项式是唯一的。2.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足(),则P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值y0=0(B)一阶差商为0(C)二阶差商为0(D)三阶差商为0答案：(C)解答：因为二阶差商为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超过一次的多项式。3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A)(B)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(C)(D)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。例6已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。解计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是解得a0=2.45,a1=1.25。所求拟合直线方程为y=2.45+1.25xkxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5例7 设是以0，1，2为节点的三次样条函数，则,b,c应取何值?解 由定义给出的条件，在这(n-1)个内点上应满足故在处由及连续，可得解得=-2,b=3,c=-1.此时s(x)是0,2上的三次样条函数。四、练习题1.已知函数y=f(x),过点(2,5),(5,9),那么f(x)的线性插值多项式的基函数为。2.过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x)。3.已知多项式P(x)，过点(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3阶差商为常数1，一阶，二阶差商均不为0，那么P(x)是()(A)二次多项式 (B)不超过二次的多项式 (C)3次多项式 (D)四次多项式4.已知y=f(x)的差商,。那么f(x4,x2,x0)=()(A)5 (B)9 (C)14 (D)85.求过这三个点(0,1),(1,2),(2,3)的拉格朗日插值多项式。6.构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。7.设l0(x)是以n+1个互异点x0,x1,x2,xn为节点的格朗日插值基函数试证明：8、已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。x2.57.510y4.07.05.0y0.130.139.求数据拟合的直线方程y=a0+a1x的系数a0,a1是使最小。10.已知数据对(7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),(12,6.4),(13,5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。11. _，_。五、练习题答案1. 2. 3、C 4.B 5.x+1 6.给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。N4(x)=0.41075+1.11600(x0.55)+0.28000(x0.40)(x0.55)+0.19733(x0.40)(x0.55)(x0.65)0.03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)将x=0.596代入牛顿多项式N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596)=0.631957.提示：求l0(x)的牛顿插值多项式。89. 10.y=0.145x2+3.324x12.794 11.1,0数值积分与微分(一)考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿科茨求积公式，科茨系数及其性质，(复化)梯形求积公式，(复化)抛物线求积公式。(二)复习要求1.了解数值积分和代数精度等基本概念。2.了解牛顿科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)抛物线求积公式。一、重点内容1.插值型数值积分梯形公式 ,截断误差：R1f辛朴生公式 ,截断误差：科特斯公式截断误差：2、复化梯形公式截断误差：，M2复化辛朴生公式截断误差：，复化科特斯求积公式截断误差：3龙贝格求积公式4.微分公式(1)等距节点两点求导公式：(k0，1，2，n1)(2)等距节点三点求导公式：(k1，2，n1)三、例题例1试确定求积公式的代数精度。依定义，对xk(k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的k数值解当f(x)取1,x,x2,计算求积公式何时精确成立.(1)取f(x)=1,有左边,右边(2)取f(x)=x,有左边,右边(3)取f(x)=x2,有左边=,右边=(4)取f(x)=x3,有左边=,右边=(5)取f(x)=x4,有左边=,右边=当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。例2试用梯形公式、辛卜生公式和科特斯公式计算定积分(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算(2)用辛卜生公式(3)用科特斯公式系数为如果要求精确到105，用复化辛卜生公式，截断误差为RNf，,N2只需把0.5,14等分，分点为0.5,0.625,0.75,0.875,1例3用三点高斯勒让德求积公式计算积分高斯型求积公式只能计算1,1上的定积分解做变量替换，查表得节点0.774596669和0；系数分别为0.5555555556和0.8888888889+0.8888888890.94083124注：该积分准确到小数点后七位是0.9460831，可见高斯型求积公式的精度是高的.教材的第12章12.2节，用多种方法计算过该积分，它们的精度请读者自行比较.例4用三点公式计算在x=1.0,1.1,1.2处的导数值。已知函数值f(1.0)=0.250000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206612解三点导数公式为k=1,2,3,n1本例取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,y0=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1.于是有计算例5选择填空题1.科特斯求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是？解答：科特斯求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。2.如果用复化梯形公式计算定积分，要求截断误差的绝对值不超过0.5104，试问n()(A)41 (B)42 (C)43 (D)40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差为，n=40.8,取n41.故选择(A)。四、练习题1.试确定求积公式的待定参数，使求积公式的代数尽可能的高。2.用复化辛卜生公式计算定积分取n=4,保留4位有效数字。3.试用四点(n=3)高斯勒让德求积公式计算积分。4. 若用复化辛卜生公式计算积分,要求截断误差的绝对值不超过0.5104，试问n()(A)1 (B)2 (C)4 (D)35.用三点高斯勒让德求积公式计算积分，是有代数精度的。五、练习题答案1.A0=A2=1/3,A1=4/3 2.0.1109 3.3.141624 4.(B) 5. 5次常微分方程的数值解法(一)考核知识点欧拉公式，改进欧拉法，局部截断误差；龙格库塔法，局部截断误差。(二)复习要求1.掌握欧拉法和改进的欧拉法(梯形公式、预报校正公式和平均形式公式)，知道其局部截断误差。2.知道龙格库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格库塔法。掌握四阶龙格库塔法，知道龙格库塔法的局部截断误差。一、重点内容常微分方程数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间a,b内，取n+1个节点a=x0x1xN=b（其中差hn=xnxn-1称为步长，一般取h为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。一阶微分方程初值问题，该问题的解是在区间内的一个可微函数,而数值解是该区间内离散的点上的的近似值，即将区间等分，。一、 欧拉方法：格式：。特点:(1)、单步方法；(2)、显式格式；(3)、局部截断误差因而是一阶精度。局部截断误差：当是精确解下，由按照欧拉方法计算出来的的误差称为局部截断误差。即，。则称为局部截断误差。即是局部截断误差。换言之，局部截断误差是差分格式中均换成精确解时，所截断部分，即局部截断误差。由，则欧拉格式是将项截断得：。因此局部截断误差是。二、改进欧拉方法：1、 格式：2、 特点:(1)、是单步方法；(2)、局部截断误差是因而是二阶精度，截断余项得改进欧拉格式，所以局部截断误差是；(3)、是隐式格式，无法从格式中直接求出必须要解方程。3、用预测校正方法来求隐式格式中的。，三、RungeKutta法：二阶RungeKutta方法：取，则，则,得二阶龙格库塔法为：三阶RungeKutta方法：，局部截断误差，具有三阶精度。取，得:，此方法称为Kutta方法。三阶龙格-库塔法公式的局部截断误差为（h4）。四阶RungeKutta方法：，截断误差，达到四阶精度。取：这样就得到格式称为古典龙格库塔格式，书上称为标准龙格库塔方法，其格式为：三、例题例1用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2.计算过程保留6位小数。解h=0.2,f(x)=yxy2.首先建立欧拉迭代格式当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)y1=0.21(401)0.8当k1，x2=0.4时，已知x1=0.2,y1=0.8，有y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.6144当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有y(0.6)y3=0.20.6144(40.40.4613)0.8例2用欧拉预报校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算y(0.2),y(0.4)的近似值，小数点后至少保留5位.解步长h=0.2,此时f(x,y)=yy2sinx欧拉预报校正公式为：有迭代格式：当k=0，x0=1,y0=1时，x1=1.2，有当k=1，x1=1.2,y1=0.71549时，x2=1.4，有例3写出用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值.至少保留四位小数.解此处f(x,y)=83y,四阶龙格库塔法公式为其中k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)本例计算公式为：其中k1=83yk；k2=5.62.1yk；k3=6.322.37yk;k4=4.2081.578yk当x0=0,y0=2,例4：步长，0.21.00000.96078940.03920.40.92000.85214370.06790.60.77280.69767630.07510.80.5873280.52729240.06001.00.3993830.36787940.03151.20.23962980.23692770.0027例5：取步长，用四阶RungeKutta方法求解实值问题。,精确解:解：(1)、求，,。(2)、求，。(3)、求，。(4)、求，。(5)、